双曲线常考题型归纳 讲义（含答案）
文档属性
| 名称 | 双曲线常考题型归纳 讲义（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 259.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-04 13:00:52 | ||
图片预览
文档简介
双曲线常考题型归纳
【典例精析】
题型一：双曲线的标准方程
【例1】已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)
C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
[方法技巧]
求双曲线标准方程的2种方法
定义法 依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值
待定系数法 设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为π，则C的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1或－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1或－＝1
题型二：双曲线的定义及其应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
【例2】已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1(x＜0) B．－＝1(x＞0)
C．－＝1(x＜0) D．－＝1(x＞0)
【变式训练】
1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
【例3】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练】
1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )
A．3 B．16＋ C．12＋ D．24
2．已知双曲线C：－＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cos∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为________．
3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则等于________．
考法(三) 利用定义求最值
【例3】已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[方法技巧]
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．
(2)在双曲线的有关问题中，若遇到动点到两定点的距离问题，应首先想到双曲线的定义．在双曲线中，涉及|PF1|·|PF2|的问题时，一般都会用到双曲线的定义；涉及焦点三角形面积的问题时：
①若已知角，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，||PF1|－|PF2||＝2a及余弦定理等知识求解；
②若未知角，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|＝c·|y0|求解．
提醒：利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
【变式训练】
1．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋10)2＋y2＝1和(x－10)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．15
已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
题型三：双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的渐近线方程
【例4】(1)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[方法技巧]
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x．
(2)已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
【变式训练】
1．点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A． B．
C． D．
2．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．± B．± C．±1 D．±
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限内的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±2x
考法(二) 求双曲线的离心率
【例5】(1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
[方法技巧]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－．
【变式训练】
1．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．2
2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,3] B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
3．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
4．(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是( )
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
5．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
考法(三) 与双曲线有关的范围、最值问题
【例6】已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[方法技巧]
求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法
几何法 如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解
代数法 若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解
【变式训练】
1．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C． D．
【课后练习】
1．双曲线－y2＝1的实轴长为( )
A．4 B．2 C．2 D．2
2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
3．已知双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为x±y＝0，则b＝( )
A．2 B． C． D．12
4．△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1(x>3) D．－＝1(x>4)
5．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．1 B．1或9
C．3或9 D．9
6．设已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．6
C．9 D．18
7．设双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝( )
A． B．
C．2 D．
8．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
9．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为( )
A．3 B．
C． D．
11．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则( )
A．b＝2 B．C的焦距为2
C．C的离心率为 D．△ABF1的面积为4
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为______________．
13．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为，则双曲线C的方程为______________．
14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为__________．
15．如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
双曲线常考题型归纳
【典例精析】
题型一：双曲线的标准方程
【例1】已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)
C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
解析：选B 由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．
[方法技巧]
求双曲线标准方程的2种方法
定义法 依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值
待定系数法 设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D．
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a．又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D．
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为π，则C的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1或－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1或－＝1
[解析] 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，
可得2××2a×b＝2，ab＝，
直线A2P的方程为bx＋ay＝ab，
四边形A1PA2Q内切圆的周长为π，
又内切圆的半径为＝，
所以π＝π，解得c＝，所以a2＋b2＝3，
解得a＝，b＝1或a＝1，b＝，
所以双曲线方程为x2－＝1或－y2＝1．故选B．
题型二：双曲线的定义及其应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
【例2】已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1(x＜0) B．－＝1(x＞0)
C．－＝1(x＜0) D．－＝1(x＞0)
[解析] 设动圆M的半径为r，由题意知，|MC1|＝r＋5，|MC2|＝r＋1，则|MC1|－|MC2|＝4＜|C1C2|＝8，所以M点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝4，则b2＝12，则动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x＜0)．故选A．
【变式训练】
1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2。因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线。答案 B
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
【例3】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[解析] 由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2．在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．[答案] B
【变式训练】
1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )
A．3 B．16＋ C．12＋ D．24
解析：选B 由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝．由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝ ①，|BF2|－|BF1|＝ ②，
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，则△ABF2的周长为16＋，故选B．
2．已知双曲线C：－＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cos∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为________．
解析：由题意，知2c＝10，所以c＝5，所以k＋5＝25，所以k＝20．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝4 ①．在△F1PF2中，由余弦定理，知m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝100 ②．由①②及cos∠F1PF2＝得mn＝30．又sin∠F1PF2＝＝，所以＝mnsin∠F1PF2＝5．
答案：20 5
3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则等于________．
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝π，
所以＝|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以|BA|＝|BF2|，又∠F1AF2＝π，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，
所以＝＝.故选B.
考法(三) 利用定义求最值
【例3】已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[解析] 因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9．
[答案] 9
[方法技巧]
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．
(2)在双曲线的有关问题中，若遇到动点到两定点的距离问题，应首先想到双曲线的定义．在双曲线中，涉及|PF1|·|PF2|的问题时，一般都会用到双曲线的定义；涉及焦点三角形面积的问题时：
①若已知角，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，||PF1|－|PF2||＝2a及余弦定理等知识求解；
②若未知角，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|＝c·|y0|求解．
提醒：利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
【变式训练】
1．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋10)2＋y2＝1和(x－10)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．12 B．13 C．14 D．15
解析：选D 在双曲线－＝1中，由a＝6，b＝8，c＝10，得F1(－10,0)，F2(10,0)，故|PF1|－|PF2|＝2a＝12，|MP|≤|PF1|＋|MF1|，|PN|≥|PF2|－|NF2|，－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝12＋1＋2＝15，故选D.
2．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
解析：由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|．因为|AF|＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12．
题型三：双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的渐近线方程
【例4】(1)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 (1)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a．
又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则|PF2|＝2a最小，所以∠PF1F2＝30°．
在△PF1F2中，由余弦定理，可得cos 30°＝＝＝，
整理得c2＋3a2＝2ac，解得c＝a，所以b＝ ＝a．
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x．故选A．
(2)如图所示，连接OA，OB，
设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°．
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°．
因为FA与圆O相切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝＝＝a，
故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±x，即y＝±x．【答案】 (1)A (2)A
[方法技巧]
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x．
(2)已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
【变式训练】
1．点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0．由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x±4y＝0的距离为＝．故选A．
2．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．± B．± C．±1 D．±
解析：选C 由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C．∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b．∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1．
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限内的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±2x
解析：连接F1M．∵点P是双曲线C在第一象限内的点，
∴|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵直线PO交双曲线C左支于点M，
∴由对称性可知，|PO|＝|OM|，
又∵|OF1|＝|OF2|，∴四边形PF1MF2为平行四边形，
∴|MF2|＝|PF1|＝4a．在△POF2中，由余弦定理，得4a2＝|PO|2＋c2－2c|PO|cos∠POF2，①
在△POF1中，由余弦定理，得16a2＝|PO|2＋c2＋2c|PO|cos∠POF2，②
由①＋②，得20a2＝2|PO|2＋2c2，
∴|PO|2＝10a2－c2，即|PO|＝，∴|PM|＝2，又∵直线PF2交双曲线C右支于点N，且∠MF2N＝60°，∴∠MF2P＝120°．在△PMF2中，由余弦定理，得4(10a2－c2)＝4a2＋16a2－2×2a×4a×cos 120°，即c2＝3a2，又知c2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝3a2，∴＝2，
∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选A．
考法(二) 求双曲线的离心率
【例5】(1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
[解析] (1)由题意，得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a．
在△PF1F2中，由余弦定理，可得＝，所以＝，
所以双曲线C的离心率为．故选A．
(2)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B．
[方法技巧]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
(4)通过特殊位置求出离心率．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－．
【变式训练】
1．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．2
【解析】 由已知，得直线l的方程为ay＋bx－ab＝0，因为原点到直线l的距离为c，所以＝c，又c2＝a2＋b2，所以4ab＝c2，两边平方，得16a2b2＝3c4，即16a2(c2－a2)＝3c4，两边同除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，所以e2＝4或e2＝．由02，所以e2＝4．故e＝2．
故选D．
2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,3] B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
[解析] 根据|PF1|＝2|PF2|以及|PF1|－|PF2|＝2a，可知|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又因为|PF2|≥c－a，所以2a≥c－a，故e≤3，所以1＜e≤3，故选A．
3．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
解析：A 在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以
|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝＜2，又e＞1，所以1＜e＜2，故选A．
4．(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是( )
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
解析：BD 因为·＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝．在三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设PF1＝x，PF2＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e＋e＝2，e－e＝1，故选B、D．
5．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，
则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝tan＝，a＝b，
可得c＝a，则e＝．综上可得e＝2或e＝．答案：2或
考法(三) 与双曲线有关的范围、最值问题
【例6】已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
因为·<0，所以(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0．
因为点M(x0，y0)在双曲线C上，所以－y＝1，即x＝2＋2y，所以2＋2y－3＋y<0，
所以－[方法技巧]
求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法
几何法 如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解
代数法 若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解
【变式训练】
1．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C． D．
解析：由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线的方程为－y2＝1.设P(x，y)(x≥)，·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥)．令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，则g(x)在[，＋∞)上单调递增，g(x)min＝g()＝3＋2.
∴·的取值范围为[3＋2，＋∞)，故选B．
【课后练习】
1．双曲线－y2＝1的实轴长为( )
A．4 B．2 C．2 D．2
解析：选D 由题知a2＝2，∴a＝，故实轴长为2a＝2，故选D．
2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D 由03．已知双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为x±y＝0，则b＝( )
A．2 B． C． D．12
解析：选A 因为双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，又渐近线方程为y＝±x，所以＝，b＝2，故选A．
4．△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1(x>3) D．－＝1(x>4)
解析：由条件可得圆与x轴的切点为T(3,0)，由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6，因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，∵2a＝6,2c＝10，∴a＝3，b＝4，∴所求的双曲线方程为－＝1，且点C不在直线AB上，即x>3故选C
5．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．1 B．1或9 C．3或9 D．9
解析：选D 由题意知＝2，所以a＝2，所以c＝＝2，所以|PF1|＝5＜2＋2＝a＋c，所以点P在双曲线C的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝4，所以|PF2|＝9．故选D．
6．设已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．6 C．9 D．18
解析：选C 在双曲线C：x2－＝1中，F1(－3,0)，F2(3,0)，渐近线方程：y＝±2x，因为|OP|＝|PF2|，则点P在线段OF2的中垂线x＝上，则P点纵坐标y0满足|y0|＝3，所以△PF1F2的面积S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝9．故选C．
7．设双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝( )
A． B．
C．2 D．
解析：A 易知c2＝25a2，则c＝5a，|F1F2|＝2c＝10a．因为P为C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝100a2，解得|PF2|＝6a(负值舍去)，所以|PF1|＝8a，故tan∠PF2F1＝＝．故选A．
8．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
解析：选A 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF．设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝．由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＝a2，故＝，即e＝．故选A．
9．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
解析：选B 在焦点△PF1F2中，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，由正弦定理得2|PF2|＝|PF1|，又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|得4a＋2a＞2c，∴e＜3，则1＜e＜3，故选B．
10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为( )
A．3 B．
C． D．
解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设P点在双曲线右支上，则根据椭圆及双曲线的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，
所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝，
则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)·(a1－a2)cos，
化简得a＋3a＝4c2，即＋＝4，从而有4＝＋≥2，整理得e1·e2≥，故选D．
11．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则( )
A．b＝2 B．C的焦距为2
C．C的离心率为 D．△ABF1的面积为4
解析：ACD 设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝t，离心率e＝＝，选项C正确．因此 ＝，b＝2，选项A正确．|F1F2|＝2＝2，选项B错误．△ABF1的面积为|F1F2|＝4，选项D正确．故选A、C、D．
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为______________．
解析：∵e＝＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b2＝3a2，b＝a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x．
答案：y＝±x
13．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为，则双曲线C的方程为______________．
解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，所以e2＝1＋＝，即b＝2a．又从C的右焦点F(c,0)引渐近线y＝x的垂线，则|AF|＝＝b，所以|AO|＝＝a，因为△AFO的面积为，所以ab＝，解得a＝，b＝2，所以双曲线C的方程为－＝1．
14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为__________．
解析：∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，
由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，
则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，
∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9．∴双曲线的方程为－＝1．
15．如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
解析：∵△ABF2为等边三角形，
∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°．
由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|BF1|＝2a．
又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a．
∴|AF2|＝4a，|AF1|＝6a．
在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF2|2＋|AF1|2－2|AF2|·|AF1|cos 60°，
∴(2c)2＝(4a)2＋(6a)2－2×4a×6a×，整理得c2＝7a2，∴e＝＝＝．
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为－＝1．
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，所以x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
所以x0＝c，所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为．
【典例精析】
题型一：双曲线的标准方程
【例1】已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)
C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
[方法技巧]
求双曲线标准方程的2种方法
定义法 依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值
待定系数法 设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为π，则C的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1或－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1或－＝1
题型二：双曲线的定义及其应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
【例2】已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1(x＜0) B．－＝1(x＞0)
C．－＝1(x＜0) D．－＝1(x＞0)
【变式训练】
1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
【例3】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练】
1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )
A．3 B．16＋ C．12＋ D．24
2．已知双曲线C：－＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cos∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为________．
3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则等于________．
考法(三) 利用定义求最值
【例3】已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[方法技巧]
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．
(2)在双曲线的有关问题中，若遇到动点到两定点的距离问题，应首先想到双曲线的定义．在双曲线中，涉及|PF1|·|PF2|的问题时，一般都会用到双曲线的定义；涉及焦点三角形面积的问题时：
①若已知角，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，||PF1|－|PF2||＝2a及余弦定理等知识求解；
②若未知角，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|＝c·|y0|求解．
提醒：利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
【变式训练】
1．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋10)2＋y2＝1和(x－10)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．15
已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
题型三：双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的渐近线方程
【例4】(1)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[方法技巧]
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x．
(2)已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
【变式训练】
1．点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A． B．
C． D．
2．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．± B．± C．±1 D．±
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限内的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±2x
考法(二) 求双曲线的离心率
【例5】(1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
[方法技巧]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－．
【变式训练】
1．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．2
2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,3] B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
3．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
4．(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是( )
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
5．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
考法(三) 与双曲线有关的范围、最值问题
【例6】已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[方法技巧]
求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法
几何法 如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解
代数法 若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解
【变式训练】
1．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C． D．
【课后练习】
1．双曲线－y2＝1的实轴长为( )
A．4 B．2 C．2 D．2
2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
3．已知双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为x±y＝0，则b＝( )
A．2 B． C． D．12
4．△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1(x>3) D．－＝1(x>4)
5．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．1 B．1或9
C．3或9 D．9
6．设已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．6
C．9 D．18
7．设双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝( )
A． B．
C．2 D．
8．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
9．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为( )
A．3 B．
C． D．
11．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则( )
A．b＝2 B．C的焦距为2
C．C的离心率为 D．△ABF1的面积为4
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为______________．
13．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为，则双曲线C的方程为______________．
14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为__________．
15．如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
双曲线常考题型归纳
【典例精析】
题型一：双曲线的标准方程
【例1】已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0)
C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
解析：选B 由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．
[方法技巧]
求双曲线标准方程的2种方法
定义法 依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值
待定系数法 设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
【变式训练】
1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D．
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，即c＝a．又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D．
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为π，则C的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1或－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1或－＝1
[解析] 双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，
可得2××2a×b＝2，ab＝，
直线A2P的方程为bx＋ay＝ab，
四边形A1PA2Q内切圆的周长为π，
又内切圆的半径为＝，
所以π＝π，解得c＝，所以a2＋b2＝3，
解得a＝，b＝1或a＝1，b＝，
所以双曲线方程为x2－＝1或－y2＝1．故选B．
题型二：双曲线的定义及其应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
【例2】已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1(x＜0) B．－＝1(x＞0)
C．－＝1(x＜0) D．－＝1(x＞0)
[解析] 设动圆M的半径为r，由题意知，|MC1|＝r＋5，|MC2|＝r＋1，则|MC1|－|MC2|＝4＜|C1C2|＝8，所以M点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝4，则b2＝12，则动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x＜0)．故选A．
【变式训练】
1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2。因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线。答案 B
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
【例3】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[解析] 由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2．在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．[答案] B
【变式训练】
1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )
A．3 B．16＋ C．12＋ D．24
解析：选B 由于2b＝2，e＝＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝．由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝ ①，|BF2|－|BF1|＝ ②，
①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋，则△ABF2的周长为16＋，故选B．
2．已知双曲线C：－＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cos∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为________．
解析：由题意，知2c＝10，所以c＝5，所以k＋5＝25，所以k＝20．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝4 ①．在△F1PF2中，由余弦定理，知m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝100 ②．由①②及cos∠F1PF2＝得mn＝30．又sin∠F1PF2＝＝，所以＝mnsin∠F1PF2＝5．
答案：20 5
3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则等于________．
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝π，
所以＝|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以|BA|＝|BF2|，又∠F1AF2＝π，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，
所以＝＝.故选B.
考法(三) 利用定义求最值
【例3】已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[解析] 因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9．
[答案] 9
[方法技巧]
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．
(2)在双曲线的有关问题中，若遇到动点到两定点的距离问题，应首先想到双曲线的定义．在双曲线中，涉及|PF1|·|PF2|的问题时，一般都会用到双曲线的定义；涉及焦点三角形面积的问题时：
①若已知角，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，||PF1|－|PF2||＝2a及余弦定理等知识求解；
②若未知角，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|＝c·|y0|求解．
提醒：利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
【变式训练】
1．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋10)2＋y2＝1和(x－10)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．12 B．13 C．14 D．15
解析：选D 在双曲线－＝1中，由a＝6，b＝8，c＝10，得F1(－10,0)，F2(10,0)，故|PF1|－|PF2|＝2a＝12，|MP|≤|PF1|＋|MF1|，|PN|≥|PF2|－|NF2|，－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝12＋1＋2＝15，故选D.
2．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
解析：由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|．因为|AF|＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝×6×6－×6×2＝12．
题型三：双曲线的几何性质
考法(一) 求双曲线的渐近线方程
【例4】(1)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 (1)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a．
又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则|PF2|＝2a最小，所以∠PF1F2＝30°．
在△PF1F2中，由余弦定理，可得cos 30°＝＝＝，
整理得c2＋3a2＝2ac，解得c＝a，所以b＝ ＝a．
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x．故选A．
(2)如图所示，连接OA，OB，
设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°．
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°．
因为FA与圆O相切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝＝＝a，
故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±x，即y＝±x．【答案】 (1)A (2)A
[方法技巧]
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x．
(2)已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
【变式训练】
1．点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0．由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x±4y＝0的距离为＝．故选A．
2．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．± B．± C．±1 D．±
解析：选C 由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C．∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b．∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1．
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限内的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±2x
解析：连接F1M．∵点P是双曲线C在第一象限内的点，
∴|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵直线PO交双曲线C左支于点M，
∴由对称性可知，|PO|＝|OM|，
又∵|OF1|＝|OF2|，∴四边形PF1MF2为平行四边形，
∴|MF2|＝|PF1|＝4a．在△POF2中，由余弦定理，得4a2＝|PO|2＋c2－2c|PO|cos∠POF2，①
在△POF1中，由余弦定理，得16a2＝|PO|2＋c2＋2c|PO|cos∠POF2，②
由①＋②，得20a2＝2|PO|2＋2c2，
∴|PO|2＝10a2－c2，即|PO|＝，∴|PM|＝2，又∵直线PF2交双曲线C右支于点N，且∠MF2N＝60°，∴∠MF2P＝120°．在△PMF2中，由余弦定理，得4(10a2－c2)＝4a2＋16a2－2×2a×4a×cos 120°，即c2＝3a2，又知c2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝3a2，∴＝2，
∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选A．
考法(二) 求双曲线的离心率
【例5】(1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
[解析] (1)由题意，得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a．
在△PF1F2中，由余弦定理，可得＝，所以＝，
所以双曲线C的离心率为．故选A．
(2)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B．
[方法技巧]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
(4)通过特殊位置求出离心率．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－．
【变式训练】
1．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．2
【解析】 由已知，得直线l的方程为ay＋bx－ab＝0，因为原点到直线l的距离为c，所以＝c，又c2＝a2＋b2，所以4ab＝c2，两边平方，得16a2b2＝3c4，即16a2(c2－a2)＝3c4，两边同除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，所以e2＝4或e2＝．由0
故选D．
2．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,3] B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
[解析] 根据|PF1|＝2|PF2|以及|PF1|－|PF2|＝2a，可知|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又因为|PF2|≥c－a，所以2a≥c－a，故e≤3，所以1＜e≤3，故选A．
3．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
解析：A 在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以
|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝＜2，又e＞1，所以1＜e＜2，故选A．
4．(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是( )
A．＝2 B．e1e2＝
C．e＋e＝ D．e－e＝1
解析：BD 因为·＝0且||＝||，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝．在三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，设PF1＝x，PF2＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e＋e＝2，e－e＝1，故选B、D．
5．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，
则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝tan＝，a＝b，
可得c＝a，则e＝．综上可得e＝2或e＝．答案：2或
考法(三) 与双曲线有关的范围、最值问题
【例6】已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
因为·<0，所以(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0．
因为点M(x0，y0)在双曲线C上，所以－y＝1，即x＝2＋2y，所以2＋2y－3＋y<0，
所以－
求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法
几何法 如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解
代数法 若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解
【变式训练】
1．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C． D．
解析：由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线的方程为－y2＝1.设P(x，y)(x≥)，·＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥)．令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，则g(x)在[，＋∞)上单调递增，g(x)min＝g()＝3＋2.
∴·的取值范围为[3＋2，＋∞)，故选B．
【课后练习】
1．双曲线－y2＝1的实轴长为( )
A．4 B．2 C．2 D．2
解析：选D 由题知a2＝2，∴a＝，故实轴长为2a＝2，故选D．
2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D 由0
A．2 B． C． D．12
解析：选A 因为双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，又渐近线方程为y＝±x，所以＝，b＝2，故选A．
4．△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1(x>3) D．－＝1(x>4)
解析：由条件可得圆与x轴的切点为T(3,0)，由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6，因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，∵2a＝6,2c＝10，∴a＝3，b＝4，∴所求的双曲线方程为－＝1，且点C不在直线AB上，即x>3故选C
5．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝( )
A．1 B．1或9 C．3或9 D．9
解析：选D 由题意知＝2，所以a＝2，所以c＝＝2，所以|PF1|＝5＜2＋2＝a＋c，所以点P在双曲线C的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝4，所以|PF2|＝9．故选D．
6．设已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．6 C．9 D．18
解析：选C 在双曲线C：x2－＝1中，F1(－3,0)，F2(3,0)，渐近线方程：y＝±2x，因为|OP|＝|PF2|，则点P在线段OF2的中垂线x＝上，则P点纵坐标y0满足|y0|＝3，所以△PF1F2的面积S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝9．故选C．
7．设双曲线C：－＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan ∠PF2F1＝( )
A． B．
C．2 D．
解析：A 易知c2＝25a2，则c＝5a，|F1F2|＝2c＝10a．因为P为C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝100a2，解得|PF2|＝6a(负值舍去)，所以|PF1|＝8a，故tan∠PF2F1＝＝．故选A．
8．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
解析：选A 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF．设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝．由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＝a2，故＝，即e＝．故选A．
9．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
解析：选B 在焦点△PF1F2中，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，由正弦定理得2|PF2|＝|PF1|，又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|得4a＋2a＞2c，∴e＜3，则1＜e＜3，故选B．
10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为( )
A．3 B．
C． D．
解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设P点在双曲线右支上，则根据椭圆及双曲线的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，
所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝，
则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)·(a1－a2)cos，
化简得a＋3a＝4c2，即＋＝4，从而有4＝＋≥2，整理得e1·e2≥，故选D．
11．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则( )
A．b＝2 B．C的焦距为2
C．C的离心率为 D．△ABF1的面积为4
解析：ACD 设|AF2|＝t，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝t，离心率e＝＝，选项C正确．因此 ＝，b＝2，选项A正确．|F1F2|＝2＝2，选项B错误．△ABF1的面积为|F1F2|＝4，选项D正确．故选A、C、D．
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为______________．
解析：∵e＝＝2，∴c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴4a2＝a2＋b2，b2＝3a2，b＝a，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x．
答案：y＝±x
13．已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为，则双曲线C的方程为______________．
解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，所以e2＝1＋＝，即b＝2a．又从C的右焦点F(c,0)引渐近线y＝x的垂线，则|AF|＝＝b，所以|AO|＝＝a，因为△AFO的面积为，所以ab＝，解得a＝，b＝2，所以双曲线C的方程为－＝1．
14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为__________．
解析：∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，
由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，
则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，
∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9．∴双曲线的方程为－＝1．
15．如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
解析：∵△ABF2为等边三角形，
∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°．
由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|BF1|＝2a．
又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a．
∴|AF2|＝4a，|AF1|＝6a．
在△AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|AF2|2＋|AF1|2－2|AF2|·|AF1|cos 60°，
∴(2c)2＝(4a)2＋(6a)2－2×4a×6a×，整理得c2＝7a2，∴e＝＝＝．
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为－＝1．
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，所以x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
所以x0＝c，所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为．