专题 2.2 基本不等式
知识点①基本不等式
a＋b
1．基本不等式： ab≤
2
2．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
3．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
a＋b
4．其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数．
2
知识点②几个重要的不等式
1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
b a
2． ＋ ≥2(a，b 同号)．
a b
a b 2
3．ab≤ (a，b∈R)．
2
a2 2＋b2 a b4 ≥ ． (a，b∈R)．
2 2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
知识点③利用基本不等式求最值
1．已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值
2 P.
1
2．已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2.
4
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，
则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
题型一
ka
解法突破：两种常数处理方法a (a b) b,a .
a
例 1 求 x 1 的最小值（ x 2 ）.
x 2
解： x 1 x 2 2 1 x 2 1
x 2 x 2
2 因为 x 2, x 2 0 所以
x 2
x 2 1 2 2 x
1
2 2
1
4 令 x 2 解得 x 3, x 1（舍）
x 2 x 2 x 2
例 2 求 1 x 1 的最小值（ x 2 ）.
4 x 2
解： 1 x 1 1 x 2 1 1 1 1 1 x 2 因为 x 2, x 2 0 所以4 x 2 4 2 x 2 4 x 2 2
1 x 2 1 1 2 1 x 2 1 1 3 1 1 令 (x 2) 解得 x 4, x 04 x 2 2 4 x 2 2 2 4 x 2
（舍）
1.以分式分母为主进行配凑使其定积
2．注意变量范围，是否满足一正和三相等
题型二
解法突破: “1”的代换
例 1 已知 x 0, y 0 ， x 2y 1 求 1 2 的最小值
x y
解： 1 2 1 2 1 1 2 2y 2x x 2y 1 4 9 x y x y x y x y
例 2 已知 x 1 4 0, y 0, x y 1求 的最小值
x 1 y 2
解： 1 4 1 4 1 x y 1 x 1 y 2 4, ，
x 1 y 2
x 1 y 2
x 1 y 2
4
1 1 y 2
4 x 1 9
4 4 x 1 y 2 4
【审题要津和评注】
此类题型主要核心是“1”的等价代换，以及以分式分母为依据构造倒数形式，注意例
5，例 6 两个题目
题型三 消元法
解法突破：此类题目特点是有多个变量，且变量间满足等式关系
例 1 已知 x 0, y 0, x 3y xy 9 求 3x y 的最小
解： x 3y xy 9, y x 3 9 x, y 9 x 3x y 3x 9 x 3x x 3 12 ，
x 3 x 3 x 3
3x 1 12 12 3x 9 10 2
x 3 x 3
题型四 换元法:一般求谁最值换谁为 t
例 1 已知 x 0, y 0, x 3y xy 9 求 x 3y 的最小
x 3y 2解 ： x 3y 2 3xy , xy
12
x 3y 2 x 3y 2
x 3y xy x 3y ,9 x 3y
12 12
t2
令 x 3y t 则 t 9, t 6 或 t 18 （舍）即 x 3y 的最小是 6
12
【审题要津和评注】
1.题型二的例三和题型三题型四比较类似注意区分
2.若一个题目在连用多个基本不等式时需注意取等时自变量取值是否相同
题型五 基本不等式的使用条件
解法突破：使用基本不等式前要注意验证使用条件是否满足
例 1 已知 x 5 , 求 4x 2 1 的最大值
4 4x 5
解： 4x 2 1 4x 5 1 5 3 x 4x 5 0 ,
4x 5 4x 5 4
4x 5 1 3 1 1 5 4x
3, 5 4x 0,5 4x 24x 5 5 4x 5 4x
5 4x
1
3 1
5 4x
一、单选题
1．下列说法正确的为（ ）
1
A． x 2
x
2 x2 4
B．函数 y 的最小值为 4
x2 3
C．若 x 0, 则 x(2 x)最大值为 1
D．已知 a 3时， a 4a 3 2 a
4 4 4
a 3 ，当且仅当
a a 3 即 a 4 时， a a 3 取得最
小值 8
2
2 f (x) x 4x 5 5．函数 (x ) 有（ ）
x 2 2
5 5
A．最大值 B．最小值 C．最大值 2 D．最小值 2
2 2
3 4．已知 x 1，则 x 的最小值是( )
x 1
A．5 B．4 C．8 D．6
2 2
4．已知 a b，且 ab 8 a b，则 2的最小值是（ ）
a b
A．6 B．8 C．14 D．16
ab
5．设 a 0，b 0，且 a b 1，则 的最大值为（ ）．
a 4b
1 1 2 1
A． B． C． D．
10 9 27 5
6．下列不等式恒成立的是（ ）
b a 2
A 2 B ab a b ． ．
a b 2
C． a b 2 ab D． a2 b2 2ab
1 1
7．已知正实数 a、b
满足 a b 4 ，则 a b
b 的最小值为（a ）
25
A． 2 2 2 B．4 C． D．4 2 2 1
4 1
8．已知 x，y＞0，当 x+y＝2 时，求 x y 的最小值（ ）
5 7 11
A． B． C
9
． D．
2 2 2 2
9．已知 a,b
1 9
为正实数，且 a b 6 ，则 a b 的最小值为（ ）
a b
A．6 B．8 C．9 D．12
1 4
10．已知 x，y 都是正数，若 x y 2 ，则 x y 的最小值为（ ）
7 13
A 9． B． C． D．1
4 2 4
11．已知 x 0， y 0，且 2x y xy，则 x 2y 的最小值为（ ）
A．8 B．8 2 C．9 D．9 2
1 1 1
12 a b m a
1
．已知正实数 、 满足 ，若
a b b
b 的最小值为 4，则实数 m 的取
a
值范围是（ ）
A． 2 B． 2, C． 0, 2 D． 0,
13．若 a 0,b 0，且 2a b 4，则下列不等式中成立的是（ ）
2
A． ab 2 B． a2 b 4
4
C． log2 a log2 b 1 D．9a 3b 18
x y
14．已知实数 x, y 1，则 x 1 y 1 的最小值是（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 2 2
2 a
15．已知 a，b 为正实数，且 2a b 1，则 的最小值为（ ）
a 2b
A．1 B．6 C．7 D． 2 2
16．《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家
处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证
明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O上，点C 在直径 AB 上，且
OF AB ，设 AC a，BC b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
a b
A． ab(a 0,b 0) B． a2 b2 2 ab(a 0,b 0)
2
2ab
C ab(a 0,b 0) D a b a
2 b2
． ．
a b (a 0,b 0) 2 2
2 2
17．若 a 2，b 3 a b，则 的最小值是（ ）
a 2 b 3
A．16 B．18 C．20 D．22
18 x y x x y 1 2y2．已知实数 ， 满足 ，则7x2 y2 的最小值为（ ）
A 6 2 10 B 6 2 10． ．
3 3
C 6 3 10 D 6 3 10． ．
3 3
19．若对任意实数 x 0, y 0，不等式 x xy a(x y)恒成立，则实数 a 的最小值为
（ ）
A 2 1 B C D 2 1． ． 2 1 ． 2 1 ．
2 2
20．已知实数 a 0,b 1
2 1
满足 a b＝5，则 的最小值为（ ）
a b 1
A 3 2 2 B 3 4 2 C 3 2 2 3 4 2． ． ． D．
4 4 6 6专题 2.1 等式与不等式性质
知识点①等式性质
1．如果 a＝b，那么 b＝a．
2．如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c．
3．如果 a＝b，那么 a±c＝b±c．
4．如果 a＝b，那么 ac＝bc．
a b
5．如果 a＝b，c≠0，那么 ＝ ．
c c
知识点②不等式性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b
2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
a>b，c>0 ac>bc
4 可乘性 c 的符号
a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
知识点③两个实数比较大小的方法
a b 0 a b
1 ．作差法： a b 0 a b
a b 0 a b
a
1 a b a R，b 0
b
a
2．作商法： 1 a b a R，b 0
b
a
1 a b a R，b 0 b
知识点④常用结论
1．倒数性质的几个必备结论
1 1
(1)a＞b，ab＞0 ＜ ；
a b
1 1
(2)a＜0＜b ＜ ；
a b
a b
(3)a＞b＞0,0＜c＜d ＞ ；
c d
1 1 1
(4)0＜a＜x＜b 或 a＜x＜b＜0 ＜ ＜ .
b x a
2．两个重要不等式
b b＋m b b－m a a＋m a a－m
若 a＞b＞0，m＞0，则：(1) ＜ ； ＞ (b－m＞0)；(2) ＞ ； ＜ (b－m
a a＋m a a－m b b＋m b b－m
＞0)．
一、单选题
1．已知 a、b、c、d R ，下列命题正确的是（ ）
A．若 a b，则 ac bc B．若 a b,c d ，则 ac bd
1 1 1 1
C．若 a b，则 D．若 | a | | b |
a b | a | | b |
，则
【来源】四川省乐山市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】对于 A，当 c 0时不成立；
对于 B，当 a 1,b 2,c 0,d 1时，显然不成立；
对于 C，当 a 1,b 2 时不成立；
1 1
对于 D，因为0 ，所以有 | a | | b | 0，即 | a | | b || a | | b | 成立.
故选：D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．a b,c 0 ac2 bc2 B．a b a b
C． a b且 c d a c b d D． a b a2 b2
【答案】A
【解析】对于选项 A，∵ c 0，∴ c2 0，又 a b， ac2 bc2 成立，故 A 正确；
对于选项 B，当 a 0，b 0时，结论明显错误，故 B 错误
对于选项 C，当 a 4,b 3,c 1, d 2 时， a c b d ，所以结论错误，故 C 错误
对于选项 D，当 a 1,b 2 时， a2 b2 ，所以结论错误，故 D 错误
故选：A
3．下列命题正确的是（ ）
A．若 ac bc ，则 a b
B．若 ac bc ，则 a b
1 1
C．若 a b，则
a b
D．若 ac2 bc2 ，则 a b
【答案】D
【解析】对于 A，若 c 0，由 ac bc 可得： a b ，A 错误；
对于 B，若 c 0 ，则 ac bc 0，此时 a b未必成立，B 错误；
1
对于 C，当 a 0 b 时， 0
1
，C 错误；
a b
对于 D，当 ac2 bc2 时，由不等式性质知： a b，D 正确.
故选：D.
4．已知 0 x 4，0 y 6，则 2x y 的取值范围是（ ）
A． ( 2,0) B． (0,2) C． ( 8,6) D． ( 6,8)
【来源】第 07 讲 不等式的基本性质-【暑假自学课】2022 年新高一数学暑假精品课（苏
教版 2019 必修第一册）
【答案】D
【解析】解：因为 0 x 4，0 y 6，
所以 0 2x 8， 6 y 0，
所以 6 2x y 8，
所以 2x y 的取值范围是 ( 6,8)，
故选：D.
5．如果 a,b,c R ，且 abc 0，那么下列命题中正确的是（ ）
1 1
A．若 ，则 a b B．若 ac bc ，则 a b
a b
1 1
C．若 a3 b3，则 D．若 a b，则
a b 2
a 2b
【来源】山西省运城市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
1 1
【解析】对于 A，若 a 1，b 1，满足 ，但 a b不成立，错误；
a b
对于 B，若 c 0，则 a b ，错误；
1 1
对于 C，若 a 2，b 1，满足 a3 b3，但 不成立，错误；
a b
对于 D，由指数函数的单调性知，正确.
故选：D.
6．若 a,b,c R ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 a b，则 a2 b2 B．若 c a，则 cb ab
ab 0 1 1C．若 且 a b ，则 D．若 a b，则 a c b c
a b
【来源】新疆巴音州轮台县三校 2021-2022 学年高一上学期期末联考数学试题
【答案】D
【解析】对 A，取 a 1,b 2 ，则有 a2 b2 ，A 错；
对 B，取b 0，则有 cb ab，B 错；
对 C，取 a 1,b 2
1 1
，则有 ，C 错；
a b
对 D，若 a b，则 a c b c 正确；
故选：D
b 1 b b 1
7．设 a＞b＞1，y1 , y2 , y3 ，则 y1，ya 1 a a 1 2
，y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【来源】专题 2.1 等式性质与不等式性质（4 类必考点）
【答案】C
b 1 b ab a ab b a b
【解析】解：由 a＞b＞1，有 y1﹣y2 ＞a 1 a a 1 a a 1 a 0，即 y1＞y2，
b b 1 ab b ab a a b
由 a＞b＞1，有 y2﹣y3 ＞a a 1 a a 1 a a 1 0，即 y2＞y3，
所以 y1＞y2＞y3，
故选：C.
8．若 a,b,c,d R ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 a b， c d ，则 ac bd B．若 a b，则 ac2 bc2
1
C 1．若 a b，则 a c b c D．若 a b 0，则 【来源】四川省成都市金牛区 2021-2022 学年高一下学期期末考试数学（文科）试题
【答案】C
【解析】对于 A，若 a 2,b 1,c 1,d 2 ，则 ac bd 2，所以 A 错误，
对于 B，若 c 0 ，则 ac2 bc2 0，所以 B 错误，
对于 C，因为 a b，所以由不等式的性质可得 a c b c ，所以 C 正确，
ab 0 a b 1 1对于 D，因为 a b 0，所以 ，所以 ，即 ，所以 D 错误，
ab ab b a
故选：C
9．若 a b 0，则下列不等式正确的是（ ）
A． ac bc B． a3 b3 C． a b D． a b ab
【来源】四川省绵阳市南山中学 2021-2022 学年高一下学期 6 月月考数学试题
【答案】B
【解析】对于 A，若 c 0 ，则 ac bc ，所以 A 错误，
对于 B，因为 a b 0，所以 a3 b3 0，所以 B 正确，
对于 C，因为 a b 0，所以 a b ，所以 C 错误，
对于 D，若 a 2,b 1，则 a b 3 ab 2，所以 D 错误，
故选：B
10．对任意实数 a,b,c,d ，命题：
①若 a b,c 0 ，则 ac bc ；
②若 a b，则 ac2 bc2 ；
③若 ac2 bc2 ，则 a b .
3 3 1 1④若 a b ,ab 0，则 ，
a b
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【来源】四川省自贡市 2021-2022 学年高一下学期期末考试数学（文）试题
【答案】C
【解析】对于①，若 a b， c 0，则 ac bc，①错；
对于②，若 c 0 ，则 ac2 bc2 ，②错；
对于③，若 ac2 bc2 ，则 c2 0，由不等式的基本性质可得 a b，③对；
1 1
对于④，若 a3 b3 ,ab 0，则 a 0 b ，则 0 ，④对
a b
故选：C
11．若 a b 0，则下列不等式不能成立的是（ ）
1 1 1 1
A． a2 b2 B． C． a b D．
a b a b a
【来源】第 05 讲 等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2022 年高一数学暑假精品课
（人教版 2019 必修第一册）
【答案】D
【解析】因为 a b 0，所以 a b 0， a b 0， ab 0，b a 0，
又 a2 b2 (a b)(a b) ，所以 a2 b2 0，所以 a2 b2 成立，
1 1 b a 0 1 1 ，所以 ，
a b ab a b
a b a b 0，所以 a b ，
a 2,b 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1取 可得 ， ， ，所以 不成立，
a b 2 1 a 2 a b a a b a
故选：D.
12．已知 a b ， x a3 b， y a2b a，则 x, y的大小关系为（ ）
A． x y B． x y C． x y D．无法确定
【答案】B
3 2 2
【解析】 x y a b a b a a b a 1 ，
因为 a b ，所以 a b 0，
又 a2 1 0 ，所以 (a b)(a2 1) 0，即 x y .
故选：B
13．已知 a b 0,c d 0,e 0，则下述一定正确的是（ ）
A． ae be B． c2 d 2
e e 0 (d c)e aC． D．
a c d b b
【来源】山东省青岛市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】解：因为 a b 0,c d 0,e 0，
所以 ae be， c2 d 2 ，故 AB 错误；
c d 0，所以 a c b d 0，
1 1 e e
所以 ，所以 ，
a c b d a c b d
e e
即 0，故 C 正确；
a c d b
1
对于 D，若 a 2,b 1,c 1, d ,e 1时，
2
d c e 2 a则 ，故 D 错误.
b
故选：C.
14．下列说法中，错误的是（ ）
1 1 a b
A．若 a2 b2 ， ab 0，则 B．若 2 2 ，则 a ba b c c
a m a
C．若b a 0，m 0，则 D．若 a b， c d ，则 a c b d
b m b
【来源】广东省广州市越秀区 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】对 A，取 a 3,b 2
1 1
，所以 ，故错误；
a b
对 B，由 c2
a b
0， 2 2 ，所以 a b，故正确；c c
a m a ab bm ab am m b a
对 C, b m b b b m b b m ，
m b a a m a
由b a 0，m 0，所以 0b b m ，所以 ，故正确； b m b
对 D，由 c d ，所以 c d ，又 a b，所以 a c b d
故选：A
15．已知 a b 0，则（ ）
A． ac2 bc2 B． a2 ab b2
1 1 a b
C． D． 的取值范围是 2,
a b ab
【来源】山西省吕梁市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】当 c 0 时， ac2 bc2 不成立，A 错误．因为 a b 0，所以 a2 ab b2 ，
1 1
，B 正确，C 错误．当 a 0，b 0时， a b 2 ab ，当且仅当 a b时，等号成b a
立，而 a b，D 错误．
故选：B
16．对于任意实数 a，b，c，d，下列命题中的假命题是（ ）
A．若 ac2 bc2 ，则 a b B．若bc ad 0,bd 0
a b c d
，则
b d
b a 1 1
C．若 a b 0，则 D．若 a b, ，则 a 0,b 0
a b a b
【答案】C
【解析】对于 A：若 ac2 bc2 ，则 c2 0，所以 a b，故 A 正确；
对于 B：若bc ad 0 bc ad c a
a b c d
，bd 0，则 0bd ，化为
d b ，可得
，故 B 正
b d
确；
2 2
对于 C：若 a b 0，所以 a2 b2 0， ab 0
b a b a b a
，则 0，故 ，故 C
a b ab a b
错误；
1 1 1 1 b a
对于 D：若 a b， ，则 0 ，所以 ab 0 ，所以 a 0，b 0，故 D
a b a b ab
正确；
故选：C