23.2 解直角三角形及其应用(4) 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
沪科版 九年级上册
23.2 解直角三角形及其应用 (4)
仰角、俯角问题(2)
教学目标： 1.使学生把仰角、俯角问题转化为解直角三角形问题，
从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步
提高数学建模能力； 2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互 　 余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分 　 析问题、解决问题的能力．
教学重点： 将仰角、俯角问题中的数量关系，归结为直角三角形
元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际题．
课件说明　
已知条件 解法
一条边和一个锐角　　　　　
斜边 c 和
锐角∠A　　　　　
直角边 a 和锐角∠A　　　　　
两条边　　　
两条直角边
a 和 b　　　　
斜边 c 和直角边 a　　　　
∠B=90°－∠A，　　　　
∠B=90°－∠A，　　　　
a=csinA，
b=ccosA.
勾股求边，互余求角. 有斜用弦，
无斜用切. 取原避中，宁乘勿除.
tanA=
a
b
tanB=
b
a
sinA=
a
c
cosB=
a
c
tanA=
a
b
sinA=
a
c
复习旧知
A
B
E
C
D
52°
上节课，我们利用锐角三角函数的知识解决
了测量可以到达物体底部的物体高度问题。
如果物体底部不可达到时，又如何
测量的物体高度呢？
例4如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°，同时量得CD为50m，已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米 (精确到1 m)
A
B
C
D
45°
30°
D1
C1
B1
例题解析
A
B
C
D
45°
30°
D1
C1
B1
要求电视塔的高度AB
要求AB1
要求D1B1
已知BB1
D1B1=
D1C1
＋C1B1
=50＋C1B1
要求C1B1
要求∠C1AB1=∠AC1B1
A
B
C
D
45°
30°
D1
C1
B1
解:设AB1=x m.
在Rt△AC1B1中，∵ ∠AC1B1=45°，
∴∠C1AB1=∠AC1B1=45°，
∴C1B1=AB1.
∵ D1C1=DC=50，
∴D1B1=D1C1＋C1B1
=50＋x
在Rt△AD1B1中，
tan∠AD1B1=
AB1
D1B1
∵ ∠AD1B1=30°，
∴AB1=D1B1tan30°
∴x= (50＋x)
3
3
x= (50＋x)
3
3
∴3x= (50＋x)
3
(3－ )x=
3
∴x=
3
50
3
50
3－
3
∴3x=
3
50
＋ x
3
∴3x－ =
3
50
x
3
=
(3－ )
3
(3＋ )
3
3
50
(3＋ )
3
=
9－3
3
150
＋150
=
6
3
150
＋150
=
3
25
＋25
=25( ＋1)
3
A
B
C
D
45°
30°
D1
C1
B1
解:设AB1=x m.
在Rt△AC1B1中，∵ ∠AC1B1=45°，
∴∠C1AB1=∠AC1B1=45°，
∴C1B1=AB1.
∵ D1C1=DC=50，
∴D1B1=D1C1＋C1B1
=50＋x
在Rt△AD1B1中，
tan∠AD1B1=
AB1
D1B1
∵ ∠AD1B1=30°，
∴AB1=D1B1tan30°
∴x= (50＋x)，
3
3
∴x=25( ＋1)
3
∴AB=AB1＋BB1
＋1
=25( ＋1)
3
≈69(m).
答：电视塔的高度为69米.
A
B
C
D
45°
30°
D1
C1
B1
解:设AB1=x m.
在Rt△AC1B1中，∵ ∠AC1B1=45°，
∴∠C1AB1=∠AC1B1=45°，
∴C1B1=AB1.
∵ D1C1=DC=50，
∴D1B1=D1C1＋C1B1
=50＋x
在Rt△AD1B1中，
∵∠AD1B1=30°，
∴AD1=2AB1
=2x
∵ AD12=
D1B12＋AB12
∴(2x)2=(50＋x)2＋x2
因测量得的仰角是特殊锐角，所以可有特殊解法
A
B
C
D
45°
30°
D1
C1
B1
∵ AD12=
D1B12＋AB12
∴(2x)2=(50＋x)2＋x2
∴4x2=2500＋100x＋x2＋x2
∴x2－50x－1250=0
∴x1=
=25( ＋1)，
3
x2=
－25( －1)
3
(舍去)
∴2x2－100x－2500=0
∴x2－50x=1250
∴x2－50x＋625=1250＋625
∴(x－25)2=1875
∴x－25=
±
1875
∴x－25=
±
25
3
25
3
＋25
A
B
C
D
45°
30°
D1
C1
B1
解:设AB1=x m.
在Rt△AC1B1中，∵ ∠AC1B1=45°，
∴∠C1AB1=∠AC1B1=45°，
∴C1B1=AB1.
∵ D1C1=DC=50，
∴D1B1=D1C1＋C1B1
=50＋x
在Rt△AD1B1中，
∵∠AD1B1=30°，
∴AD1=2AB1
=2x
∵ AD12=
D1B12＋AB12
∴(2x)2=(50＋x)2＋x2
∴x1=
25( ＋1)，
3
x2=
－25( －1)
3
(舍去)
∴AB=AB1＋BB1
＋1
≈69(m).
∴AB1= .
=25( ＋1)
3
25( ＋1)
3
1.如图，某直升机于空中A处测得正前方地面控制点C的俯角为30°；若航向不变，直升机继续向前飞行1000米至B处，测得地面控制点C的俯角为45°.求直升机再向前飞行远，与地面控制点C的距离最近？(结果保留根号).
45°
30°
A
B
C
练习巩固
45°
30°
A
B
C
D
解：如图.
过点C作CD垂直于AB于D.
设BD=x m，
在Rt△BCD中，∵ ∠CBD=45°，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴BD=CD.
则CD=x m，
AD=(1000＋x)m
在Rt△ACD中，
tan∠CAD=
CD
AD
∵∠CAD=30°，
∴CD=ADtan30°
∴x= (1000＋x)，
3
3
∴x=500( ＋1)
3
答:再向前飞行500( ＋1)m与地面控制点C的距离最近.
3
2.海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D= .
(1)求小岛两端A、B的距离；
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
求sin∠BCF的值.
A
B
C
D
E
F
3
5
要求AB
要求BE
要求CD
解：(1)在Rt△CDE中，
(海里) ．
A
B
C
D
E
F
∵ cos∠D =
DE
CD
∴
DE=30，
cos∠D =
3
5
30
CD
=
3
5
∴CD=50
∴BE= CD
∵B点是CD的中点，
1
2
=25
∴AB=
BE－AE
=25－8.3
=18.7
(2)在Rt△CDE中，由勾股定理得
A
B
C
D
E
F
∴BE= CD
1
2
=BC
∴∠BEC=∠BCE
∴cos∠BEC=cos∠BCE
∴
EF
EC
=
EC
CD
∴EF=
EC2
CD
=
402
50
=32
∴BF=
EF－BE
=32－25
=7
∴sin∠BCF =
BF
BC
=
7
25
EC2=
CD2－DE2
=502－302
∴EC=40.
=402，
要求BF
要求EF
要求CE
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
　　(1)将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
　　(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
　　(3)得到数学问题的解；
　　(4)得到实际问题的解．
1.如图，大楼外墙有高为AB 的广告牌，由距离大楼20 米的点 C(即CD=20米)观察它的顶部 A的仰角是55° ，底部B 的仰角是42° ．则 AB的高度为 米．
参考数据：
C
D
B
A
sin55° ≈0.82，cos55° ≈0.57，tan55° ≈1.43;
sin42° ≈0.67，cos42° ≈0.74，tan42° ≈0.90.
10.6
巩固提高
2.如图，某景区有一处索道游览山谷的旅游点，已知索道两端距离AB为1300米，在山脚C点测得BC的距离为500米，∠ACB=90°，在C点观测山峰顶点A的仰角∠ACD=23.5°，则山峰AD的高度为 米.
(参考数据:sin23.5°≈0.40,cos23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
A
B
C
D
480
3.如图，某楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子CD=6m，坡脚到楼房的距离CB＝8m.在D点处观察楼顶A点的仰角为54°，坡角∠DCE＝30 .则楼房AB的高为 m. (结果精确0.1m).( ， ， ， . )
E
A
B
C
D
30
54°
21.2
今天作业
课本P131页第3题
本节课在前面研究了解直角三角形的方法，通过例3、例4介绍了利用直角三角形中余弦、正切关系解决有关测量、建筑等方面的实际问题的基础上，结合“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题介绍解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具，在思想和方法上是提升．
课件说明
谢谢
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