一元二次方程根的分布[上学期]

一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程（）的两个实根为，，且。
【定理1】，，
推论：，或
上述推论结合二次函数图象不难得到。

例1若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。

【定理2】，，
推论：，或
由二次函数图象易知它的正确性。

【定理3】
例3 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？
【定理4】 1，且；
2，且。

例4若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？
二．一元二次方程的非零分布——分布
设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。
【定理1】
【定理2】。

【定理3】。
推论1 。
推论2 。
【定理4】有且仅有（或）
【定理5】或
此定理可直接由定理4推出，请读者自证。
【定理6】或