23.2 解直角三角形及其应用(2) 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
沪科版 九年级上册
23.2 解直角三角形及其应用 (2)
教学目标： 1．熟练掌握解直角三角形的方法； 2．能将非直角三角形转化为直角三角形有关
的图形计算问题．
教学重点： 灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．
教学难点：将非直角三角形转化为直角三角形有关
的图形计算问题．
课件说明
　　 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
B
a
C
b
A
c
┏
什么叫解直角三角形？
复习旧知
(1)三边之间的关系　　　　　
A
C
B
c
a
b
a2＋b2=c2
(2)两锐角之间的关系 　　
(3)边角之间的关系
∠A＋∠B=90°
斜边
∠A的对边
a
c
sinA=
=
cosA=
斜边
∠A的邻边
=
b
c
tanA=
∠ A的邻边
∠A的对边
=
a
b
　　　为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？
已知条件 解法
两条边　　　
两条直角边
a 和 b　　　　
斜边 c 和直角边 a　　　　
　　根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.　
tanA=
a
b
tanB=
b
a
sinA=
a
c
cosB=
a
c
学习新知
已知条件 解法
一条边和一个锐角　　　　　
斜边 c 和
锐角∠A　　　　　
直角边 a 和锐角∠A　　　　　
∠B=90°－∠A，　　　　
∠B=90°－∠A，　　　　
a=csinA，
b=ccosA.
　　根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.　
tanA=
a
b
sinA=
a
c
已知条件 解法
一条边和一个锐角　　　　　
斜边 c 和
锐角∠A　　　　　
直角边 a 和锐角∠A　　　　　
两条边　　　
两条直角边
a 和 b　　　　
斜边 c 和直角边 a　　　　
∠B=90°－∠A，　　　　
∠B=90°－∠A，　　　　
a=csinA，
b=ccosA.
勾股求边，互余求角. 有斜用弦，
无斜用切. 取原避中，宁乘勿除.
tanA=
a
b
tanB=
b
a
sinA=
a
c
cosB=
a
c
tanA=
a
b
sinA=
a
c
∵a= ，c= ，
解:
∴b2=c2－a2=( )2－( )2=3 ，
∴b=
∵sinA=
∴∠A=45°，
∴∠B=90°－ ∠A
3
a
c
=
=45°.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a = ，c = ；解这个直角三角形.
3
6
3
6
6
3
3
6
=
B
A
C
a=
b
c=
6
3
1
2
=
2
2
例题解析
解法一
∵a= ，c= ，
解:
∴b2=c2－a2=( )2－( )2=3 ，
∴b=
∵tanA=
∴∠A=45°，
∴∠B=90°－ ∠A
3
a
b
=
=45°.
3
6
6
3
3
3
=1
B
A
C
a=
b
c=
6
3
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a = ，c = ；解这个直角三角形.
3
6
解法二
∵a= ，c= ，
解:
∴b2=c2－a2=( )2－( )2=3 ，
∴b=
∴a=b，
∴∠A=∠B
3
=45°.
3
6
6
3
B
A
C
a=
b
c=
6
3
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a = ，c = ；解这个直角三角形.
3
6
解法三
解:
∵sinA=
∴∠A=45°，
∴∠B=90°－ ∠A
a
c
=
=45°.
3
6
=
B
A
C
a=
b
c=
6
3
1
2
=
2
2
∴∠B=∠A，
∴b= a= .
3
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a = ，c = ；解这个直角三角形.
3
6
解法四
　例2.在△ABC中，∠A=55°，b=20cm，c=30cm，求三角形的面积S△ABC (精确到0.1cm2)．
过点C作CD垂直于AB于D.
B
C
A
55°
c
b
要求S△ABC
要求AB边上的高
如何表示AB边上的高
┌
D
如何求高CD的值
在Rt△ACD中
已知角及斜边
求角的对边
用Rt△ACD中∠A的正弦
　例2.在△ABC中，∠A=55°，b=20cm，c=30cm，求三角形的面积S△ABC (精确到0.1cm2)．
解：如图.
∵sinA= ，
AC
CD
∴CD=ACsinA
当∠A=55°， b=20cm，c=30cm时，
过点C作CD垂直于AB于D.
在Rt△ACD中，
=bsinA.
∵S△ABC =
AB·CD
1
2
∴S△ABC=
bcsinA.
1
2
S△ABC=
1
2
×30×20×sin55°
1
2
×30×20×0.8192
=
≈245.8(cm2)
B
C
A
55°
c
b
┌
D
1.在△ABC中，AB= 12 ，AC=13，cos B= ，
则BC 边长为 ( ).
A.7 B.8 C.8或17 D.7或17
2
2
2
D
B
C
A
B
C
A
练习巩固
　　2.如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4，求 AB 和 BC．
B
A
C
30°
45°
┌
D
解：过点A作AD垂直于BC于D.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sin∠C= ，
cos∠C= ，
AC
AD
AC
CD
∴AD=ACsin45°= ，
CD=ACcos45°= ，
2
2
2
2
∴AB=2AD= .
4
2
∵cos∠B= ，
AB
BD
∴BD=ABcos30°= ，
2
6
∴BC=BD＋CD
= ＋
2
2
2
6
∵∠B=30°，
3.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，
CD=8，AD=6，∠D=43°，求四边形的面积.
D
B
C
A
43°
∴SABCD= S△ABC＋
S△BCD
=
AB·AE
1
2
＋
CD·AE
1
2
=
(AB＋CD)·AE
1
2
=
(4＋8)·6sin43°
1
2
=36×0.6819
≈24.55.
E
解：连接AC.
过点A作AE垂直于DC于E.
∵sinD= ，
AD
AE
∴AE=6·sin43°.
在Rt△AED中，
∵ AB∥CD，
练习巩固
　4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD=6，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为 D，若求 AB 的长．
A
C
D
B
解:
∵∠ACB=90°，
∠B=30°，
∴∠A=60°.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∴∠ACD=30°，
∴∠BCD=60°.
∵tan∠ACD= ，
tan∠BCD= .
∴AD=CDtan30°= ，
BD=CDtan60°= ，
∴AB=AD＋BD
= ＋
2
3
6
3
= .
8
3
CD
AD
CD
BD
2
3
6
3
B
A
C
a
b
c
∵∠A＝60°，
解:
∴∠B=90°－ ∠A=90°－60°=30°.
∵tanA= ，
a
b
∴a=btan60°=
∴c=
2b
5.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：(3)∠A=60°，△ABC 的面积S=　　 ．
b
3
12
3
=
∵S= ab
1
2
12
3，
∴ b2= ，
24
3
3
∴b= ，
2
6
= .
4
6
∴a= 6 ，
2
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=8，sinB= ，D为线段BC上一点，并且CD=2.
(1)求BD的值；(2)求cos∠DAC的值.
5
4
A
B
C
D
(1)根据锐角三角函数关系得出AB的长，
再利用勾股定理得出BC的长，
从而得出BD的长；
分析
(2)在Rt△ACD中，利用勾股定理得出 AD的长，
再根据锐角三角函数的定义求解.
在Rt△ABC中，sinB= = .
∵AC=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC2=AB2－AC2=102－82=36，
∵CD=2，
(2)在Rt△ACD中，AC=8，CD=2.
由勾股定理，得
AD2=AC2＋ CD2=82＋22=68，
A
B
C
D
AB
AC
5
4
∴BC=6.
∴AD= .
∴cos∠DAC=
AD
AC
=
8
2
17
2
17
=
17
4
17
解(1)：
∴AB=10.
∴BD=BC－CD=6－2=4.
7.如图，在锐角△ ABC中，AB=10，AC=2 ，
sinB= .(1)求tan C；(2)求线段BC的长.
13
5
3
B
C
A
分析(1)
过点A作AD⊥BC于点D，
根据已知条件可得出 AD的长，
利用勾股定理得出CD的长，
进而得出tanC的值；
(2)在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=8，
结合CD的长，即可求出 BC的长.
D
在Rt△ABD中，AB=10， ，
∴AD=6.
在Rt△ACD中，AC= ，AD=6，
由勾股定理，得
CD=AC2－AD2=( )2 －62=
2
13
2
13
16.
解：(1)如图，
∴CD=4.
∴tanC=
CD
AD
B
C
A
过点A作AD ⊥ BC 于点D.
(2)在Rt△ABD中，AB=10，AD=6.
由勾股定理，得
∴BC=BD＋CD=8＋4=12.
BD=8.
sinB=
AB
AD
=
5
3
=
4
6
=
2
3
D
今天作业
课本P125页第3题
谢谢
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