第三章 函数的概念与性质 专题训练（含解析）

函数的概念与性质
1.函数f(x)=+log2x的定义域是(　　)　　　　　　　　　　　　
A.(0,2] B.[0,2) C.[0,2] D.(0,2)
2.设函数f(x)=则f(f(2))的值为(　　)
A.0 B.3 C.-1 D.2
3.函数f(x)=x·ln|x|的图象可能是(　　)
4.下列函数在(0,2)上单调递增的是(　　)
A.y=sin(x-2) B.y=ex-2
C.y=(x-2)2 D.y=
5.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
6.关于函数f(x)=,下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小值为1
B.f(x)的图象不具备对称性
C.f(x)在[-2,+∞)上单调递增
D.对任意x∈R,均有f(x)≤1
7.已知函数f(x)=则函数f(x)的最大值为(　　)
A.2+2 B.2-2
C.-1 D.1
8.已知定义在[a-1,2a]上的偶函数f(x)满足当x≥0时单调递增,则关于x的不等式f(x-1)>f(a)的解集是(　　)
A.[)
B.[)∪(]
C.(-,-]∪(]
D.随a的值变化而变化
9.已知a>0,a≠1,函数f(x)=若f(f(0))=2,则a=　　　　.
10.已知函数f(x)=为奇函数,则实数a的值为　　　　.
11.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+-3,则函数f(x)的解析式为　　　　　.
12.函数f(x)=(的定义域为　　　　　　,值域为　　　　　　　　.
13.函数f(x)=的单调递减区间为　　　　,值域为　　　　.
14.已知函数f(x)=2x+,若f(3m-1)15.已知二次函数f(x)=x2-2x-1.
(1)当x∈[-2,2]时,求函数f(x)的值域;
(2)若f(x)在区间[2a,a+2]上是单调函数,求实数a的取值范围.
16.已知函数f(x)=x2+ax+b.
(1)若对任意的实数x∈R都有f(1+x)=f(1-x)成立,求实数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(3)若函数g(x)=sin x·f(x)为奇函数,求实数a的值.
17.已知函数f(x)=x+(a>0),具有如下性质:在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.
(1)若函数y=x+(x>0)的值域为[6,+∞),求b的值;
(2)已知函数f(x)=,x∈[0,1],求函数f(x)的单调区间和值域.
18.函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)
A.(,1) B.(-∞,)∪(1,+∞)
C.(-) D.(-∞,)∪(,+∞)
19.函数f(x)=若f(1)=2,则实数k=　　　　,若对任意的x1,x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　.
20.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1),则f(f(1))=　　　,若函数f(x)的值域为[3,+∞),则实数a的取值范围是　　　　　　　.
21.若函数f(x)=在(-∞,)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
22.已知函数f(x)=loga(x2-2ax+a+2)(a>0,a≠1).若a=3,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.
23.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对定义域内的任意实数m,n都有f(m)+f(n)=f(mn),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上的单调性.
24.已知m∈R,函数f(x)=x|x-m|.
(1)当m=3时,写出f(x)的单调递增区间;
(2)当m>0时,求f(x)在区间[1,3]上的最小值.
函数的概念与性质
1.A　解析 要使函数有意义,则解得02.A　解析 由题可得,f(2)=3,所以f(f(2))=f(3)=f(1)=0.故选A.
3.D　解析 由题可得,x≠0.因为f(-x)=(-x)·ln|-x|=-x·ln|x|=-f(x),所以可知函数是奇函数,排除A,C;当04.B　解析 函数y=ex-2在(0,2)上单调递增,满足要求,其余不符合题意.故选B.
5.D　解析 因为函数y=f(x)+x是偶函数,所以f(2)+2=f(-2)-2,解得f(-2)=5.故选D.
6.D　解析 对于函数y=x2+4x+5=(x+2)2+1,其在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,图象关于直线x=-2对称,且有最小值1.所以对于函数f(x)=来说,其图象同样关于直线x=-2对称,在[-2,+∞)上单调递减,在(-∞,-2]上单调递增,所以函数有最大值1,即对任意x∈R,均有f(x)≤1.所以正确的是D.
7.B　解析 当x<0时,y=x++2≤2-2,当且仅当x=-时,等号成立;当x≥0时,y=-x2-1≤-1.因为2-2-(-1)=3-2>0,所以可知函数f(x)的最大值为2-2.故选B.
8.B　解析 因为函数是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,解得a=.又因为当x≥0时单调递增,且f(x-1)>f(a),所以有即有解得≤x<f(a)的解集是[)∪(].故选B.
9.　解析 由题可得,f(0)=20+2=3,所以f[f(0)]=f(3)=loga2=2,即a2=2,因为a>0,a≠1,所以a=.
10.-1　解析 方法一　由题可得f(-x)==-=-f(x),所以有-1-a=1+a,解得a=-1.
方法二　因为函数是奇函数,所以f(-1)=0=-f(1)=-2(1+a),解得a=-1.
11.f(x)=　解析 设x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2+-3=x2--3=-f(x),所以当x<0时,f(x)=-x2++3.所以函数f(x)=
12.[-2,2]　[,1]　解析 由题可得4-x2≥0,解得-2≤x≤2,所以函数的定义域为[-2,2].因为0≤≤2,所以f(x)=∈[,1],所以函数的值域为[,1].
13.[1,2]　[0,1]　解析 由2x-x2≥0可得0≤x≤2,由复合函数的单调性可知,函数的单调递减区间为[1,2],其值域为[0,1].
14.(,1)　解析 因为f(x)=2x+,所以f(-x)=2-x++2x=f(x),可知函数是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增.因为f(3m-1)15.解 (1)因为f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,其对称轴为x=1.
当x∈[-2,2]时,可知f(x)min=f(1)=-2,
f(x)max=max{f(-2),f(2)}=max{7,-1}=7,
所以此时函数的值域为[-2,7].
(2)因为f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,
且在区间[2a,a+2]上是单调函数,
所以有
解得≤a<2或a≤-1,即a的取值范围为(-∞,-1]∪[,2).
16.解 (1)因为对任意的实数x∈R都有f(1+x)=f(1-x)成立,
所以可知函数的图象关于直线x=1对称,
即-=1,
解得a=-2.
(2)因为f(x)=x2+ax+b=(x+)2+b-,
所以可知函数f(x)在(-∞,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增.
因为f(x)在(-∞,1]内单调递减,
所以-≥1,
解得a≤-2,即a的取值范围为(-∞,-2].
(3)g(x)=(x2+ax+b)·sin x是奇函数,
所以g(-x)=(x2-ax+b)sin(-x)=-(x2+ax+b)sin x=-g(x),
解得a=0.
17.解 (1)对于函数y=x+(x>0),
因为其值域为[6,+∞),
即最小值为6=2,
解得b=log29.
(2)令t=2x+1,因为x∈[0,1],所以t∈[1,3].
所以y==t+-8.
由上可知函数y=t+-8在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,
则函数f(x)=在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增.
所以可知函数的值域为[-4,-3].
18.A　解析 因为f(-x)=ln(1+|-x|)-=ln(1+|x|)-=f(x),所以函数是偶函数,满足f(-x)=f(x)=f(|x|).当x>0时,f(x)=ln(1+x)-在(0,+∞)上单调递增.由f(x)>f(2x-1)可得f(|x|)>f(|2x-1|),所以有|x|>|2x-1|,即x2>(2x-1)2,解得19.3　[2,3]　解析 由题可得,f(1)=-1+k=2,解得k=3.若(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,则函数f(x)在R上单调递增,所以只需满足解得2≤k≤3.
20.7　(1,3]　解析 因为f(1)=1-2+4=3,所以f(f(1))=f(3)=9-6+4=7.当x≤3时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3.因为函数f(x)的值域为[3,+∞),所以当x>3时,f(x)=2+logax的取值在[3,+∞)上,所以解得121.[3,]　解析 由题可得x2-ax+a≥0.要使函数f(x)=在(-∞,)上单调递减,则需解得3≤a≤.
22.(5,+∞)　[2,+∞)　解析 当a=3时,f(x)=log3(x2-6x+5),令x2-6x+5>0,解得x<1或x>5.由复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞).要使函数f(x)的值域为R,则需满足Δ=4a2-4(a+2)≥0,又a>0且a≠1,解得a≥2.所以满足条件的实数a的取值范围是[2,+∞).
23.(1)解 令m=n=1,则f(1)+f(1)=f(1),
解得f(1)=0.
(2)证明 x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(·x1)
=f(x1)-f()-f(x1)
=-f()>0,
即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
24.解 (1)当m=3时,f(x)=x|x-3|=
所以可知函数的单调递增区间为(-∞,)和(3,+∞).
(2)f(x)=x|x-m|=
所以可知函数f(x)在(-∞,)上单调递增,在(,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增.
所以当2≤,m≥4时,f(x)min=f(1)=|1-m|;
当<2,且3≤m时,f(x)min=f(3)=|9-3m|;
当1当m≤1时,f(x)min=f(1)=|1-m|.
所以f(x)min=