2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.4 中位线 同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，延长CB至点D，使MN=BD，连接DN，若CD=6，则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为AB的中点，连结OE．若AC=12，△OAE的周长为15，则 ABCD的周长为（ ）
A．18 B．27 C．36 D．42
4．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F．若DF=3，则AC的长为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E，F分别是BC、CD的中点，连结AE，EF，AF，则△AEF的周长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D．3cm
6．如图所示，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 、 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1cm2 B．1.5cm2 C． 2cm2 D．3cm2
7．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是
A． B． C． D．
8．如图，在菱形 中， 是 边上的一点， 分别是 的中点，则线段 的长为（ ）
A．8 B． C．4 D．
二、填空题
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，CF＝8cm，则线段DE＝ cm．
10．如图：在 中，AB=6，BC=7，AC=10.点 D、E、F 分别是相应边上的中点，则四边形 DEBF
的周长等于
11．如图，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置， 已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点是M，连结AM，则AM= cm．
12．如图，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 长度的最大值为 ．
13．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为5cm、4cm，点A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，则四边形A1B1C1D1的周长为 cm．
14．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是线段AB上的动点，M、N分别是AD、CD的中点，连接MN，当点D由点A向点B运动的过程中，线段MN所扫过的区域的面积为 ．
15．如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBO的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为 .
16．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 .
三、解答题
17．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段EF与DG之间有什么关系？为什么？
18．在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．求证：DE=HF．
19．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．
求证：
（1）四边形AFDE是平行四边形；
（2） 周长等于AB+AC．
20．（2018·港南模拟）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE=∠ACB，DE交AB于点E；
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BC=5，点D是AC的中点，求DE的长．
21．已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
22．如图， 中， ，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作 交BC的延长线于F；
（1）求证： ；
（2）若 ，求EF的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】 点 、 分别是 、 的中点，
，
， ，
，
.
故答案为： .
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一半可得MN=BC，而MN=BD，CD=CB+BD，所以MN=CD可求解。
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=AC=3，AE平分∠BAC，
∴BE=CE= BC=2，
又∵D是AB中点，
∴BD= AB= ，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AC= ，
∴△BDE的周长为BD+DE+BE= + +2=5，
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得BE=CE=BC，由三角形的中位线定理可得DE=AC，则△BDE的周长=BD+DE+BE可求解。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AE=EB，AO=OC，
∴OE= BC，
∵AE+AO+EO=15，
∴2AE+2AO+2OE=30，
∴AB+AC+BC=30，∵AC=12，
∴AB+BC=18，
∴ ABCD的周长为18×2=36．
故答案为：C
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得OE=BC，则由题意可得△OAE的周长的2倍=AB+AC+BC，因为AC=12，所以可求得AB+BC的值，根据平行四边形的性质可得 ABCD的周长=2（AB+BC）求解。
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，
∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2=∠3．
又∵AF平分∠CAB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴AD=DF=3，∴AC=2AD=6．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边可得DE∥AB，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠DFA=∠FAB=DAF，根据等角对等边可得AD=DF，所以AC=2AD=2DF可求解。
5．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．
连接AC，
∵∠B=∠D=60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
AE= cm，
周长是3 cm，
故答案为：C．
【分析】连接AC，由已知条件用边角边易证△ABE≌△ADF，于是可得AE=AF，∠BAE=∠DAF，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABC与△ACD是等边三角形，有等边三角形的三线合一可得AE⊥BC，AF⊥CD，于是易得△AEF是等边三角形．解直角三角形AFD可求得AF的长，则△AEF的周长可求解。
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接MN，作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，
∴BF＝CF＝ BC＝ ×8＝4，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝3，
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4，
∴NM＝ BC＝DE，
∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，
∴阴影三角形的高是 AF÷2＝1.5÷2＝0.75，
∴S阴影＝4×0.75÷2＝1.5．
故答案为：B．
【分析】要求阴影三角形的面积，由题意只需求得阴影三角形的高即可。连接MN，作AF⊥BC于F．根据等腰三角形的三线合一可得BF=CF=BC，由三角形的中位线定理和题意易得MN=BC=DE，在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长，于是用角角边可证△MNO≌△EDO，则OM=OE，OD=ON，所以可得阴影三角形的高=AF，阴影三角形的面积可求解。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】当 时，四边形EFGH是矩形，
， ， ，
，
即 ，
四边形EFGH是矩形；
故答案为：B
【分析】由三角形的中位线定理易得四边形EFGH是平行四边形，再证其中一个角是直角即可得解，由题意可知，只需四边形ABCD的对角线互相垂直即可。
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=8，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BA=BD=8，
∵PE=ED，PF=FB，
∴EF= BD=4．
故答案为：C
【分析】连接BD．由菱形的性质可得AD=AB，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，所以BD=AB，再根据三角形的中位线定理可得EF=BD可求解。
9．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，
∴AB=2CF，AB=2DE，
∴DE=CF=8（cm）.
故答案为：8
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF=AB，再根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得DE=AB=CF。
10．【答案】13
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点 D、E 分别是相应边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC=3.5cm，DE∥BC，
∵点 D、F 分别是相应边上的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF= AB=3cm，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2(DE+EF)= 2×(3.5+3)=13cm.
故答案为13.
【分析】由三角形中位线定理可得DF=BE=AB，DE=BF=BC，所以可得四边形DEBF的周长=AB+BC。
11．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】作 于 ，因为 为 的中点，故 ，
又因为 ，则 ， ，
又因为 ，所以 ，
.
故答案为：
【分析】作MH⊥AC于H，由三角形中位线定理易得HM=，由旋转的性质可得CA=C，BC=，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的长，则AB'=AC-，所以AH=AB'+，在直角三角形AHM中，用勾股定理即可求得AM的值。
12．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接 ，
∵点 、 分别为 、 中点，
∴ ，
∴ 最大时， 最大，
∵ 与 重合时 最大，
，
∴ 的最大值是
【分析】连接DM，由三角形中位线定理可得EF=DM，要使EF的值最大，只需DM的值最大即可，由题意当点M与点B重合时，DM最大，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，则EF的最大值可求解。
13．【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】因为点A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，所以A1B1=C1D1= BD，A1D1=C1B1= AC，则四边形A1B1C1D1的周长为AC+BD=5+4=9cm，故答案为9
【分析】由题意根据三角形的中位线定理可得==BD，==AC，所以可得四边形A1B1C1D1的周长=AC+BD。
14．【答案】12
【知识点】平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，
根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是 AFGE的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE= AC=3，GC= BC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S四边形AFGE=AE GC=3×4=12，
∴线段MN所扫过区域的面积为12，
故答案为：12
【分析】分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，当点D与点A重合时，MN与AE重合，当点D与点B重合时，MN是三角形ABC的中位线，所以可知线段MN扫过区域的面积就是 AFGE的面积。由题意易得S四边形AFGE=AE GC可求解。
15．【答案】10
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=1：2，∴S△AEF ：S△ABC =1：4，
∵△AEF的面积为5，∴S△ABC =20，
∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD =5，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF =20﹣5﹣5=10，
故答案为：10.
【分析】由三角形的中位线定理可得EF=BC，DE=AC，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积=4△AEF的面积，结合题意可得图中阴影部分的面积=△ABC的面积=2△AEF的面积可求解。
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取CF的中点G，连接BG，如图所示：
∵BC=1，BE=1，
∴点B为EC的中点，
∴BG是△CEF的中位线，
∴BG∥EF，
∴ ，
∴AF= AG，
∴FG=CG=2AF，
∴AC=AF+FG+CG=5AF=3，
∴AF= ；
故答案为：
【分析】取AC中点G，连接BG，则BG为△EFC的中位线，BG平行于EF，易证△ADF相似于△ABG，根据相似三角形对应边成比例，即可得出AF的长度。
17．【答案】解：EF=DG，EF∥DG，
理由如下：连接OA，
∵F、E分别是OB、AB的中点，
∴EF= OA，EF∥OA，
同理，DG= OA，DG∥OA，
∴EF=DG，EF∥DG
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接OA，由三角形的中位线定理可得EF=OA，EF∥OA，DG=OA，DG∥OA，根据平行线的传递性可得EF∥DG，EF=DG。
18．【答案】解：∵D、E分别是BC、CA的中点，∴DE= AB．
又∵点F是AB的中点，AH⊥BC，∴FH= AB，∴DE=HF．
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由三角形的中位线定理可得DE=AF=BF=AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FH=AB，所以可得DE=HF。
19．【答案】（1）证明：∵D、E分别是BC、AC的中点，F为AB的中点， ∴DE=AF，DE∥AF，
∴四边形AFDE是平行四边形
（2）证明：∵点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点，
∴DF=EC，DE=BF， ∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE=AF=BF=AB，DE∥AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFDE是平行四边形；
（2）由三角形的中位线定理可得DF=AE=EC=AC，结合（1）中的平行四边形的性质可得四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC。
20．【答案】（1）解：如图，∠ADE为所作；
（2）解：∵∠ADE=∠ACB，∴DE∥BC，∵点D是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，（2）根据同位角相等，两直线平行得出DE∥BC，根据中位线的判定得出DE为△ABC的中位线，根据中位线定理得出DE的长度。
∴DE= BC=
【知识点】平行线的判定与性质；作图-角；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交CB，CA于以点，再以D点为圆心，刚才的长度为半径画弧，交AD于一点，再量出CB，CA上两弧交点间的距离，以AD上的交点为圆心，以刚才量出的长度为半径，画弧，与前弧相交于一点，过这一点作直线交AB于点E，则∠ADE就是所求的角；
（2）根据同位角相等，两直线平行得出DE∥BC，根据中位线的判定得出DE为△ABC的中位线，根据中位线定理得出DE的长度。
∴DE= BC=
21．【答案】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中 ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
（2）解：∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴EG= CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=10
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠C，再用角边角可证△ABE≌△CDF；
（2）由三角形的中位线定理可得EG=CD，则CD=2EG，由（1）中的全等三角形可得AB=CD=2EG即可求解。
22．【答案】（1）证明： 、E分别是AB、AC的中点 ，又
四边形CDEF为平行四边形
（2）解 ， ，又 为AB中点 ， 在 中， ， ，
四边形CDEF是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE//CF，结合题意用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形CDEF为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可求解；
（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABC是等边三角形，于是BC=AB=AC，根据等边三角形的三线合一可得CD⊥AB，用勾股定理可求得CD的长，由（1）知四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可求解。
1 / 12018-2019学年数学华师大版九年级上册23.4 中位线 同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，延长CB至点D，使MN=BD，连接DN，若CD=6，则MN的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】 点 、 分别是 、 的中点，
，
， ，
，
.
故答案为： .
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一半可得MN=BC，而MN=BD，CD=CB+BD，所以MN=CD可求解。
2．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=AC=3，AE平分∠BAC，
∴BE=CE= BC=2，
又∵D是AB中点，
∴BD= AB= ，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= AC= ，
∴△BDE的周长为BD+DE+BE= + +2=5，
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得BE=CE=BC，由三角形的中位线定理可得DE=AC，则△BDE的周长=BD+DE+BE可求解。
3．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为AB的中点，连结OE．若AC=12，△OAE的周长为15，则 ABCD的周长为（ ）
A．18 B．27 C．36 D．42
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AE=EB，AO=OC，
∴OE= BC，
∵AE+AO+EO=15，
∴2AE+2AO+2OE=30，
∴AB+AC+BC=30，∵AC=12，
∴AB+BC=18，
∴ ABCD的周长为18×2=36．
故答案为：C
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得OE=BC，则由题意可得△OAE的周长的2倍=AB+AC+BC，因为AC=12，所以可求得AB+BC的值，根据平行四边形的性质可得 ABCD的周长=2（AB+BC）求解。
4．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F．若DF=3，则AC的长为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，
∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2=∠3．
又∵AF平分∠CAB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴AD=DF=3，∴AC=2AD=6．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边可得DE∥AB，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠DFA=∠FAB=DAF，根据等角对等边可得AD=DF，所以AC=2AD=2DF可求解。
5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E，F分别是BC、CD的中点，连结AE，EF，AF，则△AEF的周长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D．3cm
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．
连接AC，
∵∠B=∠D=60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
AE= cm，
周长是3 cm，
故答案为：C．
【分析】连接AC，由已知条件用边角边易证△ABE≌△ADF，于是可得AE=AF，∠BAE=∠DAF，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABC与△ACD是等边三角形，有等边三角形的三线合一可得AE⊥BC，AF⊥CD，于是易得△AEF是等边三角形．解直角三角形AFD可求得AF的长，则△AEF的周长可求解。
6．如图所示，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 、 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1cm2 B．1.5cm2 C． 2cm2 D．3cm2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接MN，作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，
∴BF＝CF＝ BC＝ ×8＝4，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝3，
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4，
∴NM＝ BC＝DE，
∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，
∴阴影三角形的高是 AF÷2＝1.5÷2＝0.75，
∴S阴影＝4×0.75÷2＝1.5．
故答案为：B．
【分析】要求阴影三角形的面积，由题意只需求得阴影三角形的高即可。连接MN，作AF⊥BC于F．根据等腰三角形的三线合一可得BF=CF=BC，由三角形的中位线定理和题意易得MN=BC=DE，在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长，于是用角角边可证△MNO≌△EDO，则OM=OE，OD=ON，所以可得阴影三角形的高=AF，阴影三角形的面积可求解。
7．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】当 时，四边形EFGH是矩形，
， ， ，
，
即 ，
四边形EFGH是矩形；
故答案为：B
【分析】由三角形的中位线定理易得四边形EFGH是平行四边形，再证其中一个角是直角即可得解，由题意可知，只需四边形ABCD的对角线互相垂直即可。
8．如图，在菱形 中， 是 边上的一点， 分别是 的中点，则线段 的长为（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=8，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BA=BD=8，
∵PE=ED，PF=FB，
∴EF= BD=4．
故答案为：C
【分析】连接BD．由菱形的性质可得AD=AB，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，所以BD=AB，再根据三角形的中位线定理可得EF=BD可求解。
二、填空题
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，CF＝8cm，则线段DE＝ cm．
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是三边的中点，
∴AB=2CF，AB=2DE，
∴DE=CF=8（cm）.
故答案为：8
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF=AB，再根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半可得DE=AB=CF。
10．如图：在 中，AB=6，BC=7，AC=10.点 D、E、F 分别是相应边上的中点，则四边形 DEBF
的周长等于
【答案】13
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点 D、E 分别是相应边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC=3.5cm，DE∥BC，
∵点 D、F 分别是相应边上的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF= AB=3cm，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2(DE+EF)= 2×(3.5+3)=13cm.
故答案为13.
【分析】由三角形中位线定理可得DF=BE=AB，DE=BF=BC，所以可得四边形DEBF的周长=AB+BC。
11．如图，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置， 已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点是M，连结AM，则AM= cm．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】作 于 ，因为 为 的中点，故 ，
又因为 ，则 ， ，
又因为 ，所以 ，
.
故答案为：
【分析】作MH⊥AC于H，由三角形中位线定理易得HM=，由旋转的性质可得CA=C，BC=，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的长，则AB'=AC-，所以AH=AB'+，在直角三角形AHM中，用勾股定理即可求得AM的值。
12．如图，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 长度的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接 ，
∵点 、 分别为 、 中点，
∴ ，
∴ 最大时， 最大，
∵ 与 重合时 最大，
，
∴ 的最大值是
【分析】连接DM，由三角形中位线定理可得EF=DM，要使EF的值最大，只需DM的值最大即可，由题意当点M与点B重合时，DM最大，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，则EF的最大值可求解。
13．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为5cm、4cm，点A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，则四边形A1B1C1D1的周长为 cm．
【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】因为点A1，B1，C1，D1是四边形ABCD各边上的中点，所以A1B1=C1D1= BD，A1D1=C1B1= AC，则四边形A1B1C1D1的周长为AC+BD=5+4=9cm，故答案为9
【分析】由题意根据三角形的中位线定理可得==BD，==AC，所以可得四边形A1B1C1D1的周长=AC+BD。
14．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是线段AB上的动点，M、N分别是AD、CD的中点，连接MN，当点D由点A向点B运动的过程中，线段MN所扫过的区域的面积为 ．
【答案】12
【知识点】平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，
根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是 AFGE的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE= AC=3，GC= BC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S四边形AFGE=AE GC=3×4=12，
∴线段MN所扫过区域的面积为12，
故答案为：12
【分析】分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，当点D与点A重合时，MN与AE重合，当点D与点B重合时，MN是三角形ABC的中位线，所以可知线段MN扫过区域的面积就是 AFGE的面积。由题意易得S四边形AFGE=AE GC可求解。
15．如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBO的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】10
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=1：2，∴S△AEF ：S△ABC =1：4，
∵△AEF的面积为5，∴S△ABC =20，
∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD =5，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF =20﹣5﹣5=10，
故答案为：10.
【分析】由三角形的中位线定理可得EF=BC，DE=AC，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积=4△AEF的面积，结合题意可得图中阴影部分的面积=△ABC的面积=2△AEF的面积可求解。
16．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：取CF的中点G，连接BG，如图所示：
∵BC=1，BE=1，
∴点B为EC的中点，
∴BG是△CEF的中位线，
∴BG∥EF，
∴ ，
∴AF= AG，
∴FG=CG=2AF，
∴AC=AF+FG+CG=5AF=3，
∴AF= ；
故答案为：
【分析】取AC中点G，连接BG，则BG为△EFC的中位线，BG平行于EF，易证△ADF相似于△ABG，根据相似三角形对应边成比例，即可得出AF的长度。
三、解答题
17．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段EF与DG之间有什么关系？为什么？
【答案】解：EF=DG，EF∥DG，
理由如下：连接OA，
∵F、E分别是OB、AB的中点，
∴EF= OA，EF∥OA，
同理，DG= OA，DG∥OA，
∴EF=DG，EF∥DG
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接OA，由三角形的中位线定理可得EF=OA，EF∥OA，DG=OA，DG∥OA，根据平行线的传递性可得EF∥DG，EF=DG。
18．在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点．求证：DE=HF．
【答案】解：∵D、E分别是BC、CA的中点，∴DE= AB．
又∵点F是AB的中点，AH⊥BC，∴FH= AB，∴DE=HF．
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由三角形的中位线定理可得DE=AF=BF=AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FH=AB，所以可得DE=HF。
19．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点．
求证：
（1）四边形AFDE是平行四边形；
（2） 周长等于AB+AC．
【答案】（1）证明：∵D、E分别是BC、AC的中点，F为AB的中点， ∴DE=AF，DE∥AF，
∴四边形AFDE是平行四边形
（2）证明：∵点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点，
∴DF=EC，DE=BF， ∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE=AF=BF=AB，DE∥AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFDE是平行四边形；
（2）由三角形的中位线定理可得DF=AE=EC=AC，结合（1）中的平行四边形的性质可得四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC。
20．（2018·港南模拟）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．
（1）作∠ADE，使∠ADE=∠ACB，DE交AB于点E；
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BC=5，点D是AC的中点，求DE的长．
【答案】（1）解：如图，∠ADE为所作；
（2）解：∵∠ADE=∠ACB，∴DE∥BC，∵点D是AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，（2）根据同位角相等，两直线平行得出DE∥BC，根据中位线的判定得出DE为△ABC的中位线，根据中位线定理得出DE的长度。
∴DE= BC=
【知识点】平行线的判定与性质；作图-角；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交CB，CA于以点，再以D点为圆心，刚才的长度为半径画弧，交AD于一点，再量出CB，CA上两弧交点间的距离，以AD上的交点为圆心，以刚才量出的长度为半径，画弧，与前弧相交于一点，过这一点作直线交AB于点E，则∠ADE就是所求的角；
（2）根据同位角相等，两直线平行得出DE∥BC，根据中位线的判定得出DE为△ABC的中位线，根据中位线定理得出DE的长度。
∴DE= BC=
21．已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中 ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
（2）解：∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴EG= CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=10
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠C，再用角边角可证△ABE≌△CDF；
（2）由三角形的中位线定理可得EG=CD，则CD=2EG，由（1）中的全等三角形可得AB=CD=2EG即可求解。
22．如图， 中， ，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作 交BC的延长线于F；
（1）求证： ；
（2）若 ，求EF的长．
【答案】（1）证明： 、E分别是AB、AC的中点 ，又
四边形CDEF为平行四边形
（2）解 ， ，又 为AB中点 ， 在 中， ， ，
四边形CDEF是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得DE//CF，结合题意用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形CDEF为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可求解；
（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得三角形ABC是等边三角形，于是BC=AB=AC，根据等边三角形的三线合一可得CD⊥AB，用勾股定理可求得CD的长，由（1）知四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可求解。
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