专题 1.3 全称量词与特称量词
① 全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对 中任意一个 ，有 ( )成立”，记作 ∈ , ( )．
Eg 1：对所有末位数是0的数能被5整除， > 0, + ≥ 2.
② 存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在 中的一个 ，使 ( )成立”，记作 ∈ , ( ).
Eg：至少有一个质数是偶数， > 0, 2 2 + 3 < 0.
③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
Eg： > 1, 2 > 1的否定是 > 1, 2 ≤ 1.
> 1, 2 > 1是真命题， > 1, 2 ≤ 1是假命题.
一、单选题
1．命题“ x 0, x2 x 1 0”的否定是（ ）
A． x 0, x2 x 1 0 B． x 0, x2 x 1 0
C． x 0, x2 x 1 0 D． x 0, x2 x 1 0
2．若命题 p ： x 1， x2 1，则命题 p 的否定为（ ）
A． x 1， x2 1 B． x 1， x2 1 C． x 1， x2 1 D． x 1， x2 1
1
3．已知命题“ x R 2x2，使 (a 1)x 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围是
2
（ ）
A． ( , 1) B． ( 1,3)
C． ( 3, ) D． ( 3,1)
4．命题 p ： x 0, ， x2 0 ，则 p 为（ ）
A． x 0, ， x2 0 B． x ,0 ， x2 0
C． x 0, ， x2 0 D． x 0, ， x2 0
5．命题“ x0 0, x0 1 x0 2 0 ”的否定是（ ）
A． x0 0, x0 1 x0 2 0 B． x0 0, x0 1 x0 2 0
C． x 0, x 1 x 2 0 D． x 0, x 1 x 2 0
6．对于方程根的存在性问题，有一个著名的定理——“代数基本定理”，其内容为：任
意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根．则“代数基本定理”的否定为
（ ）
A．任意一个一元复系数方程，在复数域中至多有一个根
B．任意一个一元复系数方程，在复数域中没有根
C．存在一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根
D．存在一个一元复系数方程，在复数域中没有根
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题“ x 1， ln x 0 ”的否定为“ x0 1， ln x0 0 ”
B．命题“不等式 f (x) g(x) 恒成立”等价于“[ f (x)]max [g(x)]min ”
C．“若 a 1，则函数 y ax2 4x 4有一个零点”的逆命题是真命题
D．若 (x 1)2 (y 2)2 0，则 x 1或 y 2
8．有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上，
只能看到向上面的情况如图．对于命题 p：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证 p
的真假，至少要翻开的是（ ）
A．①④ B．①② C．①③ D．①③④
9．若“ x R， ax2 3ax 9 0 ”是假命题，则 a 的取值范围为（ ）
A．[0, 4] B． (0, 4) C．[0, 4) D． (0,4]
10．已知命题：“ x R ，方程 x 2 4x a 0 有解”是真命题，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． a 4 B． a 4 C． a 4 D． a 4
11．若命题“ x R ， x2 4x m 0 ”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A． 4, B． 4, C． , 4 D． , 4
12．已知命题 p : x0 R x
2
， 0 a 1 x0 1 0 是假命题，则 a的取值范围为（ ）
A． 1 a 3 B． 1 a 3
C． a 1或 a 3 D． a 1或 a 3
13．已知命题“存在 x x 2 x 3 ，使得等式 2x m 0成立”是假命题，则实数m 的
取值范围是（ ）
A． , 4 6, B． , 4 6,
C． , 4 6, D． , 4 6,
14．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“ x R, x2 1 0 ”是全称量词命题；
③命题“ x R, x2 2x 1 0 ”的否定为“ x R, x2 2x 1 0 ”；
④命题“ a b是 ac2 bc2 的必要条件”是真命题；
A．0 B．1 C．2 D．3
15．下列说法正确的是（ ）
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温 30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当 a>4 时，方程 x2－4x＋a＝0 有实根”是假命题
16．已知命题 p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． a
1 1
∣a B． a∣0 a 3 3
1 1
C． a∣a D． a∣a 3 3
17．下列命题的否定是真命题的是（ ）
A． a R ，一元二次方程 x2 ax 1 0有实根
B．每个正方形都是平行四边形
C． m N , m2 1 N
D．存在一个四边形 ABCD，其内角和不等于 360°
18．下列命题的否定是假命题的是（ ）
A． p :能被 3 整除的整数是奇数; p :存在一个能被 3 整除的整数不是奇数
B． p :每一个四边形的四个顶点共圆; p :存在一个四边形的四个顶点不共圆
C． p :有的三角形为正三角形; p :所有的三角形不都是正三角形
D． p : x R, x2 2x 2 0 ; p : x R ，都有 x2 2x 2 0
19 “ x R 2x2
1
．已知命题 ，使 a 1 x 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围是
2
（ ）
A． a 1 B． 1 a 3 C． a 3 D． 3 a 1
20．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A． x R, x2 x 3 0
B． x R, x2 x 2 0
C． x R, x2 x
D．已知 A a∣a 2n , B b∣b 3m ，则对于任意的 n,m N * ，都有 A B 专题 1.3 全称量词与特称量词
① 全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对 中任意一个 ，有 ( )成立”，记作 ∈ , ( )．
Eg 1：对所有末位数是0的数能被5整除， > 0, + ≥ 2.
② 存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在 中的一个 ，使 ( )成立”，记作 ∈ , ( ).
Eg：至少有一个质数是偶数， > 0, 2 2 + 3 < 0.
③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
Eg： > 1, 2 > 1的否定是 > 1, 2 ≤ 1.
> 1, 2 > 1是真命题， > 1,
一、单选题
1．命题“ x 0, x2 x 1 0”的否定是（ ）
A． x 0, x2 x 1 0 B． x 0, x2 x 1 0
C． x 0, x2 x 1 0 D． x 0, x2 x 1 0
【来源】云南省红河州 2021-2022 学年高一下学期学业质量监测数学试题
【答案】A
【解析】由题意，命题“ x 0, x2 x 1 0”是全称量词命题，
根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“ “ x 0, x2 x 1 0 ”.
故选：A.
2．若命题 p ： x 1， x2 1，则命题 p 的否定为（ ）
A． x 1， x2 1 B． x 1， x2 1 C． x 1， x2 1 D． x 1， x2 1
【来源】山东省滨州市 2021-2022 学年高二下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】由题意，命题 p ： x 1， x2 1的否定为： x 1， x2 1
故选：B
1
3 2．已知命题“ x R ，使 2x (a 1)x 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围是
2
（ ）
A． ( , 1) B． ( 1,3)
C． ( 3, ) D． ( 3,1)
【来源】第 2 章 常用逻辑用语（基础卷）
【答案】B
【解析】因为命题“ x R ，使 2x2 (a
1
1)x 0 ”是假命题，
2
2 1
所以 2x (a 1)x 0 恒成立，所以Δ (a 1)2 4 2
1
0，解得 1 a 3，
2 2
故实数 a的取值范围是 ( 1,3)．
故选：B．
4．命题 p ： x 0, ， x2 0 ，则 p 为（ ）
A． x 0, ， x2 0 B． x ,0 ， x2 0
C． x 0, ， x2 0 D． x 0, ， x2 0
【来源】重庆市巴蜀中学校 2021-2022 学年高二下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ p : x 0, ， x2 0 ”的否定
为“ p : x 0, ， x2 0 ”.
故选：D.
5．命题“ x0 0, x0 1 x0 2 0 ”的否定是（ ）
A． x0 0, x0 1 x0 2 0 B． x0 0, x0 1 x0 2 0
C． x 0, x 1 x 2 0 D． x 0, x 1 x 2 0
【来源】宁夏银川市第二中学 2021-2022 学年高二下学期期末考试数学（文）试题
【答案】D
【解析】命题“ x0 0, x0 1 x0 2 0 ”的否定是“ x 0, x 1 x 2 0 ”.
故选；D.
6．对于方程根的存在性问题，有一个著名的定理——“代数基本定理”，其内容为：任
意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根．则“代数基本定理”的否定为
（ ）
A．任意一个一元复系数方程，在复数域中至多有一个根
B．任意一个一元复系数方程，在复数域中没有根
C．存在一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根
D．存在一个一元复系数方程，在复数域中没有根
【来源】山东省德州市 2021-2022 学年高二下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】“任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根”的否定为“存在一个一
元复系数方程，使得在复数域中没有根”.
故选：D.
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题“ x 1， ln x 0 ”的否定为“ x0 1， ln x0 0 ”
B．命题“不等式 f (x) g(x) 恒成立”等价于“[ f (x)]max [g(x)]min ”
C．“若 a 1，则函数 y ax2 4x 4有一个零点”的逆命题是真命题
D．若 (x 1)2 (y 2)2 0，则 x 1或 y 2
【来源】四川省成都市温江区 2022 届高考适应性考试数学（理）试题
【答案】D
【解析】对于 A 选项：命题“ x 1， ln x 1”的否定为“ x0 1， ln x0 1”，故 A 选项
错误；
对于 B 选项：命题“不等式 f (x) g(x) 恒成立”等价于 “[ f (x) g(x)]max 0 ”，故 B 选项
错误；
对于 C 选项：“若 a 1，则函数 y ax2 4x 4有一个零点”的逆命题是“若函数
y ax2 4x 4有一个零点，则 a 1”，这个命题是假命题，a 应该取 0 或-1，故 C 选
项错误；
对于 D 选项：不容易直接判断，但是其逆否命题“若 x 1且 y 2，则
(x 1)2 (y 2)2 0 ”是真命题，故原命题是真命题，D 正确.
故选：D.
8．有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上，
只能看到向上面的情况如图．对于命题 p：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证 p
的真假，至少要翻开的是（ ）
A．①④ B．①② C．①③ D．①③④
【来源】河南省三门峡市 2021-2022 学年高二下学期期末质量检测理科数学试题
【答案】A
【解析】根据命题 p：所有大写字母的背面都写着奇数，因为①的背面为大写字母，④
的背面可能是大写字母，
所以要验证 p 的真假，至少要翻开的是①④.
故选：A.
9．若“ x R， ax2 3ax 9 0 ”是假命题，则 a 的取值范围为（ ）
A．[0, 4] B． (0, 4) C．[0, 4) D． (0,4]
【来源】山西省 2021-2022 学年高一下学期 3 月联考数学试题
【答案】C
【解析】因为 “ x R， ax2 3ax 9 0 ”是假命题，
所以 “ x R ， ax2 3ax 9 0 ”是真命题，
所以当 a 0时，9 0成立；
a 0
当 a 0时，则 9a2 36a 0，
解得 0 a 4 ，
综上：0 a 4 ，
所以 a 的取值范围为[0, 4)，
故选：C
10．已知命题：“ x R ，方程 x 2 4x a 0 有解”是真命题，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． a 4 B． a 4 C． a 4 D． a 4
【来源】专题 14 全称量词与存在量词-2022 年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义
（人教 A 版 2019）
【答案】B
【解析】“ x R ，方程 x 2 4x a 0 有解”是真命题，故 16 4a 0，解得：
a 4，
故选：B
11．若命题“ x R ， x2 4x m 0 ”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A． 4, B． 4, C． , 4 D． , 4
【来源】第 04 讲 全称量词与存在量词-【暑假自学课】2022 年高一数学暑假精品课（人
教版 2019 必修第一册）
【答案】B
【解析】
因为命题“ x R ， x2 4x m 0 ”为假命题，则 16 4m 0，解得m 4 .
故选：B.
12．已知命题 p : x R x20 ， 0 a 1 x0 1 0 是假命题，则 a的取值范围为（ ）
A． 1 a 3 B． 1 a 3
C． a 1或 a 3 D． a 1或 a 3
【来源】第 02 练 常用逻辑用语-2022 年【寒假分层作业】高一数学（苏教版 2019 必修
第一册）
【答案】A
【解析】
2
因为命题 p : x0 R， x0 a 1 x0 1 0 是假命题，
2
所以 p : x R ， x a 1 x 1 0是真命题，
于是有： (a 1)2 4 0 1 a 3 .
故选：A.
13．已知命题“存在 x x 2 x 3 ，使得等式 2x m 0成立”是假命题，则实数m 的
取值范围是（ ）
A． , 4 6, B． , 4 6,
C． , 4 6, D． , 4 6,
【来源】云南省寻甸一中、昆明西联学校阳宗海学校 2021-2022 学年高一上学期期末联
考数学试题
【答案】D
【解析】由 2x m 0可得m 2x ，
因为 2 x 3，所以 4 m 6 ，
若命题“存在 x x 2 x 3 ，使得等式 2x m 0成立”是假命题，
则实数m 的取值范围是 , 4 6, ，
故选：D.
14．下列结论中正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“ x R, x2 1 0 ”是全称量词命题；
③命题“ x R, x2 2x 1 0 ”的否定为“ x R, x2 2x 1 0 ”；
④命题“ a b是 ac2 bc2 的必要条件”是真命题；
A．0 B．1 C．2 D．3
【来源】广东省深圳市盐田高级中学 2021-2022 学年高一下学期 4 月线上测试数学试题
【答案】C
【解析】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“ x R，x2 1 0 ”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题 p : x R, x2 2x 1 0 ，则 p : x R, x2 2x 1 0，故③错误；
对于④： ac2 bc2 可以推出 a b，所以 a b是 ac2 bc2 的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
15．下列说法正确的是（ ）
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温 30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当 a>4 时，方程 x2－4x＋a＝0 有实根”是假命题
【来源】2.1 命题、定理、定义
【答案】D
【解析】对于 A，改写成“若 p，则 q”的形式应为“若两个角都是直角，则这两个角相
等”，则 A 错误；
对于 B，所给语句是命题，则 B 错误；
对于 C，边长为 3 的等边三角形与底边为 3，腰为 2 的等腰三角形拼成的四边形，对角
线相互垂直，但不是菱形，则 C 错误；
对于 D，当 a 5时， 16 4 5 0，方程 x2－4x＋a＝0 无实根，则 D 正确；
故选：D
16．已知命题 p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是
（ ）
1
A． a∣a B． a∣0 a
1
3 3
1 1
C． a∣a D． a∣a
3 3
【来源】第一章 集合与常用逻辑用语综合测试-2022 年暑假初三升高一数学衔接知识自
学讲义（人教 A 版 2019）
【答案】C
【解析】先求当命题 p ： x R ， ax2 2x 3 0为真命题时的 a的取值范围
（1）若 a 0，则不等式等价为 2x 3 0，对于 x R 不成立，
a 0
（2）若 a
1
不为 0，则 ，解得 a ，
4 12a 0 3
1
∴命题 p 为真命题的 a的取值范围为 a∣a ，
3
1
∴命题 p 为假命题的 a的取值范围是 a∣a 3
.
故选：C
17．下列命题的否定是真命题的是（ ）
A． a R ，一元二次方程 x2 ax 1 0有实根
B．每个正方形都是平行四边形
C． m N , m2 1 N
D．存在一个四边形 ABCD，其内角和不等于 360°
【来源】1.5 全称量词与存在量词 C 卷
【答案】D
【解析】
解：对 A， a R ，一元二次方程 x2 ax 1 0有实根，
其否定为： a R ，一元二次方程 x2 ax 1 0无实根，
由△ a2 4 0，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题；
对 B，每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题；
对 C， m N ， m2 1 N ，其否定为： m N ， m2 1 N ，
由m 0时， 0 1 1 N ，则原命题为真命题，其否定为假命题；
对 D，存在一个四边形 ABCD，其内角和不等于360 ，其否定为任意四边形 ABCD，其
内角和等于360 ，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为
360 ，
可得原命题为假命题，其否定为真命题．
故选：D.
18．下列命题的否定是假命题的是（ ）
A． p :能被 3 整除的整数是奇数; p :存在一个能被 3 整除的整数不是奇数
B． p :每一个四边形的四个顶点共圆; p :存在一个四边形的四个顶点不共圆
C． p :有的三角形为正三角形; p :所有的三角形不都是正三角形
D． p : x R, x2 2x 2 0 ; p : x R ，都有 x2 2x 2 0
【来源】1.5 全称量词与存在量词 C 卷
【答案】C
【解析】对于 A 中，命题 p :能被 3 整除的整数是奇数，则 p :存在一个能被 3 整除的
整数不是奇数，
例如：实数12不是奇数，但能被3整除，所以 p 是真命题；
对于 B 中，命题 p :每一个四边形的四个顶点共圆，则 p :存在一个四边形的四个顶点
不共圆，其中命题 p 为假命题，所以 p 是真命题；
对于 C 中，命题 p :有的三角形为正三角形，则 p :所有的三角形不都是正三角形，其
中命题 p 为真命题，所以 p 是假命题；
对于 D 中，命题 p : x R, x2 2x 2 0 ，则 p : x R ，都有 x2 2x 2 0，
由不等式 x2 2x 2 (x 1)2 1 0 ，所以命题 p 为假命题，所以 p 是真命题.
故选：C.
19．已知命题“ x R 2，使 2x a 1 x 1 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围是
2
（ ）
A． a 1 B． 1 a 3 C． a 3 D． 3 a 1
【来源】河南省濮阳市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】【详解】
1
因为命题“ x R，使 2x2 (a 1)x 0 ”是假命题，
2
2
所以 2x (a 1)x
1
0 恒成立，
2
(a 1)2 1所以 4 2 0，
2
解得 1 a 3，
故实数 a的取值范围是 ( 1,3)．
故选：B．
20．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A． x R, x2 x 3 0
B． x R, x2 x 2 0
C． x R, x2 x
D．已知 A a∣a 2n , B b∣b 3m ，则对于任意的 n,m N * ，都有 A B
【来源】专题 14 全称量词与存在量词-2022 年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义
（人教 A 版 2019）
【答案】B
【解析】
【分析】选项A， x R, x2 x 3 0，即 x2 x 3 0有实数解，所以 1 12 11＜0，
显然此方程无实数解，故排除；
1 7 7
选项 B， x R, x2 x 2 0 x2， x 2 （x ）2 ＞0 ，故该选项正确；
2 4 4
C x R, x2选项 ， x ，而当 x 0时,0 0，不成立，故该选项错误，排除；
选项 D， A a∣a 2n , B b∣b 3m ，当 n,m N * 时，当 a、b取得 6 的正整数倍时，
A B ，所以，该选项错误，排除.
故选：B.
