函数的性质
单调性的应用
例1.已知函数，若，则实数的取值范围是____.
例2.已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
例3.已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例4.已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例5.已知函数 在区间上是增函数，则实数的取值范围是___．
例6.已知函数，若存在，，且，使得，则实数的取值范围是______________.
奇偶性的应用
例7.已知函数，若，则__________.
练1.设函数为奇函数，则实数___________.
B. C. D.
例8.定义在上的函数，对，，恒有，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数
单调性与奇偶性的综合应用
例9.已知为二次函数，且不等式的解集是，
若，则实数的取值范围是__________.
例10.已知函数，函数（）为偶函数，且当时，.若，则实数的取值范围为__________.
例11.已知为定义在上的奇函数，，且对任意的，当时，，则不等式的解集为
A． B． C． D．
练1.函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增，若，则实数的取值范围为________
例12.设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
练1.函数，若对于在意实数，，则实数a的取值范围为_____.
练2.已知函数,若,则的取值范围是
A． B． C． D．
例13.已知定义在上的偶函数，其图像连续不间断，当时，函数是单调函数，则满足的所有之积为______．
例14.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．
例15.设函数的定义域为且满足：①当时，；②，；以下关于函数有四个命题：（1）为奇函数；（2）为偶函数；（3）在定义域内单调递减；（4）存在正数，使得对于任意的有；其中真命题是______．
例16.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2且对任意x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），则实数a的取值范围为______．
例17.设函数，，，.
（1）用函数单调性的定义在在证明：函数在区间上单调递减，在上单调递增；
（2）若对任意满足的实数，都有成立，求证：.
例18.已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间[-3,3]上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
练习
1、已知是定义域为的偶函数，当时，，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
2、已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3、已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4、设奇函数在上是减函数，且，若不等式对所有的都成立，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5、已知函数在区间[3，5]上恒成立，则实数a的最大值是
A．3 B． C． D．
6、已知函数是奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
7、已知函数，若的最小值为，则实数的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8、若函数和都是奇函数，且在区间上有最大值5，则在上（ ）
A．有最小值-5 B．有最大值-5 C．有最小值-1 D．有最大值-3
9、已知，则满足成立的取值范围是（ ）
A． B． C． D
10、函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立.则的解集为_________
11.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
12、已知是定义在(-∞,+∞)内的减函数,其图象经过两点,不等式的解集是_____.
13、设是连续的偶函数，且时是单调函数，则满足的所有之和为_________.
14、已知，函数为偶函数，且在上是减函数，则关于的不等式的解集为_________．
15、已知，，且，则实数的取值范围是________．
16、已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，实数满足，则的最小值为________．
17、定义在上的函数是奇函数且每隔2个单位的函数值都相等,则_____________.
18、已知定义在上的函数满足：，当时，.
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：为上的增函数；
（3）解关于的不等式：.（其中且为常数）.
19、已知定义在上的偶函数满足：当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）设，，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.函数的性质
单调性的应用
例1.已知函数，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
例2.已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
例3.已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
例4.已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【试题分析】解： ，
在在上单调递增，，
或，解可得，或，
即，故选：A．
【小结【答案】】有时可以利用函数的图像判断函数的单调性
例5.已知函数 在区间上是增函数，则实数的取值范围是___．
【试题分析】因为与在区间上都为增函数，所以为使 在区间上是增函数，只需即可，解得.
故答案为.
【答案】
例6.已知函数，若存在，，且，使得，则实数的取值范围是______________.
答案：小于2 或 大于3且小于5
解析：若函数单调，就不满足题意，所以，求对立面。让分段函数为增函数即可。
奇偶性的应用
例7.已知函数，若，则__________.
【答案】4/3
练1.设函数为奇函数，则实数___________.
B. C. D.
【答案】A
例8.定义在上的函数，对，，恒有，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】D
单调性与奇偶性的综合应用
例9.已知为二次函数，且不等式的解集是，
若，则实数的取值范围是__________.
【答案】大于-2且小于4/3
例10.已知函数，函数（）为偶函数，且当时，.若，则实数的取值范围为__________.
【答案】
例11.已知为定义在上的奇函数，，且对任意的，当时，，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先明确函数的奇偶性与单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】
∵为定义在上的奇函数，
∴也为定义在上的奇函数，
∵对任意的时，当时，
∴为上的单调增函数，又为上的奇函数，
∴在上单调递增，
由可得
即
∴，即
故选C
【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查不等式的解法，是基础题．
练1.函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增，若，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】
判断的奇偶性和单调性，根据单调性和奇偶性，运用二次不等式的解法，即可求解。
【详解】
由题意，得，
所以，
所以是R上的奇函数，又由在区间上单调递增，
所以在R上为单调递增函数，
因为，所以，
∴，即，即实数的取值范围是
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性的定义得到为奇函数，进而得出函数的单调性，转化为一元二次不等式求解是解答本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与论证能力，属于中档试题。
例12.设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案.
【详解】
是定义在上的奇函数,且当时,
当,有,
即
在上是单调递增函数,且满足
不等式在恒成立,
,恒成立
对恒成立
解得:
则实数的取值范围是:.
故选:A.
【点睛】
本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
练1.函数，若对于在意实数，，则实数a的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
通过函数解析式，确定函数的奇偶性和单调性，将转化为，再结合单调性，利用恒成立的思想来解决.
【详解】
当时，
，即为上的奇函数
又在上单调递增 在上单调递增
当时，
当时，
原不等式可转化为： ，即恒成立
本题正确结果：
【点睛】
本题解题的关键在于利用函数解析式求解出分段函数的单调性和奇偶性，然后利用单调性将不等式转化为自变量之间的关系.
练2.已知函数,若,则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
例13.已知定义在上的偶函数，其图像连续不间断，当时，函数是单调函数，则满足的所有之积为______．
【答案】39
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数的对称性，然后结合题意和韦达定理整理计算，即可求得最终结果．
【详解】
因为函数是连续的偶函数，所以直线是它的对称轴，
从面直线就是函数图象的对称轴．
因为，所以或．
由，得，设方程的两根为n，n，所以；
由，得，设方程的两根为，，所以，
所以．
故答案为：39．
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，以及对称性的应用，其中其中根据函数的奇偶性得出函数的对称性，再利用函数的单调性建立关于的一元二次方程，利用韦达定理求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算、求解能力，属于中档试题．
例14.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．
【答案】
【解析】
【分析】
对分类，找到的解集，再求的解集
【详解】
时，，
①当时，，
解，即得或，
或
②当时，
解即得
当时，解集为或
是上的偶函数，
由对称性可知当时，解集为或
解集为或或
时，或或
解得或或
【点睛】
本题考查绝对值函数，不等式求解，偶函数的性质，题目考查知识点较多，比较综合，属于难题.
例15.设函数的定义域为且满足：①当时，；②，；以下关于函数有四个命题：（1）为奇函数；（2）为偶函数；（3）在定义域内单调递减；（4）存在正数，使得对于任意的有；其中真命题是______．
【答案】（1）（3）
【解析】
【分析】
首先令得到，令得到，即可得到为奇函数，从而得到（1）正确，（2）错误；设任意，得到，根据，得到，从而得到函数在定义域内单调递减，即（3）正确；根据题意得到，再根据函数的单调性即可判断（4）错误.
【详解】
因为函数的定义域为，，
令得，解得.
令，，即，
所以为奇函数，故（1）正确，（2）错误.
设任意，则.
因为，所以，即.
又因为，所以.
又因为，所以，即.
所以，即，函数在定义域内单调递减.
故（3）正确.
任意的有，即即可.
因为当时，，时，，
在区间内单调递减，
所以当时，，当时，，
所以函数无最大值，
故不存在正数，使得对于任意的有，（4）错误.
故答案为：（1）（3）
【点睛】
本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.
例16.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2且对任意x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），则实数a的取值范围为______．
【答案】[-]
【解析】
【分析】
利用奇函数的图像对称性，画出函数的图像，结合图像特征求解.
【详解】
x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2 ，作出函数的图像如图，
.
当时，的最大值为.
因为对任意x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），
所以，解得.所以答案为[-].
【点睛】
本题主要考查函数的图像与性质，利用图像求解恒成立问题.数形结合能简化运算，事半功倍.
例17.设函数，，，.
（1）用函数单调性的定义在在证明：函数在区间上单调递减，在上单调递增；
（2）若对任意满足的实数，都有成立，求证：.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用单调性的定义，在区间（0,1上任取，且，判断和0的大小即可,同理可证在1，+∞）上单调递增;
（2）由结合条件可得，令，可得在上恒成立，令，，利用一次函数单调性求解即可.
【详解】
证明： (1)在区间（0,1上任取，且，则有
∵，且，∴
所以
即在区间（0,1上是减函数．
同理可证在1，+∞）上单调递增
(2)∵ ，即，又因为，
∴ ，即.
令，由（1）可得，即，
即在上恒成立
法1：令，
因为，所以h(t)是关于t的一次函数
所以，要想恒成立
必须，又
所以
法2：
又，所以
所以
又，所以
所以
【点睛】
本题主要考查了定义法证明函数的单调性，函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归的能力，属于中档题.
例18.已知函数对任意实数x、y恒有，当x>0时，f(x)<0，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)求在区间[-3,3]上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数（2）6（3）或者
【解析】
【分析】
（1）令x＝y＝0 f（0）＝0，再令y＝﹣x， f（﹣x）＝﹣f（x）；
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，结合条件用单调性的定义证明函数f（x）为R上的增函数，从而得到在区间[-3,3]上的最大值；
（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am﹣2对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
【详解】
（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0；
取y=﹣x，则f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)，
∴f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R恒成立
∴f(x)为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f(﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；
∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），
又∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；
∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；
∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；
∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；
（3）由（2）可知函数在的最大值为
所以要使对所有的恒成立
只需要
即对所有恒成立
令，则即解得
所以实数的取值范围是
【点睛】
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．
练习
1、已知是定义域为的偶函数，当时，，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
C
2、已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性，结合不等式，可得结果.
【详解】
依题意：
函数的图象关于对称，
则，
且在上单调递增
故 ，
所以
故选：A.
【点睛】
本题考查抽象函数的性质，主要考查利用函数单调性求解不等式，中档题.
3、已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
D
4、设奇函数在上是减函数，且，若不等式对所有的都成立，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性，求出最值，解出t的取值范围，即可得到结论.
【详解】
因为奇函数在上是减函数，且，
所以，
若不等式对所有的都成立，
则，解可得，
故选：B
【点睛】
本题主要考查利用函数的性质解决恒成立问题，考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．
5、已知函数在区间[3，5]上恒成立，则实数a的最大值是
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意需求出的最小值，利用分离常数的方法分析函数的单调性，即可求解.
【详解】
因为，所以函数在上单调递减，函数的最小值为，所以, a的最大值是.
故选D.
【点睛】
本题主要考查根据函数恒成立求参数，利用函数的单调性求最值，考查逻辑推理和运算求解能力，属于中档题.
6、已知函数是奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出的值，利用奇函数的性质可求得的值，由此可求得的值.
【详解】
由于函数是奇函数，则，
所以，，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.
7、已知函数，若的最小值为，则实数的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由基本不等式可得函数在时的最小值为，当时，讨论二次函数对称轴和端点1的关系可得函数的最小值为，由题意只需满足即可.
【详解】
由题意当时，，
当且仅当时，等号成立；
当时，，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为，
当时，为函数在上的最小值，不合题意；
当时，为函数在上的最小值，，
由题意可得，解得；
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的最值问题，考查基本不等式的应用和二次函数在区间上的最值问题，体现了
8、若函数和都是奇函数，且在区间上有最大值5，则在上（ ）
A．有最小值-5 B．有最大值-5 C．有最小值-1 D．有最大值-3
【试题分析】F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数，其最大值为5-2=3，根据奇函数性质得F(x)-2在(－∞,0)上有最小值－3，即F(x)在(－∞,0)上有最小值-3+2=－1，选C.
【答案】C
9、已知，则满足成立的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
10、函数为定义在上的奇函数，且，对于任意，都有成立.则的解集为_________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，设函数，得函数在上的单调递增函数，进而得到函数为偶函数，即可求解当时，不等式等价于的解集，以及当时，的解集，即可得到答案.
【详解】
由题意，设函数，由对于任意，都有成立，则可得函数在上的单调递增函数，
又由函数为定义在上的奇函数，
则函数，即函数为偶函数，
又由，则，且，
又由，可知：
当时，不等式等价于，即，解得；
当时，不等式等价于，即，解得
即不等式的解集为.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，以及利用函数的性质求解不等式的解集，其中解答其中熟练应用函数的基本性质，合理转化不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
11.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．【答案】
12、已知是定义在(-∞,+∞)内的减函数,其图象经过两点,不等式的解集是_____.
【试题分析】不等式|f（x﹣2）|＜1，即﹣1＜f（x﹣2）＜1，
∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的减函数，其图象经过A（﹣4，1）、B（0，﹣1）两点，∴﹣4＜x﹣2＜0，解得：﹣2＜x＜2，
∴|f（x﹣2）|＜1的解集是{x|﹣2＜x＜2}．故答案为：{x|-213、设是连续的偶函数，且时是单调函数，则满足的所有之和为_________.
【答案】0
14、已知，函数为偶函数，且在上是减函数，则关于的不等式的解集为_________．
【答案】
15、已知，，且，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式转化进行求解即可。
【详解】
函数在上为增函数；
函数是奇函数；
则等价于；即，解得：
故实数的取值范围是
【点睛】
本题考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题。
16、已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，实数满足，则的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意得，结合偶函数的单调性和对称性，可把不等式转化为，然后得到，解不等式可得所求最小值．
【详解】
依题意知的图象关于轴对称，且有．
因为偶函数在上是单调递增的，
所以由，得，
即，解得，
所以的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解题时可把函数值的大小的问题转化为变量到对称轴的距离的问题求解，利用数形结合进行解题是解答本题的关键和突破口，属于基础题．
17、定义在上的函数是奇函数且每隔2个单位的函数值都相等,则_____________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据题意可以知道，f（0）＝0，f（x+2k）＝f（x）（k∈Z）．可求f（4），又f（7）＝﹣f（1），从而得到答案．
【详解】
因为是奇函数且每隔2个单位的函数值都相等，所以有f（0）＝0，f（x+2k）＝f（x）（k∈Z），
据题意f（7）＝f（﹣1+8）＝﹣f（1），
∴f（1）+f（7）＝0，
又f（4）＝f（0）＝0，
∴f（1）+f（4）+f（7）＝0．
故答案为0．
【点睛】
本题主要考查奇函数和周期函数的定义即：f（0）＝0，f（x+2k）＝f（x）（k∈Z），属于函数性质综合的考查，属于中等题.
18、已知定义在上的函数满足：，当时，.
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：为上的增函数；
（3）解关于的不等式：.（其中且为常数）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 当，即时，不等式解集为或；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为或.
【解析】
试题分析：（1），令，得，再令即可证明函数为奇函数；（2）设，且，则，由即可证明；
（3）
，讨论两根的大小，写出不等式的解集即可.
试题解析： （1）由，令，得：
，即.
再令，即，得：
.
∴，
∴是奇函数.
（2）设，且，则.
由已知得：，
∴，
∴.
即在上是增函数.
（3）∵，
∴，
∴.
即.
∵，，
∴.
当，即时，不等式解集为或.
当，即时，不等式解集为.
当，即时，不等式解集为或.
考点：1.函数的奇偶性与单调性；2.二次不等式的解法；3.函数与不等式.
19、已知定义在上的偶函数满足：当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）设，，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的定义求解；
（2）用换元法求出的最小值，再求出的最大值，然后由可得的范围．
【详解】
（1）设，则，因为定义在偶函数，
所以，因为，所以
所以.
（2）因为对任意，都有成立，
所以.又因为是定义在上的偶函数，
所以在区间和区间上的值域相同.
当时,单调递增，
，又.
所以，所以，
故的取值范围为.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常常转化为求函数的最值，但要注意要根据不等号的方向，存在量词与全称量词等确定是求最大值还是求最小值，否则易出错．
