第三章 函数的概念与性质章末检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、(2022·宿州月考)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1] B．
C．(－∞，2] D．∪
2、(2022·怀宁期中)已知函数f(2x－1)＝x2－3，则f(3)＝( )
A．1 B．2
C．4 D．6
3、在下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
4、已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( )
A．是增函数 B．不是单调函数
C．是减函数 D．不能确定
5、(2022·浙江模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．b
ab
C．b>a＋c，c2a＋c，c2>ab
6、已知函数f(x)＝x2＋(k－2)x在[1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
7、已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( D )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
8、(2022·湖北月考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、下列各组函数是同一函数的为( )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x
10、已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( )
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是奇函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
11、已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
12、(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域是R
B．f(x)的值域是(－∞，5)
C．若f(x)＝3，则x的值为
D．f(x)图象与y＝2有两个交点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知函数f(x)＝若f(a)＝2，则实数a＝___________．
14、(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
15、若函数f(2x－1)定义域为[0,1]，则y＝f(2x＋1)的定义域是________．
16、定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
18、设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
19、已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
20、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；
②当x>0时，f(x)>－1．
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．
21、“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.
22、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.第三章 函数的概念与性质章末检测（答案）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、(2022·宿州月考)函数y＝的定义域为( D )
A．(－∞，1] B．
C．(－∞，2] D．∪
2、(2022·怀宁期中)已知函数f(2x－1)＝x2－3，则f(3)＝( A )
A．1 B．2
C．4 D．6
3、在下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( B )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
4、已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( )
A．是增函数 B．不是单调函数
C．是减函数 D．不能确定
解析：A 因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即＝0，解得m＝0．所以f(x)＝－x2＋3为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上此函数单调递增．故选A．
5、(2022·浙江模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．bab
C．b>a＋c，c2a＋c，c2>ab
解析：D 由题图知，a>0，b>0，c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，f(－1)＝a－b＋c<0，所以c＝－(a＋b)，b>a＋c，所以c2－ab＝[－(a＋b)]2－ab＝a2＋b2＋ab>0，即c2>ab．故选D．
6、已知函数f(x)＝x2＋(k－2)x在[1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
解析：B 函数f(x)＝x2＋(k－2)x的对称轴为x＝－，且开口向上，因为f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以－≤1，解得k≥0．故选B．
7、已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( D )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：由已知得f(x)在(1，＋∞)上单调递减，又f＝f，∵e>>2，∴f(e)8、(2022·湖北月考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：A 根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1．由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以2≥2x≥－2，解得－1≤x≤1，故选A．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9、下列各组函数是同一函数的为( AC )
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x
10、已知函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，下列说法正确的是( )
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是奇函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
解析：ABD 因为函数y＝xα(α∈R)的图象过点(3,27)，所以27＝3α，即α＝3，所以f(x)＝x3，A项，因为f(0)＝0，所以函数y＝x3的图象过原点，因此本说法正确；B项，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以函数y＝x3是奇函数，因此本说法正确；C项，因为y＝x3是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D项，因为y＝x3的值域是全体实数集，所以本说法正确．故选A、B、D．
11、已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
解析：BD 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．
12、(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域是R
B．f(x)的值域是(－∞，5)
C．若f(x)＝3，则x的值为
D．f(x)图象与y＝2有两个交点
解析：BC 由函数f(x)＝知，定义域为(－∞，－1]∪(－1,2)，即(－∞，2)，A错误；x≤－1时，f(x)＝x＋2∈(－∞，1]，－1三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、已知函数f(x)＝若f(a)＝2，则实数a＝___________．
解析：当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，解得a＝1，符合条件．当a<0时，f(a)＝4a＝2，解得a＝，不符合条件，所以实数a＝1．
14、(2022·广东模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，故f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1．
答案：－x2－x＋1
15、若函数f(2x－1)定义域为[0,1]，则y＝f(2x＋1)的定义域为________．
解析：∵y＝f(2x－1)定义域为[0,1]．
∴－1≤2x－1≤1，要使y＝f(2x＋1)有意义应满足－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0，
因此y＝f(2x＋1)定义域为[－1,0]．
16、定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值.
解：(1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴f＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图.
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
18、设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4．
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4．
19、已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
解：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1当m＝0或2时，f(x)＝x3，不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4，是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4．
(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋c－1．
由g(x)>2对任意的x∈R恒成立，得g(x)min>2(x∈R)．
∵g(x)min＝g(－1)＝c－1，∴c－1>2，解得c>3．
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
20、(2022·柳州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；
②当x>0时，f(x)>－1．
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．
解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．
又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)＋1>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在R上是单调增函数．
(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．
由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4，
得f(x2＋2x)＋f(1－x)＋1>5，
即f(x2＋x＋1)>f(3)，
又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
21、“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.
解 (1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2；
当4＜x≤20时，设v＝ax＋b，
显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，
由已知得解得
所以v＝－x＋，
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，
f(x)＝
当0＜x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.
所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
22、已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，当a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有＞0成立.
(1)判断f(x)在区间[－1，1]上的单调性，并证明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)f(x)在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则－x2∈[－1，1].
∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2).
由已知条件得＞0.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在区间[－1，1]上单调递增.
(2)∵f(1)＝1，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴在区间[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对所有的a∈[－1，1]恒成立.
设g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，
若g(a)≥0，
对a∈[－1，1]恒成立，必须有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}. 