4.2 指数函数
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量.
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
(1)a>1是“一撇”，0
(2)图象位于x轴上方；
(3)当x＝0时，y＝1；
(4)在y轴右侧，a越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．
3．比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
题型一 指数函数的判断
【例1】（1）（上海高一专题练习）下列是指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（全国高一专题练习）若函数(，且)是指数函数，则______，______.
解：（1）根据指数函数的特征:系数为1，底数满足且，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足,D满足.故选：D.
（2）根据指数函数的定义，得解得故答案为：；2．
【题型专练】
1．（全国高一专题练习）(多选)下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝(－3)x B．y＝3x C．y＝3x－1 D．y＝x
解：由指数函数定义知，指数函数的一般形式为：
选项A中， ，所以选项A错误；根据指数函数的定义，选型BD正确；
选项C中，，不符合指数函数的形式，选项 C错误；故选：BD.
2．（全国高一专题练习）若函数是指数函数，则________.
解：由是指数函数，可得解得.故答案为：2．
3．（全国高一专题练习）下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①；②；③.
解：①中指数式的系数不为，故不是指数函数；
②中，指数式的系数不为，故不是指数函数；
③是指数函数．故答案为：③
题型二 指数函数的解析式与函数值
【例2】（1）（全国高一专题练习）若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－1)＝________.
（2）（全国）已知函数，则___.
解：（1）设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去).
所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝.故答案为：
（2）根据题意，函数，则，则，故答案为：16.
【题型专练】
1．（全国高一单元测试）指数函数的图象经过点，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
解：因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.
2（太原市第五十六中学校高一月考）若指数函数的图象经过点，则__________，___________．
解：设（且），因为的图象经过点，
所以，可得，所以，所以，故答案为：；.
题型三 指数函数的值域与定义域
【例3】（全国高一专题练习）求下列函数的定义域和值域：
（1）； （2）； （3）.
解：(1)∵x应满足x－2≠0，∴x≠2，∴定义域为{x|x≠2，x∈R}.
∵，∴，∴的值域为{y|y＞0，且y≠1}.
(2)定义域为R.∵|x|≥0，∴，∴此函数的值域为[1，＋∞).
(3)由题意知，∴∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}.
∵x≥0，∴∴，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0，1).
【题型专练】
1．（全国）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以，解得．故选：D.
2．（多选）（全国）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】当时，函数在区间上为单调递增函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以；
当时，函数在区间上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以.
综上可得，实数的值为或.
故选：BC
3．（全国高一课时练习）若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(2，＋∞)
【答案】B
【解析】∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1．
故选：B．
4．（上海高一专题练习）函数y＝的定义域____________； 值域_____________ .
【答案】R （0，1）
【解析】函数的定义域为R.
∵y＝＝＝1－，
又∵3x>0，∴1＋3x>1，∴0<<1，
∴－1<－<0，
∴0<1－<1，∴函数的值域为(0，1)．
故答案为：R；（0，1）
5．（河南高一期末（文））函数的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】令，则，
故原函数化为，
当时，可得最小值为．
故选：D．
题型四 指数函数的定点
【例4】（1）（上海高一专题练习）函数的图像恒过定点______.
（2）（高邮市临泽中学高一月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
【答案】（1）（2）4
【解析】（1） ，令，得，，
函数的图象恒过定点，
故答案为：.
（2）∵函数且的图象恒过定点，可得 ，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以 ，当且仅当时取得等号；
故答案为：4
【题型专练】
1．（全国高一课时练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.
【答案】
【解析】时，，所以函数图象恒过定点．故答案为：．
2．（上海市建平中学高一期末）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．
【答案】
【解析】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数（且）恒过定点，
所以函数（且）的图像经过定点.
故答案为：
3（上海市民办西南高级中学高一月考）函数的图象恒过定点_______.
【答案】
【解析】当时，，的图象恒过定点.
故答案为：.
题型五 比较大小
【例5】（江西高安中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，
可知两个函数在单调递增；由于；由于；
综上：故选：A
【题型专练】
1．（全国高一课时练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，∵递增，且，∴，即.
故选：B.
2．（全国高一课时练习）下列判断正确的是（ ）
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．4＜π D．0.90.3＞0.90.5
【答案】D
【解析】对于Ａ项，∵y＝2.5x是增函数，且2.5<3，∴2.52.5<2.53,
对于B项，∵y＝0.8x是减函数，且2<3，∴0.82>0.83,
对于C项，∵y＝是增函数，且，∴，
对于D项，∵y＝0.9x是减函数，且0.3<0.5，∴0.90.3>0.90.5．故选：D．
3（全国）已知，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，则，故选：C.
题型六 解指数不等式
【例6】（1）（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）若满足不等式，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（浙江高一期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1）由可得，
因为在上单调递增，所以即，解得：，
所以，即函数的值域是，故选：B.
（2）因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A
【题型专练】
1．（全国高一专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令∵,∴为R上的单调递减函数，
由已知得：,∴,故选：C.
2（辽宁高一月考）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，，即．
不能够推出，而能够推出，命题是命题的必要不充分条件．故选：B
3．（全国高一课时练习）函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.
【答案】（1，＋∞）
【解析】设F（x）＝f（x）－2，则F（x）＝，易知F（x）是奇函数，F（x）＝＝＝1－在R上是增函数，
由f（a）＋f（a－2）＞4得F（a）＋F（a－2）＞0，
于是可得F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得a＞1.答案：（1，＋∞）
题型七 指数型函数的单调性
【例7】（1）（全国高一课时练习）函数y＝的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，0] B．[0，＋∞）
C．（－∞，] D．[，＋∞）
（2）（江苏高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）C
【解析】（1）数y＝u在R上为减函数，
欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，
而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），故所求单调递减区间为[0，＋∞）.故选:B
（2）满足对任意，都有成立，
在上是减函数，
因为，解得，的取值范围是．故选：．
【题型专练】
1．（全国高一单元测试）“”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若在上为增函数，则，即，
因为是的充分不必要条件，
所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.
故选：A．
2．（全国）已知函数，其中，且，若在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数，其中，且，
因为函数在上单调，又因为函数在上为减函数，
所以函数在上为减函数，则函数在上为减函数，可得，
且有，解得.
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B.
3．（汕头市达濠华侨中学高一期末）已知函数，则的单调递增区间是______．
【答案】
【解析】函数是由和复合而成，
因为为单调递增函数，
对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递增区间为，
故答案为：.
4（全国高一专题练习）已知函数是R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）由函数是R上的奇函数知，
即，解得.
（2）由（1）知.
任取，则
因为，所以，所以，
又因为，故，
所以，即
所以在上为减函数.
（3）不等式可化为
因为是奇函数，故
所以不等式可化为
由（2）知在上为减函数，故即
即对于任意，不等式恒成立.
设易知
因此所以实数的取值范围是.
题型八 图像问题
【例8】（1）（全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（河北安平中学）函数的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A
（2）当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点，此时，故C不成立.故选：C.
【题型专练】
1．（多选）（全国高一专题练习）函数(a>0，a≠1)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】当a>1时，∈(0，1)，因此x＝0时，01，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合.
故选：CD.
2（广东）已知0【答案】 C
【解析】 由于03.（河北）函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0【答案】 D
【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<04.2 指数函数
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量.
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：
(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：仅有自变量x；
(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
(1)a>1是“一撇”，0(2)图象位于x轴上方；
(3)当x＝0时，y＝1；
(4)在y轴右侧，a越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．
3．比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
题型一 指数函数的判断
【例1】（1）（上海高一专题练习）下列是指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（全国高一专题练习）若函数(，且)是指数函数，则______，______.
【题型专练】
1．（全国高一专题练习）(多选)下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝(－3)x B．y＝3x C．y＝3x－1 D．y＝x
2．（全国高一专题练习）若函数是指数函数，则________.
3．（全国高一专题练习）下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①；②；③.
题型二 指数函数的解析式与函数值
【例2】（1）（全国高一专题练习）若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－1)＝________.
（2）（全国）已知函数，则___.
【题型专练】
1．（全国高一单元测试）指数函数的图象经过点，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
2（太原市第五十六中学校高一月考）若指数函数的图象经过点，则__________，___________．
题型三 指数函数的值域与定义域
【例3】（全国高一专题练习）求下列函数的定义域和值域：
（1）； （2）； （3）.
【题型专练】
1．（全国）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）（全国）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（全国高一课时练习）若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(2，＋∞)
4．（上海高一专题练习）函数y＝的定义域____________； 值域_____________ .
5．（河南高一期末（文））函数的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
题型四 指数函数的定点
【例4】（1）（上海高一专题练习）函数的图像恒过定点______.
（2）（高邮市临泽中学高一月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
【题型专练】
1．（全国高一课时练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.
2．（上海市建平中学高一期末）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．
3（上海市民办西南高级中学高一月考）函数的图象恒过定点_______.
题型五 比较大小
【例5】（江西高安中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（全国高一课时练习）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（全国高一课时练习）下列判断正确的是（ ）
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．4＜π D．0.90.3＞0.90.5
3（全国）已知，，，则（ ）.
A． B． C． D．
题型六 解指数不等式
【例6】（1）（新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）若满足不等式，则函数的值域是（ ）
B． C． D．
（2）（浙江高一期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（全国高一专题练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
2（辽宁高一月考）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（全国高一课时练习）函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.
题型七 指数型函数的单调性
【例7】（1）（全国高一课时练习）函数y＝的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，0] B．[0，＋∞）
C．（－∞，] D．[，＋∞）
（2）（江苏高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（全国高一单元测试）“”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（全国）已知函数，其中，且，若在上单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（汕头市达濠华侨中学高一期末）已知函数，则的单调递增区间是______．
4（全国高一专题练习）已知函数是R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型八 图像问题
【例8】（1）（全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（河北安平中学）函数的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1．（多选）（全国高一专题练习）函数(a>0，a≠1)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2（广东）已知03.（河北）函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0