指对函数与函数性质的综合应用（2）
实数指数幂及其运算
(1)零指数幂； (2)负整数指数幂
(3)正分数指数幂；
(4)负分数指数幂
(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
有理数指数幂的性质
根式
根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则
对数的概念:如果,那么b叫做以a为底N的对数,记
(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ② ③
(3)对数的运算性质
① ②
对数换底公式：
对数的降幂公式：
三个常用结论：①；②；③.
名称 指数函数 对数函数
一般形式 y=ax (a>0且a≠1) y=logax (a>0 , a≠1)
定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞)
值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞)
过定点 （０，1） （1，０）
图象 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称
单调性 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 0＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 0＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数
值分布 y>1 y<1 y>0 y<0
导入：
1.下列函数既是增函数，又是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
逐一分析各选项的奇偶性、单调性即可判断作答.
【详解】
对于A，函数定义域是R，，即是奇函数，
又，显然在R上递增，在R上递减，则在R上递增，A是；
对于B，函数定义域是R，，即是奇函数，
而当时，，即在上不递增，B不是；
对于C，定义域是，是奇函数，在定义域上不单调，C不是；
对于D，定义域是，是奇函数，在定义域上不单调，D不是.
故选：A
2．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
通过函数的奇偶性，的值，以及时函数的极限值排除错误选项即可.
【详解】
解：函数的定义域为R，
，即为偶函数，排除B；
当时，，所以排除A；
当时，，，排除D.
故选：C.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
3．已知函数，若是偶函数，记，若函数是奇函数，记，则的值为（ ）
A． B．0或4 C．1 D．2或5
【答案】C
【分析】
根据函数为奇偶性的定义求解.
【详解】
当函数是偶函数时，，即，
即对任意实数x都成立，所以，即.
当函数是奇函数时，，即，
即对任意实数x都成立，所以，即，
所以.
故选；C
4．（多选）已知则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．若为奇函数，则
C．在上单调递减 D．若，则的值域为
【答案】ABD
【分析】
对于A选项，由于恒成立，故可判断；对于B选项，根据得，再检验即可判断；对于C选项，，再根据复合函数单调性判断即可；对于D选项，若，则，在求解即可判断.
【详解】
解：对于A选项，由于恒成立，故函数的定义域为，故正确；
对于B选项，若为奇函数，则，即，此时，，，满足奇函数定义，故正确；
对于C选项，，由于函数在上单调递增，故根据复合函数单调性得在上单调递增，所以在上单调递增，故错误；
对于D选项，若，则，由于，所以，所以，即的值域为，故正确.
故选：ABD
5.设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
【答案】(－1，0).
【解析】由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1典例1．已知函数，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据指数函数的单调性可判断函数单调性，根据奇函数的概念可判断函数是奇函数，由此即可求出结果.
【详解】
因为函数均是减函数，所以是减函数，
又的定义域为，
所以函数是奇函数，
若，所以
所以，所以.
故答案为：.
练1.已知，则不等式的解集为（ ）
（-1,6） B．（-6,1） C．（-2,3） D．（-3,2）
练2.已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求实数；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
（1）1
（2）
【分析】
（1）根据奇函数的性质，，求参数后，并验证；
（2）结合函数的单调性和奇函数的性质，不等式变形得恒成立，再根据判别式求实数的取值范围．
（1）
∵是定义域为的奇函数，∴，∴，则．
，满足，所以成立.
（2）
中，函数单调递减，单调递增，故在上单调递增．
原不等式化为，∴即恒成立，
∴，解得．
练3．已知函数，若，则实数的取值范围为______.
【答案】或
【分析】
令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】
令，对任意的，，
故函数的定义域为，
因为，
则，所以，函数为奇函数，
当时，令，由于函数和在上均为减函数，
故函数在上也为减函数，
因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，
所以，函数在上也为减函数，
因为函数在上连续，则在上为减函数，
由可得，即，
所以，，即，解得或.
故答案为：或.
提升1.已知函数，则关于的不等式的解集是_______.
提升2．已知函数（，），且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】
令，由，可得为奇函数，利用奇函数的性质即可求解.
【详解】
解：令，
因为，
所以为奇函数，
所以，即，
又，
所以，
故选：C.
典例2．函数，则关于x的不等式的解集是_____．
【答案】
【分析】
判断函数的奇偶性和单调性，运用奇偶性和单调性进行求解即可.
【详解】
因为，
所以函数是偶函数，
因此，
又因为在上单调递增，
所以由，
故答案为：
练1.已知，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知条件，根据偶函数的性质得到在上单调递减，，
利用指数对数函数的性质比较、、的大小关系，注意先和、比较大小，、的大小比较要化为同底数的对数，在利用对数函数的单调性比较．
【详解】
函数的定义域为，
因为，故函数为偶函数，
当时，，则该函数在上单调递减，
，，，
，，
故，即，即，
故选：B．
【点睛】
方法点睛：利用幂指对函数的性质比较实数或式子的大小，先要考虑分析数或式子的大致范围（常常与、比较），来进行比较大小，要借助、等常见数的“桥梁”作用．有时候还要考虑化为同底数的幂或者对数进行比较大小．
练习
1、设函数f（x）=ex+ae x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】-1; .
2、已知函数是奇函数，则______.
【答案】1
【分析】
根据题意，结合，即可求解.
【详解】
因为奇函数，且定义域为，
所以，即，解得.
故答案为：1.
3、已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【试题分析】解： ，
在在上单调递增，，
或，解可得，或，
即，故选：A．
【答案】A
【小结】有时可以利用函数的图像判断函数的单调性
4、已知函数，若，则__________.
4/3
5、设函数为奇函数，则实数___________.
B. C. D.
A
6、已知定义域为R的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为______．
【答案】或
【分析】
根据偶函数的对称性得到在上是增函数且，，且函数在上单调递减，可得到或，解不等式即可得到结果.
【详解】
定义域为R的偶函数在上是增函数且，
根据偶函数的对称性得到，且函数在上单调递减，
，可得到，
即或
解得或者.
故答案为：或
7、判断下列函数的奇偶性并证明：
（1）；
（2）．
【答案】
（1）为奇函数，证明见解析；
（2）为奇函数，证明见解析.
【分析】
首先确定定义域关于原点对称，根据奇偶函数定义依次判断两个函数奇偶性即可.
（1）
，，定义域为；
，，
为定义在上的奇函数；
（2）
在上恒成立，定义域为，
，
为定义在上的奇函数.
8、已知函数（其中且），且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断的奇偶性，并证明；
（3）设，请直接写出的单调区间（无需证明）.
【答案】
（1）
（2）是定义在上的奇函数，证明见解析
（3）在和上单调递减
【分析】
（1）根据，求得参数，即可得解；
（2）根据奇偶函数的定义，判断的关系，即可得出结论；
（3）根据，再结合指数函数的单调性即可得出答案.
（1）
解：，
，解得：，
函数的解析式为；
（2）
解：函数的定义域为，对于任意的，，
且，
函数是定义在上的奇函数；
（3）
解：，，
函数在和上单调递减.
9、已知函数为奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）探究函数在上的单调性
（3）求函数在上的值域
【答案】
（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【分析】
（1）由函数奇偶性的概念得到，化简求值，得到两个取值，再代入原式，进行取舍即可；（2）由定义法证明内层函数单调递减，再结合外层函数的单调性，最终得到函数的单调性；（3）函数在上为增函数，设内层函数，得到内层函数的值域，再结合外层函数的单调性得到结果.
（1）
函数为奇函数，则
化简得到
即
当时，不符合对数函数的定义，故舍去；
故.
（2）
由第一问得到，
设，，
任取，
因为，，
故得到函数在上是单调递减的，
外层函数是单调递减的，
由复合函数单调性，得到函数在 上是单调递增的.
（3）
由第二问得到函数在 上是单调递增的，
故得到函数在上也是增的，
，令，，
10、已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性；
（3）解关于的不等式.
【答案】
（1），；
（2）在上为减函数；
（3）或.
【分析】
（1）由是定义在上的奇函数，可得，从而可求出的值，再由奇函数的定义可得，代入计算可求出的值；
（2）对函数解析式进行分离常数，得，观察解析式即可判断的单调性；
（3）由于是奇函数，则将原不等式变形为，结合函数的单调性，得出，最后解一元二次不等式即可求得结果
（1）
解：因为是定义在上的奇函数，
所以，即，解得：，
所以，又由，
则，解得：.
（2）
解：由，
易知在上为减函数.
（3）
解：因为是奇函数，所以不等式等价于
，
又因为在上为减函数，
所以，即，解得：或，
所以该不等式的解集为或.指对函数与函数性质的综合应用（2）
实数指数幂及其运算
(1)零指数幂； (2)负整数指数幂
(3)正分数指数幂；
(4)负分数指数幂
(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
有理数指数幂的性质
根式
根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则
对数的概念:如果,那么b叫做以a为底N的对数,记
(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ② ③
(3)对数的运算性质
① ②
对数换底公式：
对数的降幂公式：
三个常用结论：①；②；③.
名称 指数函数 对数函数
一般形式 y=ax (a>0且a≠1) y=logax (a>0 , a≠1)
定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞)
值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞)
过定点 （０，1） （1，０）
图象 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称
单调性 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 0＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 0＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数
值分布 y>1 y<1 y>0 y<0
导入：
1.下列函数既是增函数，又是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若是偶函数，记，若函数是奇函数，记，则的值为（ ）
A． B．0或4 C．1 D．2或5
4．（多选）已知则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．若为奇函数，则
C．在上单调递减 D．若，则的值域为
5.设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
典例1．已知函数，若，则实数的取值范围是____.
练1.已知，则不等式的解集为（ ）
（-1,6） B．（-6,1） C．（-2,3） D．（-3,2）
练2.已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求实数；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
练3．已知函数，若，则实数的取值范围为______.
提升1.已知函数，则关于的不等式的解集是_______.
提升2．已知函数（，），且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
典例2．函数，则关于x的不等式的解集是_____．
练1.已知，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
练习
1、设函数f（x）=ex+ae x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
2、已知函数是奇函数，则______.
3、已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4、已知函数，若，则__________.
5、设函数为奇函数，则实数___________.
B. C. D.
6、已知定义域为R的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为______．
7、判断下列函数的奇偶性并证明：
（1）；
．
8、已知函数（其中且），且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断的奇偶性，并证明；
（3）设，请直接写出的单调区间（无需证明）.
9、已知函数为奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）探究函数在上的单调性
（3）求函数在上的值域
10、已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性；
（3）解关于的不等式.
