第八讲-指数运算与指数函数
知识点一、整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知识点二、根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
知识点三、分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
知识点四、有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点五、无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
考点一、指数运算
【典型例题】
1、计算化简
（1）
（2）化简：
【解析】
（1）原式＝
（2）
2、已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
（1）;
（2）；
（3），故
或，
或.
【变式练习】
1、计算化简：
（1）
（2）
【解析】
(1)
(2)原式=
2、计算下列各式：
（1）.
（2）.
【解析】
(1)原式.
(2)原式.
3、化简.
【解析】
.
4、已知，求下列各式的值：
(1)；(2).
【解析】
(1)将两边平方，得，故.
(2)
知识点二、指数函数的概念
1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
2、注意指数函数的解析式：
①底数是大于0且不等于1的常数．
②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．
③的系数必须为1.
④指数函数等号右边不能是多项式，如不是指数函数．
知识点三、指数函数的图像与性质
1、指数函数的图象与性质：
图象
性质 定义域
值域
恒过定点 图象恒过定点，即当时，
单调性 在上是减函数 在上是增函数
奇偶性 非奇非偶
函数值的变化规律 当时， 当时，
当时， 当时，
当时， 当时，
常用的两个运算 ；
2、指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的关系
观察图象，我们有如下结论：
（1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”．
指数函数与的图象关于轴对称．
．
知识点四、指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
知识点五、指数型函数（简单复合函数）
一般地，有形如函数的性质：
（1）函数与函数有相同的定义域．
（2）当时，函数)与具有相同的单调性；当时，函数与函数的单调性相反．
函数
单调性 ↗ ↗ ↗
单调性 ↗ ↘ ↘
单调性 ↘ ↘ ↗
单调性 ↘ ↗ ↘
考点二、指数函数的概念判断与应用
【典型例题】
1、在①；②；③；④；⑤中，是关于的指数函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】
根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数，
②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数；
③中的系数是，所以不是指数函数；
④中底数，所以不是指数函数．
故选：B．
2、下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
【解析】
因为形如的函数为指数函数，
所以函数符合指数函数的定义，是指数函数；
符合指数函数的定义，是指数函数；
其它函数不符合指数函数的定义，不是指数函数，
故答案为：①④.
3、函数是指数函数，则的值为( )
A．1 B．3 C．2 D．1或3
【解析】
因为函数f(x)=(a2﹣3a+3)ax是指数函数，故可得解得或，
当时，不是指数函数，舍去.故选：C.
【变式练习】
1、下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【解析】
① 的系数不是，不是指数函数；
② 的指数不是自变量，不是指数函数；
③ 是指数函数；
④ 的底数是不是常数，不是指数函数；
⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数；
⑥ 是幂函数．
故答案为：③
2、列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
【解析】
根据指数函数的定义直接判断：形如（且）的函数是指数函数.
可知只有③，④（为常数，，）符合指数函数的定义.
故答案为：③④.
3、函数是指数函数，则( )
A．或 B． C． D．且
【解析】
因为函数是指数函数所以，且，解得.故选：C.
4、若函数是指数函数,则的值为( )
A．2 B．-2 C． D．
【解析】
∵函数f(x)＝(a﹣3) ax是指数函数，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，
∴f(x)＝8x，∴f()2，故选：D．
考点三、指数型函数的图象
【典型例题】
1、在同一坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
当a＞1时，直线y＝ax+1的斜率大于1，函数y＝a|x﹣1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是增函数，选项C满足条件．
当1＞a＞0时，直线y＝ax+1的斜率大于0且小于1，函数y＝a|x﹣1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是减函数，没有选项满足条件．
故选：C．
2、函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
，则单调递增，故排除AC；
对于BD，单调递减，则，与y轴交于0和1之间，故排除B.
故选：D.
3、函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【变式练习】
1、函数的图像可能是( )
A． B．
C． D．
【解析】
∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过(0,1)点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，当时，∴，所以排除C，故选D.
2、若函数的图像在第一、三、四象限内，则( )
A． B．，且
C．，且 D．
【解析】
因为函数的图像在第一、二象限内，
所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将向下移动，
因为当时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，
所以只有当时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故，
因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，
故，，故选：B.
3、在如图所示的图象中，二次函数与函数的图象可能是( )
A．B．
C． D．
【解析】
根据选项中二次函数图象，可知，
根据选项中指数函数的图象，可知，所以，
所以二次函数的对称轴在轴左侧，且，
所以可排除B、C、D，只有A符合题意.故选：A.
考点四、指数型函数的性质
【典型例题】
1、已知函数的图像恒过定点则 ．
【答案】3
2、求函数的单调区间 .
【解析】
函数的定义域为R.
在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数，∴在(－∞，3]上是增函数．
在[3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数，∴在[3，＋∞)上是减函数．
∴的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．
3、求函数y＝－8·＋17的单调区间________．
【解析】
函数y＝－8·＋17的定义域为R.
设t＝>0，又y＝t2－8t＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，
令≤4，得x≥－2，
∴当－2≤x1
即4≥t1>t2，∴t－8t1＋17∴y＝－8·＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．
同理可得减区间是(－∞，－2]．
4、若函数的值域为[0，+∞)，则实数a的取值范围是_____．
【解析】
设，若函数的值域为，，则等价于，是值域的子集，，设，则，则，
，当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，即，则，
即实数的取值范围是，.故答案为：，
【变式练习】
1、函数(，且)的图象过定点，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
【解析】
因为的图象恒过点，则的图象恒过点，所以恒过定点.故选.
2、函数为增函数的区间是( )
A． B． C． D．
【解析】
∵是减函数，在上递增，在上递减，
∴函数的增区间是．故选：C．
3、若函数的值域为，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
【解析】
当时，
当时，
函数的值域为，即故选：B
4、已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
【解析】
令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
故答案为：.
5、已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
【解析】
因为函数，
当时，函数为增函数，
而已知函数在区间上是增函数，所以，即的取值范围为．
故答案为：
考点五、指数不等式与比较大小
【典型例题】
1、解关于的不等式：．
【解析】
①当0②当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}．
2、若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
3、比较下列各组中两个数的大小：
（1）和；
（2）和；
（3）和；
（4）和．
【解析】
(1)因为指数函数是减函数，且，所以
(2)因为指数函数是增函数，且，所以
(3)因为指数函数是减函数，且，所以
(4)因为指数函数是增函数，且，所以
4、已知定义在R上的函数m为实数)为偶函数，记，，，则( )
A． B． C． D．
【解析】
为偶函数，，，；；；在，上单调递减，
并且，，
．故选：．
【变式练习】
1、解关于的不等式.
【解析】
，即，
因为，所以，即，解得，
故不等式的解集为.
2、若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】
由题得，，．又，所以，且，则，所以，
故选：D．
3、已知，，，则a，b，c的大小关系为____.(用“” 连接)
【解析】
由于函数在R上是减函数，且，
，
由于函数在上是增函数，且，
∴，
故，，的大小关系是.
故答案为：.
4、若，则有（ ）
A． B． C． D．
【解析】
构造函数，易得函数单调递增，由，
可得，，
故选：B.
考点六、指数的综合应用
【典型例题】
1、要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是______.
【解析】
因为函数在时恒大于0，
所以在时恒成立.
令，则.
因为，所以.
令.
因为在上为减函数，所以，即
因为恒成立,所以.
2、已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
当时，，因为，所以，
故当时，不等式无解，
当时，，
令，得，解得.
故选：D.
3、已知是定义域为上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
由题意，，故，解得
故选：B
4、已知定义在上的函数是偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数在上的单调性并证明；
（3）解不等式：．
【解析】
(1)依题意，函数，因是R上的偶函数，即，，
因此，，，
而当时，，于是得，
所以a的值是1.
(2)由（1）知，，函数在上单调递减，
，，，
因，则，，，因此，，即，
所以函数在上单调递减.
(3)依题意，，
而，，
由（2）知，，解得，
所以原不等式的解集是.
【变式练习】
1、若关于的方程有解，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】
由，得(当且仅当时等号成立)，解得故选D
2、已知对任意恒成立，则实数的取值范围为_________.
依题意，对任意恒成立，可等价为
对任意恒成立，即，
令，，
，
，解得，
实数的取值范围为.故答案为：.
3、若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】
由在定义域上递减，
要使有最大值，则在定义域上先减后增，
当，则的最小值为，
所以，可得.
故选：A
4、已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
因为对任意的实数，且，都有成立，
所以，对任意的实数，且，，即函数是上的减函数．
因为，
令，，要使在上单调递减，
所以，在上单调递增．
另一方面，函数为减函数，
所以，，解得，
所以实数a的取值范围是．
故选：D．
5、已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
①当时，二次函数的对称轴为直线，
此时函数在区间上单调递减，，
函数在区间上单调递减，，
欲使函数有最小值，需，解得：与矛盾.
②当时，函数的对称轴为直线，所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为，
函数在区间上单调递减，此时，，
欲使函数有最小值，需，解得与矛盾；
③当时，二次函数的对称轴为直线，
在区间上的最小值为，
在区间上单调递增，，
欲使函数有最小值，需，即，∴.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
6、定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数﹐请说明理由﹔
（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.
【解析】
（1）当时，，
令由，
可得，
令，
有，
可得函数的值域为
故函数在上不是有界函数;
（2）由题意有，当时，
可化为
必有且，
令，由，可得，
由恒成立，可得，
令，
可知函数为减函数，有，
由恒成立，
可得
故若函数在上是以为上界的有界函数，
则实数的取值范围为.
【模拟训练】
1、计算下列各式：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【解析】
（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
2、已知，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）将两边平方，得，即；
（2）将两边平方，有，；
（3），
3、下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
【解析】
函数是指数函数，且也是指数函数，其它函数不符合指数函数的三个特征.
故答案为：①④.
4、若函数是指数函数，则( )
A． B． C．或 D．且
【解析】
由指数函数的定义，得，解得．故选：B
5、已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】
实数且,若函数的值域为,
当时,当时,的值域为,与值域为矛盾,所以不成立
当时,对于函数,,函数的值域为.所以只需当时值域为的子集即可.即,解得(舍去)综上可知的取值范围为故选:D
6、已知函数，则的最小值是_____________.
【解析】
当时，函数单调递增，此时；
当时，设，，
此时，．综上可知，函数的最小值是．故答案为：．
7、已知函数．若，使得，则实数的最大值为__________．
【解析】
由题意可知，函数在的值域是函数在上值域的子集，
，
，
等号成立的条件是，即，成立，
即函数在的值域是
，是增函数，当时，函数的值域是，
所以，解得：，
所以实数的最大值是2.
故答案为：2
8、已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________.
【解析】
因为“对任意，存在，使”是真命题，
所以只需，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为函数在上单调递减，所以
所以，故答案为：
9、函数的增区间是________________ .
【解析】
函数的定义域为，令，则，
因为在上单调递减，
而在上单调递减，
所以函数的增区间为.故答案为：
10、若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．
【解析】
本题等价于在上单调递增，对称轴，
所以，得．即实数的取值范围是．
11、已知，，，则，，的大小关系是______．
【解析】
∵指数函数是单调减函数，，∴,
是单调增函数，∴，∴，故答案为：.
12、函数(且)的图象过定点，则点的坐标为______.
【解析】
由得,此时,
即函数过定点，故答案为: .
13、已知,则函数的图像必定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】
有已知得到：此指数函数是减函数，分布在第一，二象限，渐近线是轴，即；()是由指数函数向下平移大于1个单位得到的，即原来指数函数所过的定点向下平移到原点的下方了，所以图像不经过第一象限，所以选A，如下图所示：
14、设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A B C D
【解析】
对A，中的，中的，不能统一，错误；
对B，中的，中的，不能统一，错误；
对C，中的，中的，正确；
对D，中的，中的，不能统一，错误；
故选：C.
15、（多选题）若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． E.
【解析】
因为函数是指数函数，所以，所以，
所以，所以，，，
故B、D、E错误，A、C正确.
故选：AC
16、已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________.
【解析】
函数，在上单调递增
所以，即实数的取值范围是，
故答案为：
17、教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）
（参考数据）
A．11分钟 B．14分钟
C．15分钟 D．20分钟
【解析】
依题意可知时，，即，
所以，
由，得，两边取以为底的对数得
，，
所以至少需要分钟.
故选：A
18、（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
【解析】
，，
，则不是偶函数，故A错误；
的定义域为，
，
为奇函数，故B正确；
，
又在上单调递增，在上是增函数，故C正确；
，，则，可得，
即．
，故D错误．
故选：BC
19、（多选题）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数是指数函数
B．函数的单调增区间是
C．若则
D．函数的图像必过定点
【解析】
由指数函数定义得函数不是指数函数，A错；
函数中，，在上递增，在上递减，因此函数的单调增区间是，B正确；
时，由得，C错；
函数中，由得，，即函数图象过点，D正确．
故选：BD
20、（多选题）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；
②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；
故选：AC
21、已知函数（且）的图象经过点.
（1）求a的值；
（2）设，
①求不等式的解集；
②若恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】
(1)
由题意得，即，解得.
(2)
①由（1）知，，则，
又函数与均为R上的增函数，所以是R上的增函数，又，
故不等式可化为，则，所以不等式的解集为.
②若恒成立，则恒成立，所以.
因为，当且仅当，即时等号成立，所以，
所以实数k的取值范围是.
22、已知函数，.
（1）当时，，求函数的值域；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】
(1)当时，令，由，得，
，
当时，；当时，．
∴函数的值域为；
(2)设，则，在对任意的实数x恒成立，
等价于在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴，
设，，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴．
23、已知函数，（，为自然对数的底数）．
（1）判断函数的单调性与奇偶性并说明理由；
（2）是否存在实数t，使不等式对一切都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)
解：因为与都是R上的增函数，所以在上是增函数；
设且，所以
，
因为且，所以，即，，所以，即，所以在上单调递增；
又因为的定义域为，且，所以是奇函数．
(2)
解：由（1）可知在R上是增函数和奇函数，若对一切都成立，则对一切都成立，得对一切都成立，即对一切都成立，
因为，即，
所以，即恒成立，解得．第八讲-指数运算与指数函数
知识点一、整数指数幂
1、正整数指数幂的定义：，其中，
2、正整数指数幂的运算法则：
①（）
②（，，）
③（）
④（）
⑤（）
知识点二、根式
1、次根式定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
特别的：
①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成().
③负数没有偶次方根；
④的任何次方根都是，记作
2、根式：
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
在根式符号中，注意：
①，
②当为奇数时，对任意都有意义
③当为偶数时，只有当时才有意义.
3、与的区别：
①当为奇数时，（）
②当为偶数时，（）
③当为奇数时，且，
④为偶数时，且，
知识点三、分式指数幂
1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）.
3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义.
知识点四、有理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
知识点五、无理数指数幂
①（，）
②（，）
③（，）
考点一、指数运算
【典型例题】
1、计算化简
（1）
（2）化简：
2、已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【变式练习】
1、计算化简：
（1）
（2）
2、计算下列各式：
（1）. （2）.
3、化简.
4、已知，求下列各式的值：
(1)；(2).
知识点二、指数函数的概念
1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
2、注意指数函数的解析式：
①底数是大于0且不等于1的常数．
②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．
③的系数必须为1.
④指数函数等号右边不能是多项式，如不是指数函数．
知识点三、指数函数的图像与性质
1、指数函数的图象与性质：
图象
性质 定义域
值域
恒过定点 图象恒过定点，即当时，
单调性 在上是减函数 在上是增函数
奇偶性 非奇非偶
函数值的变化规律 当时， 当时，
当时， 当时，
当时， 当时，
常用的两个运算 ；
2、指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的关系
观察图象，我们有如下结论：
（1）底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
①当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快.
②当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
（2）底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”．
指数函数与的图象关于轴对称．
．
知识点四、指数函数的图象变换
已知函数
1、平移变换
①
②
③
④
2、对称变换
①
②
③
3、翻折变换
①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧）
②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方）
知识点五、指数型函数（简单复合函数）
一般地，有形如函数的性质：
（1）函数与函数有相同的定义域．
（2）当时，函数)与具有相同的单调性；当时，函数与函数的单调性相反．
函数
单调性 ↗ ↗ ↗
单调性 ↗ ↘ ↘
单调性 ↘ ↘ ↗
单调性 ↘ ↗ ↘
考点二、指数函数的概念判断与应用
【典型例题】
1、在①；②；③；④；⑤中，是关于的指数函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
3、函数是指数函数，则的值为( )
A．1 B．3 C．2 D．1或3
【变式练习】
1、下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
2、列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
3、函数是指数函数，则( )
A．或 B． C． D．且
4、若函数是指数函数,则的值为( )
A．2 B．-2 C． D．
考点三、指数型函数的图象
【典型例题】
1、在同一坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2、函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
3、函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式练习】
1、函数的图像可能是( )
A． B．
C． D．
2、若函数的图像在第一、三、四象限内，则( )
A． B．，且
C．，且 D．
3、在如图所示的图象中，二次函数与函数的图象可能是( )
A．B．
C． D．
考点四、指数型函数的性质
【典型例题】
1、已知函数的图像恒过定点则 ．
2、求函数的单调区间 .
3、求函数y＝－8·＋17的单调区间________．
4、若函数的值域为[0，+∞)，则实数a的取值范围是_____．
【变式练习】
1、函数(，且)的图象过定点，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
2、函数为增函数的区间是( )
A． B． C． D．
3、若函数的值域为，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
4、已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
5、已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
考点五、指数不等式与比较大小
【典型例题】
1、解关于的不等式：．
2、若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3、比较下列各组中两个数的大小：
（1）和；
（2）和；
（3）和；
（4）和．
4、已知定义在R上的函数m为实数)为偶函数，记，，，则( )
A． B． C． D．
【变式练习】
1、解关于的不等式.
2、若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3、已知，，，则a，b，c的大小关系为____.(用“” 连接)
4、若，则有（ ）
A． B． C． D．
考点六、指数的综合应用
【典型例题】
1、要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是______.
2、已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3、已知是定义域为上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、已知定义在上的函数是偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数在上的单调性并证明；
（3）解不等式：．
【变式练习】
1、若关于的方程有解，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
2、已知对任意恒成立，则实数的取值范围为_________.
3、若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
4、已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5、已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数﹐请说明理由﹔
（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.
【模拟训练】
1、计算下列各式：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
2、已知，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）
3、下列函数中是指数函数的是________.
①；②；③；④；⑤；⑥.
4、若函数是指数函数，则( )
A． B． C．或 D．且
5、已知实数且,若函数的值域为,则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6、已知函数，则的最小值是_____________.
7、已知函数．若，使得，则实数的最大值为__________．
8、已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是__________.
9、函数的增区间是________________ .
10、若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________．
11、已知，，，则，，的大小关系是______．
12、函数(且)的图象过定点，则点的坐标为______.
13、已知,则函数的图像必定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14、设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A B C D
15、（多选题）若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． E.
16、已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________.
17、教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）
（参考数据）
A．11分钟 B．14分钟
C．15分钟 D．20分钟
18、（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
19、（多选题）下列结论中，正确的是（ ）
A．函数是指数函数
B．函数的单调增区间是
C．若则
D．函数的图像必过定点
20、（多选题）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
21、已知函数（且）的图象经过点.
（1）求a的值；
（2）设，
①求不等式的解集；
②若恒成立，求实数k的取值范围.
22、已知函数，.
（1）当时，，求函数的值域；
（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
23、已知函数，（，为自然对数的底数）．
（1）判断函数的单调性与奇偶性并说明理由；
（2）是否存在实数t，使不等式对一切都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．