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沪科版初中数学八年级下学期18.2 勾股定理的逆定理 同步练习
一、选择题
1．（2019八下·柳州期末）以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．5，6，7
2．下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，1， B．5，12，13 C．3，5，7 D．6，8，10
3．将直角三角形的三条边长同时扩大三倍，得到的三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
4．已知△ABC，下列命题中的假命题是（ ）
A． 如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形，
B． 如果c2=b2-a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C． 如果(c+a)(c-a)=b2，则△ABC是直角三角形，
D． 如果∠A:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形，
5．在△ABC中，三边之比分别为5:12:13，∠C-∠B=∠A，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形，
二、填空题
6．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
7．已知a、b、c是三角形三边长，且c＝5，a、b满足关系式 ，则△ABC的形状是 三角形.
8．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格的边长都为1，则△ABC是 三角形.
9． 如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝ .， ∠ABC .
三、解答题
10．（2018八上·东台期中）如图，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC=25，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．
11．如图，四边形ABCD中，且AB=4,AD=3,BC=13,CD=12，求这个四边形的面积.
12．在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，且a=n， (n是大于2的偶数)，求证: △ABC是直角三角形.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：A、42=16>22+32=13, 是钝角三角形，不符合题意；
B、62=36<42+52=41, 是锐角角三角形，不符合题意；
C、132=169=52+122=169， 是直角三角形，符合题意；
D、72=49<52+62=61，是锐角三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 根据勾股定理判断，如果最大边的平方等于较小两边的平方和就是直角三角形。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.12+12=（）2，∴可以作为直角三角形的三边长；
B.52+122=132，∴可以作为直角三角形的三边长；
C.32+52≠72，∴不可以作为直角三角形的三边长；
D.∵62+82=102，∴可以作为直角三角形的三边长。
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，分别进行判断即可得到答案。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设直角三角形的三边长为a，b和c，且满足a2+b2=c2
由题意可知，9a2+9b2=9b2
∴a2+b2=c2
∴三角形仍为直角三角形
故答案为：D.
【分析】可以设出直角三角形的三边，根据题意扩大三倍，观察其是否可以满足勾股定理，即可进行判断。
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A.∵∠C-∠B=∠A，∴∠A+∠B=∠C，∴2∠C=180°，即∠C=90°，∴三角形ABC为直角三角形，为真命题；
B.∵c2=b2-a2，∴a2+c2=b2，∴∠B=90°，为假命题；
C.∵（c+a）（c-a）=b2，∴c2-a2=b2，∴三角形ABC为直角 三角形，为真命题；
D.设∠A=5x，∠B=2x，∠C=3x，∴5x+2x+3x=180°，∴x=18°，∴∠A=90°，三角形ABC为直角三角形，为真命题。
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形的判定定理以及勾股定理，三角形的内角和定理，分别进行判断即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠C-∠B=∠A
∴∠A+∠B=∠C
∵在三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理，进行计算即可得到答案。
6．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】
此三角形为直角三角形，
此三角形的面积为:
故答案为:
【分析】根据勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形，利用三角形的面积公式进行计算即可.
7．【答案】直角
【知识点】二次根式的性质与化简；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：根据关系式可知，a=4，b=3
∵c=5
∴a2+b2=c2=25
∴△ABC为直角三角形
【分析】根据二次根式的性质以及平方的非负性即可得到a和b的值，由勾股定理的逆定理，即可得到三角形ABC的形状。
8．【答案】直角
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在网格中
AC==
AB==
BC==
∴AC2+AB2=BC2
∴三角形ABC为直角三角形
【分析】根据勾股定理，计算得到AC，AB以及BC的长度，结合勾股定理逆定理即可得到三角形ABC为直角三角形。
9．【答案】10；45
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：AB2=12+32=10
连接AC，由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2
∴三角形ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
【分析】连接AC，根据勾股定理，即可得到AB2，分别计算得到AC，BC以及AB的长度，由勾股定理的逆定理，即可得到三角形ACB为等腰直角三角形。
10．【答案】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ΔABC是直角三角形.
∵S△ACB= ×AB×AC= ×BC×AD，
∴15×20=25×AD，
∴AD=12.
（ 2 ）利用勾股定理得：BD= =16.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意计算AB2+AC2、BC2，用勾股定理的逆定理可判断三角形ABC是直角三角形再用面积法可求得AD的长；
（2）由（1）可知AD的长，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长。
11．【答案】解:∵∠BAD=90°, AB=4,AD=3
∴BD=5
∵BC=13,CD=12
∴CD2+BD2=BC2
∴△BCD是直角三角形，
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理，计算得到BD的长度，再利用勾股定理的逆定理得出三角形BDC为直角三角形，结合四边形ABCD的面积=S三角形BCD-S三角形ABD即可得到答案。
12．【答案】证明： 是直角三角形
理由如下：
是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】判断一组数是否为直角三角形的三条边，即根据勾股定理得逆定理两个小边的平方和是否等于长边的平方。
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沪科版初中数学八年级下学期18.2 勾股定理的逆定理 同步练习
一、选择题
1．（2019八下·柳州期末）以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．5，6，7
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：A、42=16>22+32=13, 是钝角三角形，不符合题意；
B、62=36<42+52=41, 是锐角角三角形，不符合题意；
C、132=169=52+122=169， 是直角三角形，符合题意；
D、72=49<52+62=61，是锐角三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 根据勾股定理判断，如果最大边的平方等于较小两边的平方和就是直角三角形。
2．下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，1， B．5，12，13 C．3，5，7 D．6，8，10
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.12+12=（）2，∴可以作为直角三角形的三边长；
B.52+122=132，∴可以作为直角三角形的三边长；
C.32+52≠72，∴不可以作为直角三角形的三边长；
D.∵62+82=102，∴可以作为直角三角形的三边长。
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理，分别进行判断即可得到答案。
3．将直角三角形的三条边长同时扩大三倍，得到的三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设直角三角形的三边长为a，b和c，且满足a2+b2=c2
由题意可知，9a2+9b2=9b2
∴a2+b2=c2
∴三角形仍为直角三角形
故答案为：D.
【分析】可以设出直角三角形的三边，根据题意扩大三倍，观察其是否可以满足勾股定理，即可进行判断。
4．已知△ABC，下列命题中的假命题是（ ）
A． 如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形，
B． 如果c2=b2-a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C． 如果(c+a)(c-a)=b2，则△ABC是直角三角形，
D． 如果∠A:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形，
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A.∵∠C-∠B=∠A，∴∠A+∠B=∠C，∴2∠C=180°，即∠C=90°，∴三角形ABC为直角三角形，为真命题；
B.∵c2=b2-a2，∴a2+c2=b2，∴∠B=90°，为假命题；
C.∵（c+a）（c-a）=b2，∴c2-a2=b2，∴三角形ABC为直角 三角形，为真命题；
D.设∠A=5x，∠B=2x，∠C=3x，∴5x+2x+3x=180°，∴x=18°，∴∠A=90°，三角形ABC为直角三角形，为真命题。
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形的判定定理以及勾股定理，三角形的内角和定理，分别进行判断即可。
5．在△ABC中，三边之比分别为5:12:13，∠C-∠B=∠A，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形，
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠C-∠B=∠A
∴∠A+∠B=∠C
∵在三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理，进行计算即可得到答案。
二、填空题
6．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】
此三角形为直角三角形，
此三角形的面积为:
故答案为:
【分析】根据勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形，利用三角形的面积公式进行计算即可.
7．已知a、b、c是三角形三边长，且c＝5，a、b满足关系式 ，则△ABC的形状是 三角形.
【答案】直角
【知识点】二次根式的性质与化简；偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：根据关系式可知，a=4，b=3
∵c=5
∴a2+b2=c2=25
∴△ABC为直角三角形
【分析】根据二次根式的性质以及平方的非负性即可得到a和b的值，由勾股定理的逆定理，即可得到三角形ABC的形状。
8．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格的边长都为1，则△ABC是 三角形.
【答案】直角
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在网格中
AC==
AB==
BC==
∴AC2+AB2=BC2
∴三角形ABC为直角三角形
【分析】根据勾股定理，计算得到AC，AB以及BC的长度，结合勾股定理逆定理即可得到三角形ABC为直角三角形。
9． 如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝ .， ∠ABC .
【答案】10；45
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：AB2=12+32=10
连接AC，由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2
∴三角形ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
【分析】连接AC，根据勾股定理，即可得到AB2，分别计算得到AC，BC以及AB的长度，由勾股定理的逆定理，即可得到三角形ACB为等腰直角三角形。
三、解答题
10．（2018八上·东台期中）如图，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC=25，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．
【答案】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ΔABC是直角三角形.
∵S△ACB= ×AB×AC= ×BC×AD，
∴15×20=25×AD，
∴AD=12.
（ 2 ）利用勾股定理得：BD= =16.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）由题意计算AB2+AC2、BC2，用勾股定理的逆定理可判断三角形ABC是直角三角形再用面积法可求得AD的长；
（2）由（1）可知AD的长，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长。
11．如图，四边形ABCD中，且AB=4,AD=3,BC=13,CD=12，求这个四边形的面积.
【答案】解:∵∠BAD=90°, AB=4,AD=3
∴BD=5
∵BC=13,CD=12
∴CD2+BD2=BC2
∴△BCD是直角三角形，
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理，计算得到BD的长度，再利用勾股定理的逆定理得出三角形BDC为直角三角形，结合四边形ABCD的面积=S三角形BCD-S三角形ABD即可得到答案。
12．在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，且a=n， (n是大于2的偶数)，求证: △ABC是直角三角形.
【答案】证明： 是直角三角形
理由如下：
是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】判断一组数是否为直角三角形的三条边，即根据勾股定理得逆定理两个小边的平方和是否等于长边的平方。
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