高一上学期期中考试复习材料
函数的概念及其三要素
【知识要点汇总】
知识点一、函数的概念及区间
1、函数的定义：
设,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合到集合的一个函数，记作，.
2、函数的定义域与值域：
函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
3、相同函数：①定义域；②对应法则；③值域
4、函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
（4）分段函数:若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
5、区间概念(为实数，且)
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
注：集合与区间
定义
符号
知识点二、函数的定义域有关问题
1、求函数定义域的一般原则：
①如果为整式，其定义域为实数集
②如果为分式，其定义域是使分母不为的实数集合
③如果是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子大于等于的实数集合
④如果是由以上几部分构成，其定义域使使各部分式子都有意义的实数集合
⑤的定义域是
2、复合函数的定义域的求法
① 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围
②已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围
知识点三、求函数解析式
1、代入法：已知的解析式，要求，将解析式两边的用代替
2、待定系数法：已知函数的类型，可根据类型设出解析式，再确定系数即可
3、配凑法：已知的解析式，要求.第一从的解析式中拼凑出，即用来表示，第二是将解析式两边的用代替
4、换元法：令（注意的取值范围），再求的解析式，然后再用代替即可
5、方程组法： 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于及的方程组，解之即可
知识点四、值域求法
1、数形结合法：含绝对值函数、分段函数及基本初等函数
2、基本不等式法：或
3、换元法：同类型函数或根式型函数
4、分离常数法：
【期中真题训练】
1．（2021·福建福州·高一期中）已知函数是一次函数，且恒成立，则（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
2．（2021·福建福州·高一期中）函数＋的定义域为（ ）
A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)
3．（2021·福建·福州三中高一期中）托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合到集合的函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·福建福州·高一期中）函数y＝x＋的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·福建福州·高一期中）下列各对函数表示同一函数的是（ ）
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与.
A．（1）（2）（4） B．（2）（4）
C．（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
6．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．（2021·福建福州·高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·福建福州·高一期中）下列函数表示同一个函数的是（ ）
A．，与 B．，与
C．，与 D．，与
9．（2021·福建福州·高一期中）设，，则（ ）
A．2 B．0 C．1 D．3
10．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·福建福州·高一期中）若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．1
12．（2021·福建福州·高一期中）下列各组函数与的图象相同的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·福建师大附中高一期中）已知，则下列函数中与函数不相同的函数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）设则的值为
A． B． C．2 D．
15．（2021·福建福州·高一期中）已知，则的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
16．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
17．（2021·福建省福州第八中学高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）
A．的最大值为1，没有最小值
B．的最小值为0，没有最大值
C．没有最大值，没有最小值
D．的最大值为1，最小值为0
18．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
19．（2021·福建省龙岩第一中学高一期中）下列四组中的，，表示同一个函数的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
20．（2021·福建福州·高一期中）下列各组函数中为同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
21．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
22．（2021·福建福州·高一期中）下图是函数的图象，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列函数中，值域是的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
26．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）（多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
27．（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知函数，则_____.
28．（2021·福建·福州高一期中）设函数，则__________.
29．（2021·福建福州·高一期中）函数的定义域为_______________.
30．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）已知，若，则x的值是_________.
31．（2021·福建福州·高一期中）函数的定义域为__________.
32．（2021·福建福州·高一期中）函数的定义域为___________.
33．（2021·福建师大附中高一期中）记圆周率小数点后第n位上的数字为y，则y是n的函数，记为.已知.则___________.
34．（2021·福建师大附中高一期中）设函数，则满足的x的取值范围是____________.
35．（2021·福建福州·高一期中）设表示中的较大者.已知，设.若当 时，恒有，则实数的取值范围是_____．
36．（2021·福建省福州格致中学高一期中）已知函数
（1）若，则实数的值为______________；
（2） ______________.高一上学期期中考试复习材料
函数的概念及其三要素
【知识要点汇总】
知识点一、函数的概念及区间
1、函数的定义：
设,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合到集合的一个函数，记作，.
2、函数的定义域与值域：
函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
3、相同函数：①定义域；②对应法则；③值域
4、函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
（4）分段函数:若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；
5、区间概念(为实数，且)
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
注：集合与区间
定义
符号
知识点二、函数的定义域有关问题
1、求函数定义域的一般原则：
①如果为整式，其定义域为实数集
②如果为分式，其定义域是使分母不为的实数集合
③如果是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子大于等于的实数集合
④如果是由以上几部分构成，其定义域使使各部分式子都有意义的实数集合
⑤的定义域是
2、复合函数的定义域的求法
① 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围
②已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围
知识点三、求函数解析式
1、代入法：已知的解析式，要求，将解析式两边的用代替
2、待定系数法：已知函数的类型，可根据类型设出解析式，再确定系数即可
3、配凑法：已知的解析式，要求.第一从的解析式中拼凑出，即用来表示，第二是将解析式两边的用代替
4、换元法：令（注意的取值范围），再求的解析式，然后再用代替即可
5、方程组法： 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于及的方程组，解之即可
知识点四、值域求法
1、数形结合法：含绝对值函数、分段函数及基本初等函数
2、基本不等式法：或
3、换元法：同类型函数或根式型函数
4、分离常数法：
【期中真题训练】
1．（2021·福建福州·高一期中）已知函数是一次函数，且恒成立，则（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】D
因为函数是一次函数，且恒成立，
令，则，
所以，解得，
所以，，
故选：D
2．（2021·福建福州·高一期中）函数＋的定义域为（ ）
A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)
【答案】C
要使函数＋有意义，则
所以，解得且，
所以函数＋的定义域为∪(3，＋∞).
故选：C.
3．（2021·福建·福州三中高一期中）托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合到集合的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
对于A选项，按照对应的，函数的值域为，A选项错误；
对于B选项，按照对应的，函数的值域为，B选项错误；
对于C选项，按照对应的，函数的值域为，C选项正确；
对于D选项，按照对应的，函数的值域为，D选项错误.
故选：C.
4．（2021·福建福州·高一期中）函数y＝x＋的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.
即，故其图象应为C.
故选：C
5．（2021·福建福州·高一期中）下列各对函数表示同一函数的是（ ）
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与.
A．（1）（2）（4） B．（2）（4）
C．（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
（1）定义域为,定义域为，与定义域不同，所以不表示同一函数；
（2）定义域为,定义域为，与解析式不同，所以不表示同一函数；
（3）与，与定义域相同，解析式相同，值域相同，故两者表示同一函数；
（4）与，与定义域相同，解析式相同，值域相同，故两者表示同一函数；
故选:C
6．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
∵，
∴.
故选：B.
7．（2021·福建福州·高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
根据题意可得，，解得．
故选：A．
8．（2021·福建福州·高一期中）下列函数表示同一个函数的是（ ）
A．，与 B．，与
C．，与 D．，与
【答案】A
对于A：与定义域相同，且函数解析式一致，故是同一函数，故A正确；
对于B：定义域为，但是定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误；
对于C：定义域为，但是定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误；
对于D：定义域为，但是定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故D错误；
故选：A
9．（2021·福建福州·高一期中）设，，则（ ）
A．2 B．0 C．1 D．3
【答案】C
由题知，，则
故选：C
10．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为是有偶函数与奇函数相加得到的，故函数是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A，C．又当时，函数值等于0，故排除D，
故选：B．
11．（2021·福建福州·高一期中）若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
令，则，，
所以，即，
所以.
故选：B.
12．（2021·福建福州·高一期中）下列各组函数与的图象相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.
A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；
B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；
C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；
D：与的解析式不相同，故排除D.
故选：B
13．（2021·福建师大附中高一期中）已知，则下列函数中与函数不相同的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
对A，，，与函数相同；
对B，，，与函数不相同；
对C，，，与函数相同；
对D，，，与函数相同.
故选：B.
14．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）设则的值为
A． B． C．2 D．
【答案】D
∵
∴f（2）
∴f（f（2））＝f（﹣1）＝
故选D．
15．（2021·福建福州·高一期中）已知，则的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
16．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
，
，
故选：B
17．（2021·福建省福州第八中学高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（ ）
A．的最大值为1，没有最小值
B．的最小值为0，没有最大值
C．没有最大值，没有最小值
D．的最大值为1，最小值为0
【答案】B
由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
观察可得函数有最小值0，没有最大值.
故选：B.
18．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与； ②与；
③与； ④与
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】C
①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；
②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；
③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
④与是同一函数；
所以是同一函数的是③④.
故选：C.
19．（2021·福建省龙岩第一中学高一期中）下列四组中的，，表示同一个函数的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
20．（2021·福建福州·高一期中）下列各组函数中为同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
选项A, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系不相同, 所以不是同一个函数, 选项A错误;
选项B, 的定义域是, 的定义域是, 两个函数对应关系也相同, 所以是同一个函数, 选项B正确;
选项C, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项C错误;
选项D, 的定义域是, 的定义域是, 定义域不同, 不是同一个函数, 选项D错误.
故选：B.
21．（2021·福建福州·高一期中）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】B
令，则，且，
所以，
所以，
当时，.
故选：B
22．（2021·福建福州·高一期中）下图是函数的图象，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
当时，过点，，此时，
当时，过点，，
设，则，可得，此时，
所以
所以等价于或，解得：或，
所以的取值范围是，
故选：A.
23．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
A. 因为的定义域为R，的定义域为 ，故不是同一函数；
B. 因为，故是同一函数；
C. 因为的定义域为R， 的定义域为，故不是同一函数；
D. 因为，故是同一函数，
故选：AC
24．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列函数中，值域是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
对于A，，值域为，A不正确；
对于B，，值域为，B不正确；
对于C，，值域为，C正确；
对于D，，值域为，D正确.
故选:CD.
25．（2021·福建福州·高一期中）（多选题）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】BC
对于A：和.和的定义域相同，均为R;但是，二者对应关系不同，不是同一个函数；故A错误.
对于B：和.和的定义域相同，均为R;并且，二者对应关系也相同，是同一个函数；故B正确.
对于C：和.和的定义域相同，均为R;并且，二者对应关系也相同，是同一个函数；故C正确.
对于D：和.的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；故D错误.故选：BC
26．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）（多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
【答案】BC
27．（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知函数，则_____.
【答案】
因为，所以，
所以，
则
.
故答案为：.
28．（2021·福建·福州高一期中）设函数，则__________.
【答案】
因为，所以，所以
故答案为：
29．（2021·福建福州·高一期中）函数的定义域为_______________.
【答案】
由题意得，解得且，
所以的定义域为
30．（2021·福建省福州外国语学校高一期中）已知，若，则x的值是_________.
【答案】
当时，，解得：，与矛盾，舍去
当时，，解得：，符合，
当时，，解得：，与矛盾，舍去
故答案为：
31．（2021·福建福州·高一期中）函数的定义域为__________.
【答案】
令 ，解得且，
故答案为: .
32．（2021·福建福州·高一期中）函数的定义域为___________.
【答案】且
由题意，且
故函数的定义域为且
故答案为：且
33．（2021·福建师大附中高一期中）记圆周率小数点后第n位上的数字为y，则y是n的函数，记为.已知.则___________.
【答案】
因为
所以
所以
即
故答案为：.
34．（2021·福建师大附中高一期中）设函数，则满足的x的取值范围是____________.
【答案】
35．（2021·福建福州·高一期中）设表示中的较大者.已知，设.若当 时，恒有，则实数的取值范围是_____．
【答案】
作出的图象，如图：
设与交点的横坐标为，
可得时，；当时，，
因为当 时，恒有，
当时，即，可得：，
当时，即，可得，
当时，即，可得：，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：
36．（2021·福建省福州格致中学高一期中）已知函数
（1）若，则实数的值为______________；
（2） ______________.
【答案】 1 2
(1)由题, ,即,解得.
(2)因为
,故.
故答案为：(1) 1;(2)2
