可化为一元二次方程的分式方程
教学目标
(一)使学生理解把分式方程转化为整式方程是解方程的一个原则；
(二)使学生会解可化为一元二次方程的分式方程；
(三)使学生理解在方程两边乘以整式有可能增根，从而知道验根是解分式方程的必要步
骤；
(四)使学生进一步掌握换元法的技巧.
教学重点和难点
重点：会解可化为一元二次方程的分式方程，知道解分式方程必须验根.
难点：理解方程的同解原理，会运用换元思想方法等计算技巧.
教学过程设计
(一)复习
前一阶段，我们对于一元二次方程已作了较完整的研究：研究了一元二次方程的各种解
法、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数关系以及归结为列出一元二次方
程的应用题.
今后三课进我们要研究可化为一元二次方程的分式方程的解法与有关的应用题.
我们在初中代数第二册第九章已经学过了可化为一元一次方程的分式方程.所以今后的
三课时，只是在方程形式上不同，解法与算理是和初二代数里的分式方程一样的.
解：方程两边都乘以x(x-1),去分母得
(x+5)-3(x-1)=6x,x=1.
把x=1代入x(-1),它等于零，所以x=1是原方程的增根，原方程无解.
另解：把方程的各个分式都移到等号左边，并化简
x-1是方程①的分母的因式，必须x-1≠0,所以分子、分母约去x-1,得,因为分子不为零，所以，即原方程无解.
请同学回答以下问题：
1.什么是分式方程
2.解分式方程的一般方法与步骤是什么
3.为什么解分式方程必须验根 应当怎样验根
(分母里含有未知数的方程叫做分式方程，解分式方程的一般方法是去分母化分式方程
为整式方程.解分式方程有三步：
第一步：去分母，化分式方程为整式方程.
第二步：解整式方程.
第三步：验根.把整式方程的根中不适合分式方程的舍去.验根的方法是把变形后求得的形式方程的根代入去分母时所乘的整式，如果使这个整式等于0，就是增根)
去分母的关键是找出各分母的最简公分母.由于去分母过程是在方程两边乘以含未知数
的整式(最简公分母)，当此乘式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此从第二步解出的整式方程的根就不一定是原分式方程的根，所以必须验根.
(二)新课
方程两边都乘以(x+2)(x-2),约去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)，整理后，得x2-
3x+2=0,解这个方程，得x1=1,x2=2.
检验：把x=1化入最简公分母，它不等于0，所以x=1是原方程的根；把x=2代入最简公分母，它等于0，所以x=2是增根.
因此原方程的根是x=1.
解：把各个分母分解因式，并求出最简公分母
方程两边都乘以最简公分母(2x+1)(2x-1)(2x-3),得2(2x-1)-(2x+1)+(2x-5)(2x-3)=0,
整理，得 4x2-14x+12=0,2x2-7x+6=0,x1=2,x2=
把x=2代入最简公分母，所得的值不为零；把x=代入最简公分母，所得的值为零，所以x=是增根.
答：原方程的根是x=2.
分析：(1)这个分式方程如果用去分母法解，方程两边要同乘以(x+1)(x2+1),所得到的
将是一个难题的四次方程.所以，要考虑别的解法.
(2) 观察方程的特点，可见含未知数的两部分式子互为倒数.
(3) 由于具有倒数关系，如果设，原方程就可变形为 ①，此方程去分母可化为一元二次方程2x2-7y+6=0.从中解出y，再解出x.因此，原分
式方程可用换元法来解.
方程的两边都乘
以y,约去分母，得2y2-7y+6=0.
检验：把分别原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根.
换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的方程的特殊方法.它的基本思想
是用换元的方法把某些式子的形式简化，从而把原方程的形式简化.
例4 解分式方程：
经过检验，这四个根都适合.所以原分式方程的解是
例5 解关于x的方程：
解：方程两边都乘以最简公分母abx(a+b+c)去分母，得
bx(a+b+x)+ax(a+b+x)+ab(a+b+x)=abx.
整理得 (a+b)x2+(a+b)2x+ab(a+b)=0. ①
(1) 当a+b≠0时，x2+(a+b)x+ab=0,x1=-a,x2=-b.
(2) 当a+b=0时，方程①中的x≠0.(否则a+b+x=0,使原方程等号右边的分式母为零)
经检验可知，当a+b≠0时，原方程的解是x1=-a,x2=-b;当a+b=0时，原方程的解是一切非零实数.
说明：当a+b=0时，检验的方法是x=t(t≠0)，代入原方程
解字母系数的方程应注意对字母的取值予以讨论.
(A) 0个 (B) 1个 (C)2个 (D) 无数多个
分析：去分母，得4+2(x+3)2=(x-1)(x+3),整理得x2+10x+25=0,得x1=x2=-5.对朱方程业说，分式方程不计次数，应算一个根.所以选(B).
例7 判断下面的解分式方程过程是否正确
解：方程两边通分，得
因为分子相等，所以
分析：上面的解法错误地认为：“相等的两个分式，如果分子相等，则分母必相等”，
事实上，时分子相等，但分母3与5并不相等.
正确的解法是：
.
分析：若用最简公分母(x2+11x-8)(x2+2x-8)(x2-13x-8)乘方程两边，得(x2+2x-8)(x2-
13x-8)+(x2+11x-8)(x2-13x-8)+(x2+11x-8)(x2+2x-8)=0.
式中每项的两个括号之积都是4次式，运算起来很复杂.我们发现每个括号里都含用x2-8
,如果令y=x2-8,即把2次式降为1次式，于是①式中每项的两个括号之积都降为2次式，可使运算简便些.
解令y=x2-8，则原方程转化为
去分母，得 (y+2x)(y-13x)+(y+11x)(y-13x)+(y+11x)(y+2x)=0.
去括号 ，整理得 y2-49x2=0,(y+7x)(y-7x)=0.
所以y1=-7x,y2=7x.
(1)当y1=-7x时，得x2-8=-7x.即 x2+7x-8=0,x1=-8,x2=1;
(2)当y2=7x时，得x2-8=7x.即x2-7x-8=0.x3=8,x4=-1.
经过检验，可知这四个根都是适合原方程.
答：原方程的根是x1=-8,x2=1,x3=8,x4=-1.
(三)课堂练习
(四)小结
在初中代数第二册第九章分式中，我们已学过用去分母法解可化为一元一次方程的分式
方程.与此相仿，我们也可以用去分母法解可化为一元二次方程的分式方程.解题步骤有三步
.
第一步：去分母；
第二步：解所得的整式方程；
第三步：验根.
解题关键是找到各分母的最简公分母.在去分母时，要用最简公分母乘方程两边，注意不要漏掉右边.
验根的方法有两种：一是把求得的根代入原方程的分母，使分母为零的值是增根，应舍
去；二是代入所乘的最简公分母，使最简公分母的值为零的值是增根，应舍去.
(五)作业
1.解下列方程：
2.用换元法解下列方程：
.
3.解下列关于x的方程：
.
4.解方程.
作业的答案或提示
课堂教学设计说明
１．这里安排两节课的内容，以便于调节每节课取材的多少．
２．先复习已在初二学习的分式方程知识，然后逐步加深．例１与例２是在去分母化简的难度上有梯度．例３、例４、例是换元法，逐步加深难度．例５是字母系数的分式方程，对字母系数作简单讨论，例６要说明分式方程不谈次数（只是整式方程才谈次数）．例７安排了判断解法是否正确的问题，指出了解分式方程的一种常见错误．四、同 步 题 库（一）
1、 填空题
1.一元二次方程的一般形式是 .
2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有且只有一个根是零，则它的 项为零.
3.对下列一元二次方程，写出适当解法：
（1），用 法为好；
（2），用 法为好；
（3）,用 法为好；
（4），用 法为好.
4.如果有解，那么k ，其解x1= ，x2= .
5.如果x2=196，256，则x= ， ；如果x=±17，±18，±19，则
x2= ， ， .
6.如果是一个完全平方式，那么a= .
7.若关于x的方程2x2+mx+m-1=0有一个根是零，则另一个根是 .
8.如果x=1，是方程的根，那么1-2a= .
9.已知方程，如果用y代换ax+b，那么就可化为关于y的一元二次方程 .
10.若 .
11.方程根的判别式Δ= ，当k 时，方程有两个不相等的实数根；当k 时，方程有两个相等的实数根；当k 时，方程没有实数根.
12.若方程的判别式Δ=15，则p= .
13.设方程的一个根为7，则另一个根是 ，k= .
14.如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么p，q之间的关系是 .
15．如果α，β是方程的两个根，那么，α+β= ；α·β= .
16.关于x的方程有两个不相等的实数根x1，x2，且·x2=12，则m的值是 .
17.若方程的两根互为相反数，则m= .
18.方程的两根之比为2∶3，则m的值是 ，两根分别是 .
19.的两根平方和是 ,两根差的平方是 .
20.已知的值是7，则代数式的值为 .
2、 选择题
21.下列方程中是一元二次方程的是（ ）.
A. B.
C. D.
22.下列各一元二次方程是一般形式的是（ ）
A. B.
C. D.
23.方程的根为（ ）
A.x1=4,x2=-4 B.x1=-4,x2=0
C．X1=0,x2=2 D.x1=4,x2=0
24.若x=-1是方程x2-mx-3=0的一个根，则m的值为（ ）
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
25.方程x2=x的根为（ ）
A.0 B.1 C.0或-1 D.0或1
26.已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0）,若方程有解，则必须（ ）
A.n=0 B.n=0或m,n异号
C.n是m的整数倍 D.m,n同号
27.下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
28．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A.m<4 B.m≤4且m≠0
C.m≥4且m≠0 D.m<4且m≠0
29.方程没有实数根，k的最小整数值是（ ）
A.-1 B.2 C.3 D.4
30.已知a，b，c是一个三角形的三边，且方程有两个
相等的实根，则该三角形是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
31.方程中较大的一根为α，方程+1
=0中较小的一根为β，α+β等于（ ）
A. B. C. D.
32.若a>0,b<0,c<0，则方程的根的情况是（ ）
A. 有两个同号的实数根
B. 有异号的两实数根，且负根的绝对值大
C. 有异号的两实数根，且正根的绝对值大
D. 无实数根
33.用因式分解法求得方程的根为（ ）
A. B.
C. D.以上都不对
34.方程中，x与y的关系是（ ）
A.x=y或x=2y B.x=y或x=-2y
C.x=-y或x=2y D.x=-y或x=-2y
35.关于x的一元二次方程中,k的值应为（ ）
A. B. C. D.以上都不对
36.观察方程，得到的认识是（ ）
A. 用公式法解为好
B. 用配方法解为好
C. 只有一个根是
D. 因为题目结构是“完全平方式等于零”，所以有两个等根
37.有理系数方程（a≠0）的求根公式是（b2-4ac≥0），如果b2-4ac是一个完全平方数，那么方程的根一定是（ ）
A.有理数 B.无理数
C.正实数 D.负实数
38.方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根的条件是（ ）
A.a，b异号 B.a，b同号
C.a，c异号 D.a，c同号
39.设一元二次方程的两根为α，β，且（α-1）（β-1）-5=0（α≠β），则方程两根为
A.-2，-6 B.2，6
C.4，-12 D.-4，12
40.方程x2+px+q=0，甲同学因为看错了常数项，解得的根是6，-1；乙同学看错了一次项，解得的根是-2，-3，则原方程为（ ）
A.x2-5x+6=0 B.x2-5x-6=0
C.x2+5x+6=0 D.x2+5x-6=0
3、 解答题
41.已知，一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0，p≠0）的两个实数根是α，β.
求证：.
42.已知x1,x2是关于x的方程的两个实数根，且，
求m的值.
43.已知：关于x的方程x2+bx+4b=0有两个相等实根,y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+
4=0的两实根，求以为根的一元二次方程.
44.已知关于x的方程，①只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y2-3k+m=0；②有两个实数根y1和y2.
（1） 当k为整数时，确定k的值.
（2） 在（1）的条件下，若m>-2，用关于m的代数式表示.
45.已知如图，AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥DC，垂足为F.
图代12-1-13
（1） 求证EC=DF.
（2） 若AE=a，EF=b，BF=c.求证tg∠EAC和tg∠EAD是方程的两个
根.
46.已知如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O于D，我AC于E.
图代12-1-14
（1） 设∠ABC=α，已知关于x的方程-12=0有两个相等的
实数根，BC=8，求AB的长.
（2） 若点C是以A为圆心，以AB为半径的半圆BF（点B，F除外）上的一个动点，
设BC=t，CE=y，利用（1）所求得的AB的长，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.
（3） 在（2）的基础上，当t为何值时，S△ABC=.
47.如图，⊙O1与⊙O2相交，大圆⊙O1的弦AB⊥O1O2，垂足是F，且交⊙O2于点C，D，
过B作⊙O2的切线，E为切点，已知BE=DE，BD=m，BE=n，AC，CE的长是关于x的方程x2+px+q=0的两个根.
图代2-1-15
（1） 求证：AC=BD；
（2） 用含m,n的代数式分别表示p和q；
（3） 如果关于x的方程有两个相等的实数根，且∠DEB=30
°，求⊙O2的半径.
48.已知如图，⊙M交x轴正半轴于A（x1，0），B（x2,0）(x1
于C（0，y1），D（0，y2）(y1图代12-1-16
（1） 求证∠CAO=∠DAM；
（2） 若x1,x2是方程的两个根,y1,y2是方程y2-(q-1)y+(p-1)=0的两
个根，且x1+y1+x2+y2=12，求p和q的值；
（3） 过点A分别作DM，CM的垂线AE，AF，垂足分别为点E和F，根据（2），求证△AEM
≌△MFA.
49.已知：如图，AB，是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB的平分
线分别交BC，AB于点D，E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE，BD的长是一元二次方程x2-kx+2=0的两根（k为常数）.
图代码2-1-17
（1） 求证：PA·BD=PB·AE；
（2） 求证：⊙O的直径长为常数k；
（3） 求tg/FPA的值.
50.已知直角三角形斜边长是5，两直角边恰为方程x2-(k-3)x+k+2=0的两根，求k的
值.
五、同 步 题 库（二）
1、 填空题
1. 二次三项式，对x2-
(x1+x2)x+x1x2进行因式分解等于 ，即分解因式ax2+bx+c= .
2.在实数范围内分解因式：2x2-2x-3= .
3．分解因式： .
4.x∶（x+1）=(x-2)∶3中的x等于 .
5.已知r为方程8x-32=(x+4)(x-4)的根，则半径为rcm的圆的面积是 .
6.某城市现有42万人，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数时，若设城镇现有人口x万人，则农村现有人口为 万人，所列方程为 .
7.把5x2-2x+1化成a（x+m）2+k的形式是 .
8.如果代数式y2+7y+2与y-3的值相等，那么y= .
9.在实数范围内分解因式：a3-2ab2= .
10.分解因式的结果等于 .
11.在10点钟到11钟之间，时钟的时针和分针互相重合，此时的准确时间是 .
12.某车间第一个月生产a个零件，第二个月比第一个月增产x%，第三个月比第二个月增产x%，则第三个月产量是 .
13.从1980年到本世纪末，我们工农业总产值要翻两番（即增长为原来的4倍）.在这20年内，设每年工农业总产值比上一年增长率为x，依题意得关于x的方程是 .
14.一个两位数ab比它个位上的数的平方小2，个位上的数比十位上的数大3，这个两位数的一元二次方程是 .
15.某农户靠着8米长的围墙，用14米长的钢丝网作另外三边，围起一个面积是20米2的的长方形场地，这个长方形场地的长和宽分别是 .
2、 选择题
16.在实数范围内分解因式x2-4x+1，正确的结果是（ ）
A.（x-4）(x+1) B.
C.（x-5）(x+1) D.
17．多项式2x2+3xy-4y2在实数范围内分解因式，正确的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
18.若x2+3x+a是完全平方式，则a等于（ ）
A.0 B.1 C. D.
19.多项式2x2-5在实数范围内分解因式的答案是（ ）
A. B.
C. D.
20.方程x2+px+q=0的根是，则二次三项式x2+px+q可分解可（ ）
A. B.
C. D.以上都不对
21.以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两个根的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
22.某货物以a元买入，加价p%后作为售出的定价，但是市场竞争激烈，卖不出去，
又决定按定价的q%降价出售，则降价后的售介（单位：元）是（ ）
A.a（1+p%）·q% B.a（1+p%·q%）
C.a（1+p%）（1-q%） D.a·p%·q%
23.大正方形的周长比小正方形的周长多24cm，而面积比是4∶1，这两个正方形的边
长（cm）分别是（ ）
A.8和2 B.8和4 C.12和6 D.12和3
24.某小化肥厂一月份生产化肥500吨，后来由于改进操作技术，使得第一季度共生产
化肥1750吨，则二、三月份平均每月的增产率（x）的方程是（ ）
A.500（1+x）2=1 750 B.500+500（1+x）2=1 750
C.500（1+x）+500(1+x)2=1 750 D.500+500(1+x)+500(1+x)2=1 750
25.两个连续奇数的积为143，则这两个数的和等于（ ）
A.-24 B.24 C.24或-24 D.-2
26.关于x的方程2x2+ax+b=0的两根为，则二次三项式可分解为（ ）
A. B.
C. D.
27.关于x的一元二次方程的二次项系数是2，两根为，则相应的二次三项式在实数范围内分解因式的结果为（ ）
A. B.
C. D.
28.设，那么M与N的大小关系是（ ）
A.M>N B.M29.制造某种产品，原来每件成本700元，由于不断改进技术，连续两次降低成本，现
在的成本是448元，如果每次降低成本的百分数相同，则这个百分数是（ ）
A.5% B.10% C.15% D.20%
30.一个两位数，十位上的数比个位上的数小2，且十位上的数与个位上的数的和的平
方等于这个两位数加上29，设十位上的数为x，依题意，可列方程（ ）
A. B.
C. D.
3、 在实数范围内分解因式
31..
32..
33.已知关于x的二次三项式，问m取何值时：
（1） 在实数范围内能分解因式；
（2） 在实数范围内不能分解.
34..
35..
4、 应用题
36.红星中学某班前年暑假将勤工俭学挣得的班费2 000元按一年定期存入银行.去年
暑假到期后取出1 000元寄往灾区，将剩下的1 000元和利息继续按一年定期存入银行，待今年毕业后全部捐给母校，若全年到期后取得人民币（本息和）1 155元，问银行一年定期存款的年利率（假定利率不变）是多少？
37.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商
品售价为a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售价多少元？
38.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1） 若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？
（2） 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
39.某商店将甲、乙两种糖混合销售，并按以下公式确定混合糖果的单价：单价=
（元/千克），其m1,m2分别为甲、乙两种糖果的质量（千克），a1,a2分别为甲、乙两种糖果的单价（元/千克）.已知甲种糖单价为20元/千克，乙种糖果单价为16元/千克.现将10千克乙种糖果，再出售时，混合糖果的单价为17.5元/千克.问这箱甲种糖果多少千克？
40.长江大堤某险段，水利部分计划对堤射增土加厚，新增部分的横断面为梯形，其面积是9米2，堤顶面加的宽度是大堤高的，堤底面加的宽度是顶面加的宽度的2倍.求大堤顶面新增加的宽度.
参 考 答 案
同步题库（一）
1、 填空题
1.； 2.常数； 3.直接开平方，配方，因式分解，公式； 4.
≥0，； 5.±14，±16，289，324，361； 6.±4； 7.； 8.-3； 9. 10.3； 11.4k+4,>-1,=-1,<-1； 12.±2； 13.-5，2； 14.p=q； 15.-p，q； 16.-1； 17.-10； 18.9，3，； 19.； 20..
2、 选择题
21.D 22.C 23.B 24.A 25.D 26.B 27.B 28.D 29.B 30.C 31.A 32.C
33.C 34.C 35.C 36.D 37.A 38.C 39.B 40.A
3、 解答题
41.证法（一）：∵α，β是一元二次方程的两根.
， ①
. ②
由①②得
， ③
. ④
③+④得
.
又，
∴ .
证法（二）：由根与系数关系得
， ①
α·β. ②
①×m得
∴ mα+mβ=-n.
∴ mα+n=-mβ.
∴ mβ+n=-mα.
.
∴ .
∴
证法（三）：左边
∵ ，
∴ 左边
∴ 左边=右边.
∴ .
证法（四）：∵α，β是方程的两根，
∴ α+β.
∴
∴
∴
∴ .
∴ .
∴ .
证法（五）：右边
.
∵ 右边
∴ 左边=右边.
∴ .
42.解法一：∵Δ=（3m-5）2+96m2
∴m为任何实数，都有Δ>0.
∵ ，
∵ x1·x2，
∴ .
∴ x1·x2.
∴ x2=±m.
∵ x1+x2=，x1=x2.
∴ .
∴当x2=m时，解得m=5；
当x2=-m时，解得m=1.
∴ m=5或m=1.
解法二：同解法一得.
设x1=3k，x2=-2k.
∵ x1+x2=，
x1·x2=，
∴
化简，得 m2-5m+5=0.
∴ m2-6m+5=0.
∴ m=1或m=5.
43.解：∵方程有两等根，
∴ b2-4×4b=0.
∴ b(b-16)=0.
∴ b=0,b=16.
当b=0时，方程y2-(2-b)y+4=0，即
y2-2y+4=0.
Δ=(-2)2-4×1×4
=4-16
=-12<0,无实数根；
当b=16时，方程y2-(2-b)y+4=0，即
y2-14y+4=0.
∵y1,y2是方程y2-14y+4=0的两根，
∴
∴所作方程为
.
∵
∴ ，
.
∴所作方程为
.
44.解：（1）当k=0时，方程①化为-x-1=0，
x=-1，方程有整数根.
当k≠0时，方程①可化为
（x+1）(kx+k-1)=0
解得 x1=-1,x2==-1+.
∵方程①的根是整数，
∴k为整数的倒数.
∵k是整数，
∴k=±1.此时Δ=（2k-1）2-4k(k-1)=1>0.
但当k=1时，（k-1）y2-3y+m=0不是一元二次方程.
∴k=1（舍去）. ∴k=0，k=-1.
（2）当k=0时，方程②化为-y2-3y+m=0.
∵方程②有两个实数根.
∴Δ=9+4m≥0,即m≥，又m>-2，
∴当m>-2时，.
当k=-1时，方程②化为-2y2-3y+m=0，
方程有两个实数根.
∴Δ=9+8m≥0，即m≥.
∵m>-2，∴当-2当m≥时，有
.
45.（1）证明：作OG⊥EF，垂足为G，
已知AE∥OG∥BF，
又 OA=OB，
∴ GE=GF.
又 GC=GD，
∴ GE-GC=GF-GD.
即 EC=DF.
图代12-1-20
（2）证明：连AC，BC，
gt∠EAC=EC/AC,tg∠EAD=DE/AE,
∴ tg∠EAC+tg∠EAD
tg∠EAC·tg∠EAD
.
△ AEC与△CFB中，∠E=∠F=90°，
AB为直径，∴∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCF=90°.又∠CBF+∠BCF=90°，
∴ ∠ACE=∠CBF.
∴ △AEC∽△CFB.
∴ EC/BF=AE/CF.
∴ EC·CF=AE·BF=ac.
∵EC=DF，易知CF=ED，
∴ EC·CF=EC·ED.
∴EC·ED=ac.代入（*）中，
∴ tg∠EAC·tg∠EAD.
由①②可知，tg∠EAC和tg∠EAD为的两根.
46.解（1）连结AD.
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0即.
图代12-1-21
解这个关于的方程，得
（不合题意，舍），
∴ .
AB为⊙O的直径∠ADB=90°
AB=AC
BC=8
在Rt△ABD中，∵，
∴ .
（2）连结OD.
DE切⊙O于DODE=90°
OD∥AC ∠DEC=90°
∠DEC=∠ADC=90°
△DEC∽△ADC.
∠C=∠C
CD/CA=CE/CD
CE=y
AC=AB=5
.
自变量t的取值范围是0（3）∵ S△ABC=，
∴ .
在Rt△ABD中,，
由勾股定理得
.
∴ ，
即 t·，
t4-100t2+1 875=0.
设t2=u，则1 875=0.
解之，得 u1=25,u2=75.
即 t2=25，或t2=75,
∴ t±5，或t=±5.
经检验和符合题意.
即当.
47.解（1）∵O1F⊥AB，∴AF=BF.
∵O2F⊥DC，∴FC=FD.
∴AC=BD.
（2）∵BE和⊙O2切于点E，
∴BE2=BD·BC，得.
又 ∠BCE=∠DEB，∠B=∠B，
∴ △CBE∽△EBD.
∴ .
而BE=DE，∴.
又AC=BD=m，
∴ ，
.
（3）∵方程有两个相等的实数根，而，
图12-1-22
，
∴.
由n>0，连结O2D，O2E，
又∵∠DEB=30°，∠BEO2=90°，
∴∠O2ED=60°.
∴△O2ED是等边三角形.
∴O2E=DE=BE=2，
即⊙O2的半径是2.
48.（1）证明：延长AM交⊙M于点P，连结DP.
由圆内接四边形的性质定理，得
∠APD=∠ACO.
而 ∠CAO=90°-∠ACO，
∠DAM=90°-∠APD，
∴ ∠CAO=∠DAM.
图12-1-23
（2）解：由条件知x1+x2=p，
x1x2=q，
y1+y2=q-1，
∵ x1+y1+x2+y2=12，
∴ p+q-1=12.
在⊙M中，由切割线定理的推论得
x1x2=y1y2
∴ q=p-1.
联立①②，解得p=7,q=6.
（3）证明：由（2），A，B，C，D的坐标分别为A（1，0），B（6，0），C（0，2），D（0，3），
可求得⊙M的半径长为.
过点A分别作DM，CM的垂线AE，AF，垂足分别为点E和F，
延长DM交⊙M于点Q，连结AQ.
可证△ADE∽△QDA，∴DE=AD2/DQ.
而，
∴ .
同理可得 ，
，
∴ EM=FA.
∴ △AEM≌△MFA.
49.（1）证明：如图，PB切⊙O于B
PF平分∠APB
∠PBD=∠A
∠APE=∠BPD
△PBD∽△PAE
PB/PA=BD/AEPA·BD=PB·AE.
图代12-1-24
（2）证明：如图，
∵ ∠BED=∠A+∠EPA，
∠BDE=∠PBD+∠BPD，
又 ∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，
∴ ∠BED=∠BDE.
∴ BE=BD.
∵AE，BD的长是一元二次方程的两根（k为常数），
∴ AE+BD=k
∴ AE+BD=AE+BE=AB=k.
即⊙O的直径为常数k.
（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径，
∴ ∠PBA=90°
∵ ∠A=60°
∴ .
又 PA·BD=PB·AE，
∴ . ①
∵AE，BD的长是一元二次方程的两根（k为常数），
∴ AE·BD. ②
由①②解得AE=2，BD=.
∴ AB=2+.
在Rt△PBA中,PB=AB·.
在Rt△PBE中，tg∠BPF.
∵ ∠FPA=∠BPF，
∴ tg∠FPA=2-.
50.解：令直角三角形的两直角边的长为a，b，依题意得
.
.
∵ k=-2(不合题意，舍去)，
∴ k=10.
同步题库（二）
1、 填空题
1.（x-x1)(x-x2),a(x-x1)(x-x2)； 2.； 3.(x+3y)(x+2y+
1)； 4. 5.16πcm2； 6.42-x，（1+0.8%）x+(1+1.1%)（42-x）=42（1+1%）； 7.； 8.-1或-5； 9.； 10.； 11.10点分； 12.a(1+x%)2； 13.； 14.10a+(a+3)=(a+3)2-2或10(b-3)+b=b2-2； 15.5米，4米.
2、 选择题
16.B 17.B 18.C 19.B 20.A 21.B 22.A 23.C 24.D 25.C 26.C 27.D
28.A 29.D 30.B
3、 在实数范围内分解因式
31..
解：令.
，
.
∴ .
∴ .
32..
解:∵方程的根是
,
∴ .
∴ .
33..
解:令.
则
(1) 当27-4m≥0即m≤时,能在实数范围内因式分解.
(2) 当27-4m<0即m>时,不能在实数范围内因式分解.
34..
解:.
令,可得,
∴ .
令,可得,
∴ .
∴
.
35..
解∵方程的根是
∴ .
∴
.
4、 应用题
36.解：设一年定期存款的年利率为x%，得
[2 000（1+x%）-1 000]（1+x%）=1 155，
[1 000+2 000x%]（1+x%）=1 155，
1 000+20x+10x+0.2x2=1 155，
0.2x2+30x-155=0,
x2+150x-775=0，
（x-5）(x+155)=0.
X1=5,x2=-155（舍去）.
∴一年定期存款的年利率为5%.
37.解：设每件商品售x元，才能使商店赚400元.
依题意，得：，
，
∴ .
又∵ 21×（1+20%）=25.2，
而 ，
∴ x=31（舍去）.
∴ x=25
当x=25时，.
∴该商店需要卖出100件商品，每件商品售价25元，才能使商店赚400元.
38.（1）解：设每件衬衫应降件x元，得
，
，
.
根据题意，取20.
∴每件衬衫应降价20元.
（2）解法一：
商场每天盈利为
.
当时，商场盈利最我，共1 250元.
解法二：
设每件衬衫降价x元时，商场平均每天盈利y元，则
.
当时，
1 250（元）.
39.解：设这箱甲种糖果有x千克，则
·，
，
.
.
经检验，都是原方程的根，
但不合题意，舍去.
∴这箱甲种糖果有10千克.
40.解：设堤高x米，则堤顶面新增宽度为米，依题意，得
，
，
，
（取正值，负舍）.
∴
故堤顶面新增宽度为1.2米.
PAGE
6一元二次方程应用题(一)
[内容]
教学目标
(一)会列一元二次方程解应用题；
(二)进一步掌握解应用题的步骤和关键；
(三)通过一题多解使学生体会列方程的实质，培养灵活处理问题的能力.
教学重点和难点
重点：列方程解应用题.
难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中间量(简称关系式)；会根据所设的不同意
义的未知数，列出相应的方程.
教学过程设计
(一)复习
1.写出本节课的课题：一元二次方程的应用.
2.请同学们回忆并回答解一元一次方程应用题的一般步骤：
第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；
第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；
第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式(简称关系式)，从而列出方程；
第四步：解这个方程，求出未知数的值；
第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案(包括单位名称.)
3.解一元二次方程的应用题的步骤与解一元一次方程应用题的步骤一样.
我们先来解一些具体的题目，然后总结一些规律或应注意事项.
(二)新课
例1 (课本P41)两个连续奇数的积是323，求这两个数.
第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数.
1.什么是奇数 不能被2整除的整数叫做奇数，例如±1，±3，±5…，一般地，设n为整
数，则2n-1(或2n+1)表示一个奇数.
2.-1,-3,-5…，1,3,5…是连续奇数，它们之间相差2(或-2).
2n-1与2n+1是连续奇数，2n+1与2n+3也是连续奇数(其中n是任意整数).
如果规定了x是奇数，那么x-2与x是连续奇数，x+2与x也是连续奇数.
3.本题里，已知数是323，未知数是两个连续奇数.
第二步：本题里，表示应用题全部含义的相等关系是
(1) 两个连续奇数的乘积=323；
(2) 两个连续奇数之差=±2.
解法1：用相等关系(2)写出关系式，用相等关系(1)列方程.
设较小的一个奇数为x，那么较大的一个奇数为x+2,根据相等关系：两个连续奇数的乘
积=323，列出方程
x(x+2)=323.
整理，得 x2+2x-232=0,
解方程，得 x1=17,x2=-19.
当x=17时，x+2=19.当x=-19时，x+2=-17.
检验：17×19=323;(-19)×(-17)=323.都符合题意.
答：这两个连续数是17，19或-19,-17.
(注：检验这一步，课本上例题没有要求写出，我们在解题时，作业上虽可不写出，但
不要忽略这一步)
解法2：用相等关系(1)写出关系式，用相等关系(2)列方程.
设较大的一个奇数为x，则较小的一个奇数为,
根据相等关系：两个连续奇数的差=±2，列出方程 x-=2.
用x乘方程两边，得x2-2x-323=0.
解这个方程，得x1=19,x2=-17.
当x=19时，==17.当x=-17时，=-19.
经过检验，这两组答数都符合题意.
答：这两个连续奇数为19，17，或-17,-19.
解法3： 设x是任意整数，则两个连续奇数为2x-1,2x+1.根据相等关系：两个连续奇数
的乘积=323，列出方程(2x-1)(2x+1)=323.整理，得4x2-1=323,x2=81.解得x1=9,x2=-9;当x1=9时，2x-1=17,2x+1=19;当x2=-9时，2x-1=-19,2x+1=-17.
经过检验，这两组答数都符合题意.
答：这两个连续奇数是19，17，或-19,-17.
现在从上面的三种解法来分析列方程，解应用题要注意的地方.
第一步：弄清题意.本题需要先弄清什么奇数，什么是连续奇数，用x表示哪个未知数
解法1与解法2是用x直接表示其中一个奇数，而解法3所设的x表示的是任意整数，然后，间接地用2x-1,2x+1表示连续奇数；
第二步：描述相等在系.因为方程是含有未知数的等式，所以必须有相等关系.本题中的
“两个连续奇数的乘积等于323”是相等关系，可是还有一个比较隐蔽的相等关系是“两个
连续奇数之差等于2或-2”；
第三步：根据相等关系，写出需要的代数式(关系式)，从而列出方程.
这一步分两方面讲，“同需要的代数式”(关系式)是指用含未知数x的代数式来表示题
目里除了用字母x表示的那个量以外的所有其他的量，像解法1里，用x+2表示较大的那个奇数；像解法2里，用表示较小的那个奇数；像解法3里，用2x-1,2x+1表示两个连续奇数；写出这些代数式，是解应用题的关键.打个比哈，方程是一辆完整的自行车，那么，这年代数式就是一些小零件，把这些零件准备齐全了，组装起来就是一辆自行车了.
列方程，就是根据题目里的相等关系，把含未知数的代数式(关系式)，恰当地构成一个
等式，就是含未知数的等式，就是方程.
不同的相等关系，就列出不同的方程，像解法1与解法2是用不同的相等关系列出的不同的方程，它们的解题过程可能有简有繁.但得到的答案应该是一样的.
例2 某林场修建一条断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6米2，上口宽比渠深多2米，渠底宽比渠深多0.4米，(图12-4).求渠道的上口宽与渠底宽各是多少
(这是课本P43，习题12.6，A组第7题的(1)问).
分析：题目的已知数为1.6，2，0.4.有三个未知量：
上口宽、渠底宽及渠深，有三个相等关系：
1.断面面积1.6米2；
2.上口宽=渠深+2米；
3.渠底宽=渠深+0.4米.
本题设渠深为x米较方便，那么上口宽与渠底宽便是题目里除了渠深以外的其他量，它
们可用含x的代数式表示.
解：设渠深为x米，则上口宽为(x+2)米，渠底宽为(x+0.4)米.(因为在写代数(关系式)
时已用了第2、第3两个相等关系，所以只能用剩下的一个相等关系来建立方程了)，列方程
，断面面积=(上底+下底)×高，即1.6=[(x+2)+(x+0.4)]x,
化简整理，得x2+1.2x-1.6=0.
解这个方程，得x1=0.8, x2=-2.
因为渠深不可能是负数，应舍去x1=-2.取x=0.8.
检验：上口宽=2.8米，渠底宽1.2米，渠深0.8米.
(2.8+1.2)×0.8=×4×0.8=1.6(米2)，符合题意.
答：渠道上口宽2.8米，渠底宽1.2米.
(三)课堂练习
1.浓度为m%的盐酸n千克，含纯盐酸 ____千克；若再加p千克水，此时浓度为 ____.
2.制造一种产品，原来每件的成本是120元，由于连续两次降低成本，现在成本为78元.求平均每次降低成本百分之几
答案或提示：
2.设每次降低成本的百分率为x，则120(1-x)2=78,1-x≈±0.81，取x=0.19%.
(四)小结
列方程解应用题的步骤是：
1.仔细了解题意及有关的事物的概念.
2.找题中给出的等量关系和隐含的等量关系.
3.选设未知数，并用含这个未知数的代数式表示其他未知量(这种代数式叫做关系式).
4.利用未曾用过的等量关系列方程.
5.解方程.
6.检验得数是否符合题意，然后做答.
(五)作业
1.将一升水加入到硫酸和水的混合液中，得到新的混合液含硫酸20%，再将一升硫酸加
入到新的混合液中，如果使混合液含硫酸33 %，在原混合液中含硫酸的百分比是( ).
(A) 22% (B) 24% (C) 25% (D) 33%
2.有一个两位数，如果用数字之和去除，则商8余7，如果用数字对调后的两位数去除原来的两位数，则商4余3，则这个两位数是 _________.
3.要做一个容积是750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少 (精确到0.1cm)
4.某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，平均每年增产的百分率是多少
5.某人承包在一定时间内生产某种产品960件，开始工作后每个月比原计划多生产40件，结果提前4个月完成，若每月生产数量都相同，求实际上工作了多少个月
6.甲、乙两城之间有公路相通.从甲城到乙城，A车需要12时，B车需15时，若行驶方向不影响速度，A车先从甲城开出3时，B车再从乙城开出，问B车开出后几时两车相遇.
作业的答案或提示
1.设原来混合液体积为y升，把一升水加到原来混合液中，新的混合液体积为(1+y)升，
在(1+y)升中的混合液中含硫酸(1+y)·20%升，再将1升硫酸加入到新的混合液中(把它叫做
第二次新混合液)，则第二次新混合液的体积为(1+1+y)升，第二次新混合液中含硫酸[1+(1+
y)·20%]升，根据题意列出方程为
化简方程 1+1+y 5 2+y=1 3,得y=4，所以原来混合液体积为4升，原来混合液中含硫酸(1+4)×20%=1(升).
因此原来混合液中含硫酸的百分比为=25%. 故选(C).
2.设这两位数的十位数字是x，个位数字是y,则有
4.设平均每年增产的百分率为x,原产量为3000吨，一年后的产量为3000·x+3000=3000(
1+x)(吨).两年后的产量为3000(1+x)·x+3000(1+x)=3000(1+x)2.
列方程 3000(1+x)2=3630.
课堂教学设计说明
1.学生对列方程解应用题感到困难，这是应当引起重视的.为此，在教学过程设计中着
重讲述了写“关系式”及找相等关系列方程.
2.用代数方法列方程解应用题，由于有了x，中间量很容易用含有x的代数式(关系式)来表示，只要抓住等量关系，那么布列方程不过是把日常语言用数学符号表示出来而已.
学生是不是理解了列方程解应用问题的实质，就在于设了x之后能不能用含有x的代数式(关系式)表示题目中涉及的未知量(中间量)，并以“关系式”为基础，根据题目中的相等关系列出方程.对列方程到吃力的同学，大多是对这个道理解不够，虽然会设未知数x，但却不知用出方程.对列方程感到吃力的同学，大多是对这个道理理解不够，虽然会设未知数x，但却不知用x表示题目中涉及的其他未知量；不懂得列方程的实质在于用数学符号表示相等关系.
3.解题过程是解题原理的反映，所以我们应注意列方程解应用题的步骤.所以教学设计中不仅在复习旧知识引入新课时引导学生回忆解应用的步骤，并且在例1、例2的讲解中把这些步骤具体化.还在例1中对同一个问题提出了三个解法.教学设计从三个方面来设立未知数，写关系式及列出三个不同的方程.既加深了学生解应用题步骤的理解，也开拓了解题思路.一元二次方程的根与系数的关系
[内容]
一元二次方程的根与系数的关系
(韦达定理和它的逆定理)
教学目标
(一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根
据：
(二)使学生会运用根与系数关系解题.
教学重点和难点
重点：根与系数关系的推导.
难点：根与系数关系的运用.
教学过程设计
(一)引言
我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数a,b,c决
定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究方
程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系 先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明.
（二）新课
从表格中找出两根之和x1+x2与两根之积x1·x2和a,b,c的关系：
1.先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x1+x2,x1x2的值与一次项系数及常数项的关
系.(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项)
2.再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x1+x2,x1x2的值与系数的关系.(在把方
程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律)
3.猜想ax2+bx+c=0 (a≠0)的x1+x2,x1x2与a,b,c的关系(引导学生化为x2+
后，猜想)为x1+x2=-，x1x2=.
4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明
就可以了.
证明：设ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1,x2,
5.读课文P31第3行第4行的黑体字，要求把这段黑体字(实际上就是定理)读出来，以强化印象.
6.为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程”
.
读课本P31第10至11行的黑体字.
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q.
教师必须要求学生能用语言表达上述定理.
“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”.(
这个定理又叫做韦达定理)
7.再要求读课本P31的倒数第3行到倒第1行(也要求学生用语言表达此定理).
“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理)
例题讲解
例1 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：把方程两边都除以5，化为最简二次方程
例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两根的(1)平方和；(2)倒数和.
分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和
与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把
方程的系数代入，算出结果了.
(2) 1 x1+1 x2=x1+x2 x1x2=(-3 2)÷(-1 2)=3.
例3 求一个一元二次方程，使它的两根分别是
分析：先让学生用语言表达P31倒数第3行～第1行的黑体字；
“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之
积”.
例4 已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数.
分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.
解法1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为8，所以另一个数为8-x.
再根据“两数之积为9”，可列出方程x(8-x)=9.
解法2：设两个数是x,y,可列出方程组这类方程组的解法，我们将在课本P61学到.
解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程.x2-8x+9=0.这就是方法1得到的方程.
(三)课堂练习
1.已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= .
2.已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是( ).
3.已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k= .
答案或提示
(四)小结
1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代
数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.
3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.
(五)作业
1.设方程3x2-5x+q=0的两根为x1和x2，且6x1+x2=0,那么q的值等于( ).
2.若关于x的方程3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为( ).
3.已知关于x的二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q都是奇数，那么它的根( ).
(A) 一定都是奇数 (B)一定都是偶数 (C) 有可能是真分数 (D) 有可能是无理数
4.(1)如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值.
(2)如果是方程x2+4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.
5.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
6.求一个元二次方程，使它的两个根分别为
7.已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数.
作业的答案或提示
.
课堂教学设计说明
1.观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时，先
从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数
不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.
2.教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便
些.教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功
能.韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出些方程的两根之和的值及
两极之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.一元二次方程的解法(配方法)
[内容]
教学目标
(一)使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以转化为适
合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;
(二)在理的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；
(三)在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。
教学重点和难点
重点：掌握用配方法配一元二次方程。
难点：凑配成完全平方的方法与技巧。
教学过程设计
(一)复习
1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的 (注意a≠0)
2.不完全一元二次方程的哪几种形式
(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))
3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。
特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。
例 解方程：(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。
解：方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得 x=3±2。
所以 x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)
4.其实(x-3) 2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)
(x-3) 2=4, ①
x2-6x+9=4, ②
x2-6x+5=0. ③
(二)新课
1.逆向思维
我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。
2.通过观察，发现规律
问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+ )2。 (添一项+1)
即 (x2+2x+1)=(x+1) 2.
练习，填空：
x2+4x+( )=(x+ ) 2; y2+6y+( )=(y+ ) 2.
算理 x2+4x=2x·2?，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3?，所以添3的平方。
总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即.④
(让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次
项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)
项固练习(填空配方)
总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。
问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取 算理是什么
巩固练习(填空配方)
x2-bx+( )=(x- ) 2; x2-(m+n)x+( )=(x- ) 2.
3.用配方法解一元二次方程(先将左边化为(x±) 2形式)
例1 解方程：x2-8x-9=0. (写出完整的板书)
解：移项，得 x2-8x=9,
两边都加一次项系数一半的平方，
x2-8x+42=q+42,
配方，得 (x-4) 2=25,
解这个方程，得 x-4=±5，
移项，得 x=4±5.
即 x1=9,x2=-1. (口头检验，是不是原方程的根)
例2 解方程：x2-8x-8=0.
分析： 像例1那样，把方程左边配方成(x+m) 2形式.
解：原方程移项，像x2-8x=8，方程左边配方添一次项系数一半的平方，方程右边也添一次项系数一半的平方
x2-8x+(x-4) 2=8+(-4) 2,
(x-4) 2=24,
x-4=±2 6，
所以 x1=4+2 6 ,x2=4-2 6.
例3 解方程：x2-8x+18=0.
分析：仿例2的步骤，
移项，得 x2-8x=-18.
方程两边都加(-4) 2,得
x2-8x+(-4) 2=-18+(-4) 2,
(x-4) 2=-2.
因为平方不能是负数，x-4不存在，所以x不存在，即原方程无解.
例4 解方程x2+2mx+2=0，并指出m2取什么值时，这个方程有解.
分析：由例3可见，在方程左边配方后，方程右边式子的值决定了此方程是否有解，当方程右边式子的值是正数或零，此方程有解，当方程右边式子的值是负数，此方程无解.
解：移项，得x2+2mx=-2.
配方，两边加m2,得
x2+2mx+m2=m2-2,
(x+m) 2=m2-2,
当m2-2≥0，即m2≥2时，
所以m2≥2，原方程有解.
例5 解方程：3x2+2x-3=0.
提问：二次项系数不是1，怎么办 算理是什么
(答：根据方程同解变形原理，在方程两边都除以同一个不为零的数，所得方程与原方程同解，原方程两边都除以3)
(三)课堂练习
1.用配方法解方程：x2-4x-3=0.
2.用配方法解法程：2x2+5x-1=0.
提示：
(四)小结
1.填空：x2+px+( )=(x+ ) 2.
2.用语言说出对于x2+px添上什么，才能成为一个完全平方 (添一次项系数p的一半
的平方)
3.用配方法解一元二次方程的步骤是：
(1)化二次项系数为1；
(2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；
(3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(4)变形为(x+m2)n的形式，如果n≥0，得x+m=±,x=-m±.所以x1=-m+,x2=-m-.
(五)作业
2.方程 -25(2x+1)2=(-4)3的解是 .
3. 则x的值是( ).
(A) 8 (B)-2 (C)8或-2 (D)任意实数
4.填空：
5.用配方法解方程：
(1)x2-10x+24=0; (2)x2-8x+15=0; (3)x2+2x-99=0;
(4)y2+5y+2=0; (5)3x2-1=4x; (6)2x2+2x-30=0;
(7)x2+px+q=0 (p2-4q≥0)； (8)-x2+2x+3=0;
(9)ax2+x-2=0 (a＞0)； (10)ax2+abx-2=0 (a＞0).
作业的答案或提示
3.选(C).
课堂教学设计说明
1.从逆向思维启发学生，关键在于把方程左边构造出一个完全平方式.
2.通过练习并结合算理加深学生对“添一次项系数一半的平方”这句话的认识和理解.
3. 配方练习中先集中力量配x2+px型，然后，提出x2-px型，进而提出ax2+bx型，由浅入深.
4.解方程的五个例题是这样安排的：
在配方成(x+m) 2=n后，对n的取值由易到难，例1中，是整数，使学生觉得易学不难例2中，是无理数，上了一个档次，例3中，n＜0，使学生认识到，方程有没有解，决定于它的系数，而不是决定于哪种解法。例4中，引入了地字母系数讨论的思想，例5，引入了把二次项系数化为1的方法和算理.第二单元 可化为一元二次方程
的分式方程和无理方程
一、教 法 建 议
抛砖引玉
本单元向同学们介绍了公式方程与无理方程.对分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）同学已学过，并不陌生.因而，在教学中以其为突破口，自然地过渡到解可化为一元二次方程的分式方程.它的基本思想与可化为一元一次方程的分式方程基本相似，在教学中，紧紧地抓住“把分式方程‘转化’为整式方程”这条主线，研究“转化”的条件.结合具体实例，突出“转化”，突出解可化为一元二次方程的分式方程的步骤与解可化为一元一次方程的分式方程的步骤完全相同.再结合例题，剖析产生增根的原因，使学生深知验根的必要性和重要性及验根的方法.在本单元教学中，通过例2培养学生敏锐的观察力，使他们发现两个分式的分母、分子互相交换位置，可看作互为倒数，自然引到换元法上来，通过换元把此分式方程转化为一元二次方程，简捷，易解，激发他们对换元法的兴趣，抓住这一契机，进一步强调换元法应用的广泛性、重要性.
应用题教学应注意对题目中一些相等关系的分析，使他们在分析问题、解决问题的能力方面在原有基础上再提高一步.
无理方程对学生来说是新内容，在教学中结合实例使学生了解无理方程的概念，掌握其解法——乘方法及换元法.强调解无理议程验根的必要性及其方法步骤.
指点迷津
解可化为一元二次方程的分式方程，重点是抓住把分式方程“转化”为整式方程.因此，要注意“转化”的条件.要引导学生善于观察，捕捉习题的特点来选取转化的方法，通常（如课本P45例1）选取去分母法，也可采取换元法（如果方程的两项成倒数关系，二次项的底数与一次项底数相等，采取换元法为宜）.对于解分式方程最后一道“关”——检验，务必不能漏掉，必须向同学们进一步强调.
列方程解应用题尽管同学们多次接触，与以前学过列方程（整式方程）解应用题几乎完全相同，但找相等关系要比以前学过的复杂一些.只要强化对题目中的一些相等关系的分析，症结也可化解.
引出无理方程的概念后，指出以前学过的整式方程和分式方程统称有理方程，这样对代数方程有一个完整认识，再通过实例强调无理方程必须掌握乘方法及换元法，常规方法是乘方法.至于如何选取换元法，必须善于观察，若发现根号内外对应项系数成比例或两个根号内的两项互为倒数关系等，应果断选取换元法，无理方程的验根这一环也必须扣紧，来不得半点含糊.
二、学 海 导 航
思维基础
1. 方程叫分式方程，解分式方程一般是把方程两边同乘以 或用 法，使原方程转化为 去求解.
2. 方程叫无理方程.解无理方程一般是把方程两边同时 或 法，使原方程转化为 去求解.
3.解分式方程和无理方程的转化过程中，有可能产生 ，因此解这两种方程的最后必须进行 .
4.检验分式方程增根的一般方法是 .
5.检验无理方程增根的一般方法是 .
【学法指要】
例1 解方程：.
【思考】1.解分式方程通常使用哪两种方法？2.本例应用何种方法解之为宜？3.解分式方程应注意什么？4.分母为多项式首先应怎么办？如何去分母呢？
【思路分析】本例是一道分式方程.通常采用去分母法，因此首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例可分解因式为.待分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“”.用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解.在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.最后应检验，至此例可找到本例完整解答.
解：原方程就是
，
方程两边都乘以，约去分母，得
，
整理后，得
.
解这个方程，得
.
检验：，
∴ 均为原方程根.
例2 解方程：
（1）；
（2）.
【思考】1.解分式方程可用换元法，一是二次项与一次项相同，采取同底换元法；二是含未数的二项方程为一常数，呈倒数关系，可采取倒数换元法，你说对吗？2.对本例采取何方法解之？请你探索.
【思路分析】（1）观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑换元法为宜.
解：设.则原方程可化为
，
，
∴ .
当y1=-2时，即；
当y2=-3时，即.
∴ 均为原方程的根.
【思路分析】（2）观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的与互为倒数，根据这个特点，可以用换元法来解.
解：设，那么，于是原方程变形为
，
去分母，得 ，
，
解得 y1=3/8,y2=1.
当 y=3/8时，.
去分母并整理，得
.
解得 .
当y=1时，即.
去分母并整理，得
.
检验：把分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根.
∴原方程根是：.
（2）的又一解法：
设，
于是有
这样根据课本P31“以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0”，可找到思路.进而知以a，b为根的一元二次方程是.
∴ t1=3,t2=8.
即，
亦为.（下同原解法）
由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点（如倒数关系式）考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.
例3 解方程：.
【思考】1.解无理方程通常使用哪些方法？2.本例采用哪种解法好？
【思路分析】 本例是一道无理方程，应首先考虑用乘方法求解，然而，当我们观察原方程可发现，含根号的未知数项均在等号左边，立即采取乘法将会使求解陷入困境，此时把方程左边一项适时移到等号右边，再采取乘方法，将会走出困境，出现新的曙光.这也是解此类无理方程的技巧、方法.由此，采取乘方法本例便可很顺利了.
解：移项得 ，
两边平方，得 ，
整理，得 ，
两边再平方，得 ，
∴ .
∴ .
把x1=2，x2=3分别代入原方程，使得左边=右边，因此，x1=2，x2=3是原方程的根.
∴原方程的根是x1=2,x2=3.
例4 解方程：
（1）；
（2）.
【思考】1.解分式方程可采取换元法吗？如何进行换元？2.这两例各有什么特点？
【思路分析】（1）将（1）方程进行适当变形为
此时例可发现根号内外相同项的对应系数成比例，即3∶1=15∶5=3∶1，抓住这个特征，适时换元，便可打开思路.
解：设，则原方程可变成
3y2+2y-5=0，
(3y+5)(y-1)=0，
∴ .
当,无解；
当.
∴
∴ .
经检验都是原方程的根.
【思路分析】（2）观察方程左边两项，它们互为倒数，捕捉这一信息，便迅速作出换元的决策，思路自然畅通.
解：设.
∴ .
∴ .
余下步骤略.
通过对例3、例4的学习，我们体会到，如何能想到解题思路呢？只有认真审题，敏锐观察，抓住试题的特点，如倒数关系，根号内外对应项系数成比例等，便可立即采取换元法，不然便是乘方法，在初中只向同学们介绍了这两种最基础的方法，二者必居其一，只要按照课本所教的方法去探索，去观察，去分析，老师能想到的思路，同学们也同样想得到！
例5 某校学生甲、乙二人分别从A，B两地同向出发，甲经过B地后再走3小时12分钟在C地追地追上乙，这时二人共走了72千米，而C，A两地的距离等于乙走5小时的路程，求A，B两地的距离.
【思考】1.列方程解应用题通常有哪些步骤？2.对行程问题要抓住哪三者之间的关系？3.列分式方程解应用题还要检验吗？检验后还应注意什么？
【思路分析】要解决行程问题，迅速找到思路，首要条件是把实际问题用线段图清晰表示出来；其次抓住“速度、时间、距离”三者之间关系，列出代数式；再者找相等关系用代数式表示，便可列出方程，大功告成.然后求解，检验，答便接近尾声.抓住“首先、其次、再者”这三部曲，你自然能想到解行程问题思路.如本例.
解：一、画线段图
图代12-2-1
二、根据三者（υ，s，t）关系结合线段图列代数式：
乙从B走到C的距离是：千米，
甲从B走到C的距离亦是：千米，
甲从A走到C的距离是：千米.
乙的速度是：千米/小时.
甲的速度是：千米/小时.
三、找相等关系式，布列方程.
甲从A走到C的时间=乙从B走到C时间.
∴ .
∴ .
∴ ） （负值舍）.
∴ s=8（千米）.
经检验s=8是原方程根，且符合题意.
答：A，B两地距离是8千米.
由上可知，该道应用题十分复杂，尽管千头万绪，但对行程问题只要遵循“三部曲”，你自然能想到怎样解，而且能顺利找到思路.总之，对列方程解应用题要认真分析，采取画线段图、列表等手段辅助分析，列出代数式，最关键的是找准相等关系，一切拦路虎便可降服了.
思维体操
例：甲、乙二人自A，B两村骑自行车同时相向而行，相遇在离A村8公里处，相遇后两人继续按原方向前进，分别到达A和B后又立即返回，在离B村10公里处相遇，求两村间的距离.
【思考】1.行程问题可把总路程看作单位1吗？相同时间呢？2.对行程问题分析可采取列表法、画线段图法等，本例采取哪种方法好呢？
【思路分析】
依题意，画线段图如图代12-2-2，第一次相遇甲行8公里，乙行（s-8）公里；第二
图12-2-2
次相遇，甲共行了（s+10）公里，乙共行了（2s-10）公里.第一次相遇后至第二次相遇甲行了（s-8+10）=(s+2)公里，乙行了（8+s-10）公里.只要抓住“甲行走所用时间=乙行走所用时间”这一相等关系式，问题就能得到解决.
【扩散1】设两村的距离为s公里，甲速度为υ1公里/时，乙速度为υ2公里/时，则有
， ①
. ②
①②得 .
∴ .
∴ .
∵s≠0，∴s=14（公里）.
【扩散2】设法同扩散1，则有
….
【扩散3】设两村间的距离为s公里，第一次相遇时他们行了t小时，则有
.
∴ （s-8）(s+10)=8(2s-10).
∴ s2+2s-80=16s-80.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0， ∴s=14（公里）.
【扩散4】设同扩散3，则有
….
【扩散5】设两村间的距离为s公里，两次相遇共用3t小时，则有
.
∴ 8（2s-10）=(s+10)(s-8).
∴ 16s-80=s2+10s-80.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0, ∴s=14(公里).
【扩散6】设同扩散5,则有
.
【扩散7】设两村间的距离为s公里,第一次相遇后至第二次相遇所行时间为t小时,则有
.
【扩散8】设同扩散7,则有
.
【扩散9】设两村间的距离为s公里,第一次相遇两人行1单位时间,则甲的速度为8公里/1单位时间,乙的速度为(s-8)公里/1单位时间,于是得
.
∴ (s+10)(s-8)=8(2s-10).
∴ s2+2s-80=16s-80.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0,∴s=14(公里).
【扩散10】设同扩散9,则有
.
【扩散11】设两村的距离为s公里,两次相遇共用1单位时间,则有
.
∴ 8(2s-10)=(s+10)(s-8).
∴ 16s-80=s2+2s-80.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0,∴s=14(公里).
【扩散12】设法同扩散11,则有
.
【扩散13】设两村间的距离为s公里,第一次相遇后至第二次相遇共行了1单位时间,则有
.
∴ 8s-16=(s+2)(s-8)=s2-6s-16.
∴ s2-14s=0.
∵s≠0,∴s=14(公里).
【扩散14】设同扩散13,则有
.
.
【扩散15】设两村间的距离为s公里，甲、乙二人两次相遇共走3s公里，又知从出发到第一次相遇，甲、乙二人共走3s公里，其中甲共走8公里，由于速度不变，两次相遇甲共走（8×3）公里，同时又知甲共走（s+10）公里，于是有
（公里）.
根据“解法扩散15”可推广为解两次相遇问题的通法.如将原题中把“8公里”改为“a公里”，“10公里”改为“b公里”，根据“解法扩散15”分析可得下列关系式：
.
应用这一公式，解与例题相同的一类两次相遇问题十分简捷、迅速、易求，试举例.
清晨，甲、乙二人分别从A，B两地同时开始跑步锻炼，甲从A跑到B立刻再返回A，乙从B跑到A再立即返回B，在距离A 600米处第一次相遇，在距离B 400米处两人第二次相遇，假定甲、乙各自速度不变，则A，B两处的距离是 .
【思路分析】这里a=600米，b=400米.
由公式得 （米）.
故A，B两处距离为1 400米.
再举两例，供同学们练习：
1. 甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行，第一次相遇时离B地700米，两
人继续往前走，到达对方出发地立即返回，结果又在距离A地400米处相遇，求A，B两地的距离.（s=1 700米）
2. 甲、乙二人自A，B两地同时相向而行，在距B地5千米处相遇，各自到达对方出发
地立即返回，又在距A地1千米处相遇，求A，B两地的距离.（s=14千米）
“扩散1～15”从不同角度分析问题.“扩散1～2”增设速度，借“桥”过“河”，天
堑变通途.“扩散3～8”增设时间，借梯登楼视野开阔，“扩散9～14”借助单位1，简捷又明快.“扩散15”抓住甲、乙二人速度不变，找出“甲走的总路程=甲走的总路程”这一相等关系，抓住问题质，使这一类问题产生质的变化.
三、智 能 显 示
心中有数
分式方程、无理方程是代数方程的重要组成部分.解方程必然要学会解分式方程、解无理方程.对于解可化为一元二次方程的分式方程一定要驾驭去分母法、换元法.这种方法既基本又实用，也是解开这一类问题的常用方法，只要熟练掌握，遇到类似问题，你一定可想到好的解法，把分式方程转化为整式方程求解.无理方程的解法通常采取乘方法或换元法，根据无理方程的不同特点，灵活选取这两种方法，一定能奏效.
列方程解应用题，重点在分析，如画图、列表等辅助分析，进而再根据分析，找出相等关系，便可有新的突破，找到思路.
总之，对本单元的三大块知识要熟练掌握，它们之间既有区别又有联系，抓住它们的脉搏，才能卓有成效，收到好的学习效果.
动手动脑
1. 解方程：.
2. 解方程：.
创新园地
解关于的方程：，
解之得.
请同学应用此题结论解方程（组）.
1.；
2.；
3.；
4.；
5.；
6.；
7.；
8.；
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
四、同 步 题 库
1、 填空题
1. 在方程中，若设，则原方程化为关于y的方程
是 .
2.当m= 时，关于x的分式方程没有实数解.
3.若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是 .
4.用换元法解方程时，可设 =y,这时原方程变为 .
5.方程的根是 ；的根是 ；的根
是 .
6.无理方程的根为，则a的值为 .
7.若a，b都是正实数，且，则 .
8.若a+b=1，且a∶b=2∶5,则2a-b= .
9.当a= 时，方程无实数根.
10.若，则 .
2、 选择题
11.下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（ ）
A. B.
C. D.
E. F.
12．方程的最简公分母是（ ）
A.24（x+3）(x-3) B.(x+3)(x-3)2
C.24（x+3）(x-3)2 D.12（x+3）(x-3)2
13.观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
14.如果，那么的值是（ ）
A.1 B.-1 C.±1 D.4
15.方程的解是（ ）
A.0 B.2 C.0或2 D.
16.设y=x2+x+1,则方程可变形为（ ）
A.y2-y-2=0 B.y2+y+2=0
C.y2+y-2=0 D.y2-y+2=0
17.若，则a的取值范围是（ ）
A.全体实数 B.a≥0
C.a≥ D.A≤
18.已知，则相等关系成立的式子是（ ）
A. B.
C． D.
19.关于x的方程的根是（ ）
A.x=a B.x=-a
C.x1=a；x2=- D.x1=a；x2=
20.一个数和它的算术平方根的4倍相等，那么这个数是（ ）
A.0 B.16 C.0或16 D.4或16
3、 解下列方程
21.；
22.；
23.；
24.；
25.；
26.；
27.；
28.；
29..
30.关于x的方程，其中p是实数.
（1） 若方程没有实数根，求p的范围.
（2） 若p>0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根.
4、 解答题
31.已知直角三角形两条直角边之差为7，它的周长为30，求各边之长.
32.如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，D是圆上的点，BD交AC于E，已知AB=5，sin
∠CAB=.
图代12-2-3
（1） 设CE=m，DE/BE=k，试用含m的代数式表示k.
（2） 当AD∥OC时，求k的值.
（3） 当BE=6DE时，求DC的长（下列数据供选用：，
结果中保留π）.
33.甲、乙二人分别从A，B两地同时相向而行，相遇时甲比乙多走了6千米，相遇后
他们仍以原速度前进，甲经过小时到达B地，乙经过8小时到达A地，求A，B间的距离.
34.某校学生甲、乙二人分别从A，B两地同时同向行走，甲经过B地后再后3小时12
分钟在C地追上乙，这时二人共走了72公里，而C，A两地的距离等于乙走5小时的路程，求A，B两地的距离.
35.某校初三甲、乙两班同学向水灾地区捐款的总数为3 600元，已知甲班比乙班少5
人，但平均每人比乙班多捐5元，结果两班的捐款数相同，求甲、乙两班平均每人的捐款数.
36.已知一个矩形和一个正方形的面积相等，它们的周长之和为108，且矩形的长比宽
多18，求矩形的长和宽以及正方形的边长.
37.淮河上有A,B两地相距14千米,一只船在两地往返一趟需2小时24分,船在静水中
的速度是12千米/时,问一个漂流物从A地漂到B地需要多少时间
38.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在
慢车前12千米，快车到达乙站时，慢车还差25千米没走完，快车和慢车每小时各走多少千米？若都提高速度50%，快慢车行这段各节省多少时间？
39.一项工程甲队独完成比乙队单独完成少用15天，现甲队先做10天后，再由乙队单
独做15天就完成了这项工作的，求甲、乙两队单独完成这项工程的天数.
参 考 答 案
动脑动手
1. 解法1：由原方程去分母，得
.
展开后，得
.
合并，得
.
∴ .
∴ .
经检验，都是原方程的根.
解法2：将原方程变形，得
.
∴ .
去分母，得
4（x+2）(x-4)(x+3)+(x+5)(x+4)(x+3)
=3(x+5)(x+2)(x+3)+2(x+5)(x+2)(x+4).
展开后，得
.
合并，化简，得
.
解法3：同解法2，原方程化为
.
移项，得 .
两边通分，得 .
∴ .
解之，得.
2. 解：设，
则.
∴
∵ ， ①
∴ .
∴
∴ . ②
①+②，得 ，
即 .
将方程两边平方后，整理，得
.
∴ .
经检验知 均为原方程根.
创新园地
由方程我们可发现方程左右两边结构一致，且··（常
数），只要具有这个条件，我们用观察法，便可利用结论，口算出答案.
1. 由原方程得，
∴.
2. 由原方程，得.
∴.
3.由原方程，得.
∴.
4.由原方程，得.
∴.
5.由原方程，得.
∴.
6.由原方程，得
.
∴.
7.由原方程，得
.
∴.
8.由原方程，得
.
∴.
9. .
∴.
10. .
∴.
11..
∴.
12..
∴（舍）….
13.由原方程组得
.
∴.
14. 由原方程组，得
.
∴
15..
∴ .
同步题库
1、 填空题
1.； 2.4或-6； 3.a≥-2； 4.； 5.0，
0和1，0； 6.； 7.； 8.； 9.-2，1； 10.±2.
2、 选择题
11.A 12.D 13.C 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B 19.D 20.C
3、 解下列方程
21..
解 ，
，
，
.
.
经检验知：x=1是增根，x=-4是原方程的根.
22..
解 ，
，
，
，
.
.
经检验知：x=44是增根，x=4是原方程的根.
23..
解
设 .
2y2-9y+10=0，
（2y-5）(y-2)=0.
y1；y2=2.
把代入中，得
，
，
，
.
.
把代入中，得
经检验知：均为原方程的根.
24..
解:
,
,
.
经检验知:x=-2是增根；x=3是原方程的根.
25..
解： .
设.
把得
代入中，得
经检验知：均为原方程的根.
26..
解 ，
经检验知：x=2是增根；x=1是原方程的根.
27..
解： ，
，
经检验知：x=2是原方程的根.
28..
解：设，则 ，
把代入中，则
把代入中，则
经检验知：均为原方程的根.
29..
解：设，则，
把y=2代入中，得
.
经检验知：x=3是原方程的根.
30..
解：（1）令，
则原方程变为：. ①
∵ ≥0
∴ .
则y1=p，y2=-2-p.
若原方程没有实数根，只要
解这个不等式组，得-2（2）∵p>0，把y1=p代入①得
. ②
而y2=-2-p<0（舍去）.
将②式平方，整理得.
令.
解得 p=1
当时，原方程有两个相等的实数根.
当代入③，得.
∴ .
经检验，当时，是原方程的根.
31.解：设较长的直角边为x，则较短的直角边为x-7，于是有
.
∴ ，
，
，
，
，
.
.
经检验知：均为原方程的根.
但x=55不合题意，舍去.
∴x=12，∴x-7=5.
∴ .
∴直角三角形之边长为5，12，13.
32.解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°
∵
∴ .
在Rt△BCEk ,,
∴ .
∵ BE·DE=AE·CE，DE=k·BE，
∴ k··.
∴ .
（2）∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=Rt∠，即AD⊥BD.
∵AD∥OC，∴OC⊥BD.
∴ ∠CBE=∠ECO.
∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.
∴ ∠OAC=∠EBC.
∴ Rt△BAC∽Rt△EBC.
∴ CE/BC=BC/AC.
∴ .
∴
.
（4） 当时，.
∴ .
∴ .
当m=3时，CE=BC=3.
∴ ∠CBE=45°.
∴CD所对圆心角为90°.
∴ .
当时，tg∠CBE=,
∴ ∠CBE≈8°.
∴CD所对圆心角为16°.
∴ .
33.解：设AB两地之距为s千米.
又解：设相遇时甲走了s千米，乙走了（s-6）千米，则
∴ 3s=4s-24,即s=24.
∴ s+s-6=2s-6=48-6=42（千米）.
34.解：设A，B两地距离为s公里.
35.解：设甲班平均每人捐款x元.
，
解得：（舍去）.
∴乙班平均每人捐款45元.
36.解：设矩形宽x，得
.
解得 x=6.
∴矩形长24，正方形边长为12.
37.解：设水流速度为x千米/时，则漂流物从A至B需小时，依题意：
.
解得；但-2不合题意舍.
由.
∴需7小时.
38.解：设慢车每小时行x千米，则快车每小时行（x+12）千米，得
，
解得：x1=-72（不合题意，舍去）；x2=60.
于是 x+12=72.
∴快、慢车每小时分别行72千米、60千米，提速后，分别节省小时和小时.
39.解:设甲队单独完成需x天,则乙队需(x+15)天,得
.
解得:x1=30；x2=-7.5（舍去）.
由x=30，得x+15=45.
∴甲需30天；乙需45天.
PAGE
1一元二次方程解法的综合运用
[内容]
教学目标
(一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法：
(二)提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想；
(三)培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法.
教学重点的难点
重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法.
难点：选择恰当的解法.要有一定的计算能力和技巧.
教学过程设计
(一)复习
1.一元二次方程的一般形式是什么
2.不完全的一元二次方程有哪几种
3.解一元二次方程有哪四种方法
(二)新课
同一个题目可能会有多种解法，我们应该根据题目的结构选取恰当的解法.在解题过
程中应该根据算理，发挥计算技能，要有毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可能出现
的错误.
例1 解方程：x(x-1)=x(x+1)
分析：(启发学生一起想)先化为一般形式.
解：原方程化为(1-)x2-(1+)x=0,提取公因式x,得x[(1-)x-(1+)]=0,x=0,(1-)x-(1+)=0.
(二次根式运算的结果，应化为最简二次根式)
例2 解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0.
分析：(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式.
观察题目的结构可见，把3x+2换元为t，则原方程就是t的一元二次方程.
解：设3x+2=t,原方程变为t2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t1=3,t2=5.即3x+2=3或3x+2=
5.故x1=1 3,x2=1.
注：本题也可直接写为[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x1=1 3,x2=1.
例3 解方程：144x2=61-208x.
解：原方程化为144x2+208x-61=0,则a=144,b=208,c=-61.b2-4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61.
(此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧.分解因数，提取公因数，化为连乘积)
b2-4ac=(16×13) 2+22×42×9×61=82 (4×169＋9×61)=82×1225=(8×35) 2＞0,原方程有实根.
例4 解方程：2(x+1)2+3(x+1)(x-2)-2(x-2) 2=0.
分析：如果把各项展开，整理为一元二次方程的一般过程太繁.观察题目结构，可换元
. 解：设x+1=m,x-2=n,原方程变形为2m2+3mn-2n2=0,左边因式分解为(2m-n)(m+2n)=0,2
m-n=0或m+2n=0,即2(x+1)-(x-2)=0或(x+1)+2(x-2)=0所以x1=-4 ,x2=1.
另解：也可直接写为
[2(x+1)-(x-2)][(x+1)+2(x-2)]=0,
2x+2-x+2=0或x+1+2x-4=0,
故 x1=-4,x2=1.
例5 解方程：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44.
分析：从例4的解题过程，我们再一次体会到，解方程的基本思想之一是“降次”，例
如把一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程.
本题是一元四次方程，我们试试能不能和因式分解法把方程(注意，必须等号一边为0)
(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0的左边分解因式.
解：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0，[(x+2)(x-4)][(x+3)(x-5)]-44=0,(x2-2x-8)
(x2-2x-15)-44=0,
令y=x2-2x-8,原方程变为y(y-7)-44=0,即y2-7y-44=0,(y-11)(y+4)=0,y-11=0或y+4=0
,即x2-2x-8-11=0或x2-2x-8+4=0.
由x2-2x-19=0，得x1,2=1±2 ；由x2-2x-4=0,得x3,4=1±.
所以 x1=1+2,x2=1-2,x3=1+,x4=1-.
(三)课堂练习
1.解方程：(-x)2-(x-)(-x)=0.
2.解方程：x2+x-1=0.
(1.x1=,x2=. 2.x=
(四)小结
1.换元、降次是解方程的重要思路.
2.计算过程应尽可能简捷、合理，尽可能避免大乘大除.
(五)作业
1.用适当方法解方程：
(1) x2+2=3x; (2) x2=3x+2;
(3) (x-1)(x+2)=70; (4) (3-x) 2=9-x2;
(5) (y+3) 2-2=0; (6) (3x-2)=2(3-x);
(7) x2+(1-3)x+4+=0; (8) 2(x+1)(x+2)=3x(x+2);
(9) (x+7)(x-7)=2x-50; (10) (3x-1)(x+3)=1;
２．解关于x的方程：
作业的答案或提示
当a=b=0时，方程的解不定；
当a≠0时，
当a=0,bc≠0时，x=b+c,当a=b=0或a=c=0时，方程的解不定.
课堂教学设计说明
1.例2，例4，例5都渗透了换元、降次的思想.
2.例3说明了在具体计算时，要合理计算即尽量利用数学公式，性质，使计算简捷.一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课
[内容]
教学目标
(一)提高学生对于根的判别式的运用能力；
(二)提高学生对于根与系数关系的运用能力.
教学重点和难点
重点：会用根的判别式及根与系数关系解题.
难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的
条件.特别是容易忽略隐含条件.
教学设计过程
(一)复习
1.已知一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
(1) 它的根的判别式是什么 用什么记号表示根的判别式 (b2-4ac,用△表示)
(2) 叙述一元二次方程根的判别式的性质.
(一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根.
反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，△＞0，有两个相等的实数根时，△=0；
没有实数根时，△＜0)
2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2= ,x1·x2=
(2)上述性质的逆命题怎样叙述 此逆命题是否成立
3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题)都
知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练.
(二)新课
例1 P为何值是，方程 x2+3x+3+P(x2+x)=0
(1) 有两个相等实根；(2)试作一个一元二次方程，使P的这些值是这个方程的根.
分析：从根的判别式性质，可求出P值，从而写出所求的一元二次方程.但根据方程根
的性质，可使解题过程简单些.
解：欲使方程x2+3x+3+p(x2+x)=0有等根，则方程(1+p)x2+(3+p)x+3=0的根的判别式应
等于零.即△=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得p2-6p-3=0.
由已知P是所求方程的根，因此二次方程x2-6x-3=0就是所求方程.
例2 若α，β是方程x2+x-1=0的两根，
求证：(1)α2=β+2,β2=α+2;
分析：由根与系数关系及方程根的定义，列出有关等式，由此得出(1)的结论.
证明：由α,β是方程x2+x-1=0的两根，得
α2+α-1=0, ①
β2+β-1=0. ②
由根与系数关系，得
α+β=-1, ③
αβ=-1. ④
由③，得 α=-β-1, ⑤
⑤式平方，得 α2=β2+2β+1. ⑥
由⑥α2=β2+β+β+1=β2+β-1+β+2,把②代入，得α2=0+β+2,所以α2=β+2.
由③ β=-α-1, ⑦
⑦式平方，得 β2=α2+2α+1, ⑧
由⑧ β2=α2+α+α+1=α2+α-1+α+2,把①代入，得β2=0+α+2,所以β2=α+2;
例3 m取什么值时，方程.
(1) 有两个实根； (2)有一个根为零； (3)两根异号； (4)有两个正数根.
解：(1)△=(-2m)2-4(2m-1)=4m-8m+4=-4m+4=4(-m+1).
令△≥0,即4(-m+1)≥0，所以m≤1. ①
又由m可知，必须m≥0 ②，把①，②结合在一起，当0≤m≤1时，原方程有两个实根；
注意 此问的解答中，容易忽略条件②.
(2) 由已知，两根之积为零，即2m-1=0,所以m=时，，原方程有一个根为零；
(3) 由已知，两根之积为负值，即2m-1＜0,所以m＜时，原方程两根异号；
(4) 设两根都是正数，应先把已知条件转化为方程或不等式，再计算出m值.由x＞10,
x2＞0，所以x1+x2＞0及x1x2＞0,
即
但是仅凭条件①，②还不足以说明两根都是正数，还必须有条件△≥0,
即 △=4(-m+1)≥0. ③
由①，②，③，得不等式组
答：当＜m≤1时，原方程有两个正数根.
注意：如果忽略了条件③，即答＜m时原方程有两个正数根，这个答案就错了.例如
取m=4，原方程为x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式.△=(-4)2-4×7=-8＜0，即方程x2
-4x+7=0没有实根，也就没有正根了.
(三)课堂练习
α取什么值时，关于x的二次方程x2+2ax+2a2-1=0的两根中至少有一个是正根.
(提示：两根中至少有一个正根，包括三种情况(1)两根都是正数；(2)一个正根，一个负根；(3)一个正根，一个根为零.
由(1)，列出条件组
(四)小结
1.在用根的判别式及根与系数关系解题时，不要忽略隐含条件，像例3第(4)问中的条件
△≥0.
2.在计算时，也不要忽略算式隐含的条件，像例3第(1)中隐含的条件m≥0.
(五)作业
1.求作一个一元二次方程，使其根与已知方程ax2+bx+c=0的根的比为m.
2.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二根之比为2:3,求证：6b2=25ac.
3.已知u=16x2+12x+39,υ=9x2-2x+11,求：对于二次式u+kυ是一个完全平方式的常数k
的值.
4.c为实数，且x2-3x+c=0中有根一相反数是方程x2+3x-c=0的一个根，求方程x2-3x+c=0
的根.
5.k是什么值时，关于x的方程(k2-1)x2-6(xk-1)x+72=0有两个不相等的正整数根.
作业的答案或提示
2.由于原方程两根之比为2：3，所以可设两根为2k，3k，于是
4.设a是x2-3x+c=0的一个根，且是方程x2+3x-c=0的根，则有
③-④得2c=0,所以c=0,代入x2-3x+c=0,得x2-3x=0，解此方程得x1=0,x2=3.
5.因为方程要有两个根，此方程必定是一元二次方程，二次项系数必定不是零即k2-1≠
0得k≠±1 ①,又因为两实根不相等，△＞0.即［-6(3k-1)］2-4×72(k2-1)＞0,得k≠3.②
要使x1,x2都是整数，必须k+1能整除12，且k-1能整除6.
由k+1能整除12，k+1可为1,2,3,4,6,12即k可为0,1,2,3,5,11. ③
由k-1能整除6，k-1可为1,2,3,6即k可为2,3,4,7. ④
由③，④的共同解为k=2,k=3,但由②知k≠3,所以只能取k=2.
答：k=2时，原方程有两个不相等的正整数根.
注意：不要忽略原题中一些关键词所含的条件.
像“两个”，限定了k≠±1，像“不相等”，限定了△＞0，即k≠3，像“正整数”
，限定了k+1可为1,2,3,4,6,12且k-1可为1,2,3,6.
课堂教学设计说明
1.在复习旧知识时，把根的判别式及根与系数关系的原定理与逆定理都提出，并着重提
醒学生记住.
2.例1不仅用到根的判别式性质，还用到方程根的概念.例2不仅用到根与系关系，还用
到了方程根的概念.这两个例题中的“方程的根”这个条件容易被忽略.
3.综合运用根的判别式性质与根与系数关系时，往往容易忽略某些条件.例3就是要说
明这一点，尤其是例3的第(4)问.一元二次方程根的判别式的意义及应用
[内容]
一元二次方程根的判别式的意义及应用
教学目标
(一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；
(二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况.
教学重点和难点
重点：一元二次方程的根的判别式的运用.
难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解.
教学过程设计
(一)复习
1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前
，必须写出哪两步 为什么要先写这两步
例 用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)
2x2+10x-7=0.
解：因为a=2,b=10,c=-7, ①
b2-4ac=102-4×2×(-7)=156＞0, ②
，所以
2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步
答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下，a,b,c的取值，这是
要先写①式的原因；
因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b2-4ac的值，
如果b2-4ac的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写②
式的原因.
(二)新课
1.从上面的解释可见，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数式b2-4ac起着重
要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号?表示，即
?Δ=b2-4ac(注意不是?Δ=
2.教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么
3.把课本P27的黑体字(实际上就是定理)用三个定理来表示(我们通常把记号AB表
示为A是命题的条件，B是命题的结论)于是有：
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ0方程有两个不等实数根.
定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.
定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.
注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是
定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.
定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.
显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理.定理3与定理6，
互逆定理.
定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况.(课本P27的例(1)，(2)，(3)，用这组定理来解)
定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值.(课本P29，习题12.3，B组的1，用这组定理来解)
运用根的判别式解题举例
例1 不解方程，判别下列方程根的情况.
(1) 2x2+3x-4=0; (2) 16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0.
解：(1)因为Δ=32-4×2(-4)=9+32＞0；所以原方程有两个不相等的实数根.
(注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式.②只要知道Δ＞0, Δ=0
, Δ＜0就可以了，所以课本没有算出9+32=41＝
(2) 原方程变形为16y2-24y+9=0,因为Δ=(-24) 2-4×16×9=576-576=0，所以原方程有
两个相等实数根.
(3) 原方程变形为5x2-7x+5=0,因为Δ=(-7) 2-4×5×5=49-100＜0,所以原方程没有实数根.
例2 已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的.
解：因为方程有两个相等实数根，所以Δ=0,即(k-9) 2-8(k2+3k+4)=0,k2-18k+81-8k2-2
4k-32k=0，化简，得k2+6k-7=0,(k+7)(k-7)=0，所以k1=-7,k=1.
当k=-7时，原方程为2x2-16x+32=0,得x1=x2=4;
当k=1时，原方程为2x2-8x+8=0,得x3=x4=2.
(问：本题的算理是什么 答：是定理5)
例3 若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.
分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数.
解：由方程有实根Δ≥0，得[2(a+1)] 2-4×1×(a2+4a-5)≥0,不等式两边同除以正数
4，不等号的方向不变，得a2+2a+1-a2-4a+5≥0,,-2a+6≥0,所以a≤3.
因为a是正整数，所以a=1,2,3.
(注意：本题的算理是根据定理4，5，而不是定理1，2)
(三)课堂练习
1.关于x一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是_______.
2.当1 4a2＜b,关于x的方程x2-ax+b=0的实情况是_______
(答案或提示：1.k＞-1且k≠0; 2.无实数根)
(四)小结
1.根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，
是两个相等实根，还是不相等实根.
2.运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a,b,c
的值.
3.要注意课本P27第8行的“反过来也成立”.在解题时，应明确何时用定理1，2，3，何时，用定理4，5，6.
(五)作业
1.读课文P26～P27.
2.下列方程中，有两个相等实数根的方程是( ).
3.若方程(k2-1)x2-6(3k-1)+72=0有两个不同的正整数根，则整数k的值是( ).
4.若a,b,c互不相等，则方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0( ).
(A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根
(C) 没有实数根 (D) 根的情况不确定
5.不解方程，判别下列方程的根的情况：
6.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0.m取什么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根 (2)方程有两个相等的实数根 (3) 方程没有实数根
7.k取什么值时，方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根 并求出这时方程的根.
8.求证：关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.
作业的答案或提示
2.(B).
3.(C). 因为Δ=36(3k-1) 2-288(k2-1)=36(k-3),当k≠3时，要使.同时为正整数，只有k=2.
4.(C) 因为Δ=4(a+b+c)2-12(a2+b2+c2)=4(-2a2-2b2-2c2+2ab+2ac+2bc)=-2[(a-b) 2+(b
-c) 2+(c-a) 2]＜0.
5.(1) Δ=42-4×2×35＜0,原方以有实数根；
(2) 4m2-4m+1=0, Δ=(-4m) 2-16m2=0,原方程有两个相等的实数根；
(3) 0.4x2-3x-10-=0, Δ=9-4×0.4×(-10)＞0,原方程有两个不相等的实数根；
(4) 4y2-2.4y+0.36=0, Δ=(-2.4) 2-4×4×0.36=0,原方程有两个相等的实数根；
(5) x2-2 x-22=0, Δ=(-2)2-4×(-2)＞0,原方程有两个不相等的实数根；
(6) 5 t2-10t+=0, Δ=100-4×5×=0,原方程有两个相等的实数根；
6.?=(2m+1)2-4(m-2)2=5(4m-3)
(1) 当4m-3＞0,即m＞时，原方程有两个不相等的实数根；
(2) 当m=时，原方程有两个相等的实数根；(3)当m＜时，原方程没有实数根.
7.令Δ=(k+2)2-4×4(k-1)=0,k2-12k+20=0,k1=2,k2=10.
当k=2时，原方程4x2-4x+1=0,x1=x2=;
当k=10时，原方程4x2-12x+9=0,x1=x2=.
8.因为Δ=(2k+1)2-4(k-1)=4k2+4k+1-4k+4=4k2+5＞0,所以原方程有两个不相等的实数根.
课堂教学设计说明
1.为了很自然地引入新课的课题，在本节课开始请学生回忆上节课用求根公式法解一
元二次方程的书写步骤，特别要问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b2-4ac的值
.由此引入b2-4ac的名称的作用.
2.在新课中，提出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的b2-4ac叫做根的判别式后，提醒学生要注意两点：(1)根的判别不是b2-4ac;(2)判别根的什么性质.
3.教学设计中，把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件
与结论分得明确，使学生易于接受及记忆.
4.上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况，
为此教学设计中，安排了例1；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的
值或求字母间的关系式，为些教学设计中，安排了例2，例3.为了强化这两类问题的功能.在
题目安排中，并提问了解题所依据的算理是什么.一元二次方程根与系数关系的综合应用
[内容]
教学目标
(一)使学生更深刻的体会与系数的关系的意义；
(二)培养学生解综合题的分析问题与解决问题的能力.
教学重点和难点
重点：运用根与系数关系解综合题.
难点：分析问题的能力.
教学过程设计
(一)新课
例1 已知方程3x2+5x-7=0,填空并说出理由：
(1) 这个方程有没有实根 _____
(2) 这个方程两根同号还是异号 ____
(3) 这个方程的绝对值较大的根是正的还是负的 ____
答案提示：(1) 因为△＞0，所以有两个不相符的实根；(2) 因为在简化二次方程中，常数项为负值，所以两根异号；(3) 因为两根之和为-,所以负根的绝对值较大.
例2 一元二次方程的两根之和正值且两根之积也是正值，那么这两个根是不是都是正
的
答：这两个根不一定是正的，例如方程x2-x+1=0，两根之和x1+x2=1＞0，两根之积x1x2
=1＞0，但是?=(-1)2-4=-3＜0,原方程没有实数根，而正数、负数都是实数，所以原方程不
可能有正根.
分析：先化为最简二次方程.先由两根之积求出另一个根，再由两根之和
求出k值.
例4 α,β是方程x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列各式的值：
分析：如果一个含有字母α，β的式子，把α处换为β，把β处换为α，其结果与原式
相同，那么这个式子叫做关于α，β两个字母的对称式.式子α+β与αβ是最基本的对称式
，较为复杂的对称式都可转化为用基本对称式来表示的形式.而基本对称式与方程的系数有
关.所以，关于两根的对称式，可以用方程系数代入后、算出.
解：α+β=3,αβ=-5.
例5 已知方程2x2+4x-3=0,不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根是已知方
程两根之和的倒数，另一个根是已知方程两根差的平方.
分析：应先求出已知方程的两根之和的倒数及已知方程两根差的平方，然后再用已知两
根写出方程的方法，写出所求方程.
解：把原方程化为简化二次方程
设x1,x2是此方程的两根，则有.
(二)课堂练习
1.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，一个负根，且正根的绝对值小于负根的绝对值，那么( ).
(A) a,b同号，且a,c同号 (B) a,b同号，且a,c异号
(C) a,b异号，且a,c同号 (D) a,b异号，且a,c异号
2.已知a,b,c,d都不是零，且a,b是方程x2+cx+d=0的解，c,d是方程x2+ax+b=0的解，则a+b+c+d的值为______.
答案或提示：
1.设方程两根为x1,x2.已知x1,x2一正一负，且负根绝对值大，因为x1+x2=- 所以a,b同号.又，即a,c异号，故选(B).
2.由题意
a+b=-c, ①
ab=d, ②
c+d=-a, ③
cd=b. ④
由①得 a+b+c=0. ⑤
①+③得 a+b+c+d=-a-c. ⑥
由⑤代入⑥，左边=0+d,右边=b,所以d=b,代入②得ab=b.又b≠0，所以a=1.把b=d代入④，得c=1.所以a+b+c+d=-a-c=-1-1=-2.
(三)小结
一元二次方程根与系数关系有很广泛的用途.目前，可解决以下几类问题
1.已知二次方程的一个根，可求另一个根.
2.已知两根，可写出这个二次方程.
3.求已知二次方程的根的对称式.
4.与根的判别式结合起来，可不解方程判断两根的性质和正负号.
在运用韦达定理时，应先化为简化二次方程，并牢记两根之和是一次项系数的相反数而
不是一次项系数本身.
(四)作业
1.方程2x2-ax+2b=0中，两根的和为4，两根之积为-3，那么a,b的值是( ).
(A) a=8,b=-6 (B) a=4,b=-3 (C) a=3,b=8 (D) a=8,b=-3
2.设方程2x2+ax+2=0的两根为αβ，且=,则α的值是( ).
3.已知方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两根的平方之和比两根之积大21.求m的值.
4. m为何值时，方程2x2+3x-m=0
(1) 有一个根的零；(2)两个实根互为倒数；(3)有两个负实数根.
作业的答案或提示
课堂教学设计说明
1.在根与系数关系的问题中，常见的错误之一是：两根之和为正数且两根之积为正数时
，这两根必是正数，(缺少了△≥0这一条件)，为此教学设计中编排了例2.
2.在根与系数关系的习题中，求两根的对称式的值的题目占很大比重.为此安排了例4.
特别是指明了根的对称式都可用基本对称式x1+x2与x1x2 来表示，这个结论对解题指出了明晰的思路.