2018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3相似三角形（2） 同步练习
一、选择题
1．如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是（ ）
A．BD= AD B．BC2=AB CD C．AD2=BD AB D．CD2=AD BD
4．（2017九上·宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
5．如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，NM=AN， ， ；若NF=2，则ME=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 中，AB=AC=8，∠A＝36°，BD平分 交AC于点D，则 AD=（ ）
A．4 B．4 -4
C．-4 +4 D．4 -4或-4 +4
二、填空题
9．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 的长为 ．
10．如图， 中， ， ，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为 ．
11．如图，∠BAC＝80°，∠B＝40°，∠E=60°，若将图中的△ADE旋转(平移)，则所得到的新三角形与△ABC ，与△ADE
12．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为
13．如图，在△ABC中，AB＝3， AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C使CB1∥AD，分别延长AB，CA1相交于点D，则线段BD的长为 ．
14．如图，△ABC中，∠AED=∠B，AD=2，DB=4，AE=3，则EC= ．
15．（2018·十堰）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为 ．
三、解答题
16．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F． 求证：△ACD∽△BFD．
18．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
19．如图，在等腰三角形ABC中，点E、F、O分别是腰AB、AC及底BC边上任意一点，且∠EOF=∠B=∠C．求证：OE FC=FO OB．
20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，且对角线BD⊥DC，试问：
（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由．
（2）若AD＝2，BC＝8，请求出BD的长．
21．如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵DE⊥BC，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠EDC=∠BCD
∴△CAD∽△DCE∽△BDE∽△BCD∽△ABC
∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．
有四个，分别是△DBE，△ACD，△CDE，△CBD，可以运用相似三角形的判定进行验证．
故选D．
【分析】根据相似三角形的判定定理，利用已知条件判定相似的三角形．
2．【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即 ，故答案为：D．
【分析】由面积法可得，即AC·BC=AB·CD，将乘积式化为比例式即可求解。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ACB∽△ADC．
同理：△ACB∽△CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴ = ，
∴CD2=AD BD．
故答案为：D．
【分析】得出两对三角形为相似三角形，通过对应边各成比例，求出最终结论。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC=∠BAC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴ ，
∵AB=2，BC=4，
∴AC=2 ，
∴ ，
∴DC=3．
故答案为：C
【分析】由已知可证得△ABC∽△DAC，利用相似三角形的性质可求得.∴DC=3．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴ ．故答案为：C
【分析】由题意可得∠A是公共角，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACB，于是可得比例式求解。
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 四边形ABCD是菱形，
，
，
E∽ ，
，
，
故答案为：C．
【分析】由菱形的性质可得∠MAE=∠NAF，结合题意根据根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△MAE∽△NAF，从而可得比例式求解。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴ ，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴PC=2，
∴ ，
∴CD= ，
故答案为：C．
【分析】由题意可得∠DPC+∠APB=，∠APB+∠BAP=，所以可得∠DPC=∠BAP，∠C=∠B，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABP∽△PCD，于是可得比例式，结合已知条件可求得CD的值。
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC＝8，
∴∠ABC＝∠C＝ （180° ∠A）＝ （180° 36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC＝BC：CD，
∴AC：AD＝AD：CD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD＝ AC＝ ×8＝4（ 1）＝4 4．
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可证得∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△BCD，于是可得比例式AC：BC＝BC：CD，即AC：AD＝AD：CD，将已知的线段代入比例式即可求解。
9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD是中线，BC=8，
∴CD=4，
∵∠B=∠DAC，∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，
即 ，
∴AC= ．
故答案为： ．
【分析】利用有两个角对应相等的三角形相似得出△ACD∽△BCA，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
10．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 中， ， ，
，
又 ，
，
，即 .
故答案为：
【分析】由题意用同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根据直角都相等可得∠ACD=∠CDB，由相似三角形的判定可得△ACD △CBD，可得比例式，结合已知条件可求得CD的长。
11．【答案】相似；全等
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】∵∠BAC＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE， ∠C＝∠E＝60°，
∴△ADE∽△ABC，
∵将图中的△ADE旋转(平移)，
∴得到的新三角形与△ADE全等，与△ABC相似.
故答案为：相似；全等
【分析】由对顶角相等可得∠BAC=∠DAE，由三角形内角和定理可得∠C=60°，所以可得∠C＝∠E，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；根据平移的性质可得所得到的新三角形与△ADE全等；于是所得到的新三角形与△ABC相似。
12．【答案】10
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】在△ABC和△AED中，
∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，
∴△AED∽△ABC，
又∵DE=4，AE=5，BC=8，
∴AB=10.
故答案为：10.
【分析】由题意可知∠A是公共角，所以根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AED∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式，从而求得AB的长。
13．【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴AC=CA′=6，AB=B′A′=3，∠A=∠CA′B′，∵CB′∥AB，∴∠B′CA′=∠D，∴△CAD∽△B′A′C，∴ ，∴ ，解得AD=12，∴BD=AD﹣AB=12﹣3=9．故答案为：9
【分析】由旋转的性质可得AC=CA′，AB=B′A′，∠A=∠CA′B′，根据有两组边对应成比例、其夹角相等的两个三角形相似可得△CAD∽△B′A′C，由相似三角形的性质可得比例式；，可求得AD的长，则BD=AD﹣AB可求解。
14．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AD=2，DB=4，
∴AB=6，
∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ = ，
即 = ，AC=4，
∴EC=4－3=1.
故答案为1.
【分析】由题意根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACB，于是可得比例式，将已知线段代入计算即可求解。
15．【答案】
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，
∴BC= =9，
S△ABC= AB AC= BC AF，
∴3× =9AF，
AF=2 ，
∴AA'=2AF=4 ，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴A'E= ，
即AD+DE的最小值是 ；
故答案为： ．
【分析】作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中根据勾股定理首先算出BC的长，利用三角形的面积法算出AF的长，进而得出 AA'的长，然后判断出△AEA'∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可求出A'E的长，即AD+DE的最小值。
16．【答案】证明：∵∠B=90°， ∴∠A+∠ACB=90°，∵C为线段BD上一点，且AC⊥CE，∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，∵∠B=∠D=90°，∴△ABC∽△CDE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由同角的余角相等可得∠A=∠ECD，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△CDE。
17．【答案】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由直角都相等可得∠BDF=∠ADC=∠BEC，由同角的余角相等可得∠DBF=∠DAC，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ACD∽△BFD。
18．【答案】解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD又∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC∴∠DAC=∠EAB∴△ABE∽△ACD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形的内角和，由∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，得出∠ABE=∠ACD，根据等式的性质由∠BAC=∠DAE得出∠DAC=∠EAB，根据两组角对应相等的两个三角形相似得出结论：△ABE∽△ACD．
19．【答案】证明：∵∠EOC=∠EOF+∠FOC，∠EOC=∠B+∠BOE，∠EOF=∠B，∴∠FOC=∠OEB，又∠B=∠C，∴△BOE∽△CFO， ，∴OE FC=FO OB
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】要证乘积式，只需证这四条线的所在的两个三角形相似即可。由角的构成可得∠EOC=∠EOF+∠FOC，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠EOC=∠B+∠BOE，结合已知的相等的角可得∠FOC=∠OEB，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△BOE∽△CFO，由相似三角形的性质即可求解。
20．【答案】（1）解：相似．理由：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，而∠BAD＝90°，
∴∠BDC＝∠BAD.又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴△ABD∽△DCB.
（2）解：∵△ABD∽△DCB，∴ ＝ ，而AD＝2，BC＝8，∴ ＝ ，
∴DB2＝16，∴BD＝4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，再根据直角都相等可得∠BDC＝∠BAD，用有两个角相等的两个三角形相似可得△ABD∽△DCB；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式，将已知线段代入计算即可求解。
21．【答案】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE．∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴CE=2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得出∠CDE=∠CBE，故∠ABE=∠CDE，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出CE∶AE=CD∶AB，根据比例式列出方程，求解即可得出答案。
1 / 12018-2019学年数学华师大版九年级上册23.3相似三角形（2） 同步练习
一、选择题
1．如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵DE⊥BC，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠EDC=∠BCD
∴△CAD∽△DCE∽△BDE∽△BCD∽△ABC
∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．
有四个，分别是△DBE，△ACD，△CDE，△CBD，可以运用相似三角形的判定进行验证．
故选D．
【分析】根据相似三角形的判定定理，利用已知条件判定相似的三角形．
2．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即 ，故答案为：D．
【分析】由面积法可得，即AC·BC=AB·CD，将乘积式化为比例式即可求解。
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是（ ）
A．BD= AD B．BC2=AB CD C．AD2=BD AB D．CD2=AD BD
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ACB∽△ADC．
同理：△ACB∽△CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴ = ，
∴CD2=AD BD．
故答案为：D．
【分析】得出两对三角形为相似三角形，通过对应边各成比例，求出最终结论。
4．（2017九上·宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC=∠BAC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴ ，
∵AB=2，BC=4，
∴AC=2 ，
∴ ，
∴DC=3．
故答案为：C
【分析】由已知可证得△ABC∽△DAC，利用相似三角形的性质可求得.∴DC=3．
5．如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴ ．故答案为：C
【分析】由题意可得∠A是公共角，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACB，于是可得比例式求解。
6．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，NM=AN， ， ；若NF=2，则ME=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 四边形ABCD是菱形，
，
，
E∽ ，
，
，
故答案为：C．
【分析】由菱形的性质可得∠MAE=∠NAF，结合题意根据根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△MAE∽△NAF，从而可得比例式求解。
7．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴ ，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴PC=2，
∴ ，
∴CD= ，
故答案为：C．
【分析】由题意可得∠DPC+∠APB=，∠APB+∠BAP=，所以可得∠DPC=∠BAP，∠C=∠B，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABP∽△PCD，于是可得比例式，结合已知条件可求得CD的值。
8．如图，在 中，AB=AC=8，∠A＝36°，BD平分 交AC于点D，则 AD=（ ）
A．4 B．4 -4
C．-4 +4 D．4 -4或-4 +4
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC＝8，
∴∠ABC＝∠C＝ （180° ∠A）＝ （180° 36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC＝BC：CD，
∴AC：AD＝AD：CD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD＝ AC＝ ×8＝4（ 1）＝4 4．
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可证得∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△BCD，于是可得比例式AC：BC＝BC：CD，即AC：AD＝AD：CD，将已知的线段代入比例式即可求解。
二、填空题
9．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD是中线，BC=8，
∴CD=4，
∵∠B=∠DAC，∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ，
即 ，
∴AC= ．
故答案为： ．
【分析】利用有两个角对应相等的三角形相似得出△ACD∽△BCA，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
10．如图， 中， ， ，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 中， ， ，
，
又 ，
，
，即 .
故答案为：
【分析】由题意用同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根据直角都相等可得∠ACD=∠CDB，由相似三角形的判定可得△ACD △CBD，可得比例式，结合已知条件可求得CD的长。
11．如图，∠BAC＝80°，∠B＝40°，∠E=60°，若将图中的△ADE旋转(平移)，则所得到的新三角形与△ABC ，与△ADE
【答案】相似；全等
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】∵∠BAC＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE， ∠C＝∠E＝60°，
∴△ADE∽△ABC，
∵将图中的△ADE旋转(平移)，
∴得到的新三角形与△ADE全等，与△ABC相似.
故答案为：相似；全等
【分析】由对顶角相等可得∠BAC=∠DAE，由三角形内角和定理可得∠C=60°，所以可得∠C＝∠E，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；根据平移的性质可得所得到的新三角形与△ADE全等；于是所得到的新三角形与△ABC相似。
12．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为
【答案】10
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】在△ABC和△AED中，
∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，
∴△AED∽△ABC，
又∵DE=4，AE=5，BC=8，
∴AB=10.
故答案为：10.
【分析】由题意可知∠A是公共角，所以根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AED∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式，从而求得AB的长。
13．如图，在△ABC中，AB＝3， AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C使CB1∥AD，分别延长AB，CA1相交于点D，则线段BD的长为 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴AC=CA′=6，AB=B′A′=3，∠A=∠CA′B′，∵CB′∥AB，∴∠B′CA′=∠D，∴△CAD∽△B′A′C，∴ ，∴ ，解得AD=12，∴BD=AD﹣AB=12﹣3=9．故答案为：9
【分析】由旋转的性质可得AC=CA′，AB=B′A′，∠A=∠CA′B′，根据有两组边对应成比例、其夹角相等的两个三角形相似可得△CAD∽△B′A′C，由相似三角形的性质可得比例式；，可求得AD的长，则BD=AD﹣AB可求解。
14．如图，△ABC中，∠AED=∠B，AD=2，DB=4，AE=3，则EC= ．
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AD=2，DB=4，
∴AB=6，
∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ = ，
即 = ，AC=4，
∴EC=4－3=1.
故答案为1.
【分析】由题意根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ACB，于是可得比例式，将已知线段代入计算即可求解。
15．（2018·十堰）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，
∴BC= =9，
S△ABC= AB AC= BC AF，
∴3× =9AF，
AF=2 ，
∴AA'=2AF=4 ，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴A'E= ，
即AD+DE的最小值是 ；
故答案为： ．
【分析】作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；Rt△ABC中根据勾股定理首先算出BC的长，利用三角形的面积法算出AF的长，进而得出 AA'的长，然后判断出△AEA'∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可求出A'E的长，即AD+DE的最小值。
三、解答题
16．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．
【答案】证明：∵∠B=90°， ∴∠A+∠ACB=90°，∵C为线段BD上一点，且AC⊥CE，∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，∵∠B=∠D=90°，∴△ABC∽△CDE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由同角的余角相等可得∠A=∠ECD，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ABC∽△CDE。
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F． 求证：△ACD∽△BFD．
【答案】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由直角都相等可得∠BDF=∠ADC=∠BEC，由同角的余角相等可得∠DBF=∠DAC，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ACD∽△BFD。
18．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
【答案】解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD又∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC∴∠DAC=∠EAB∴△ABE∽△ACD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据三角形的内角和，由∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，得出∠ABE=∠ACD，根据等式的性质由∠BAC=∠DAE得出∠DAC=∠EAB，根据两组角对应相等的两个三角形相似得出结论：△ABE∽△ACD．
19．如图，在等腰三角形ABC中，点E、F、O分别是腰AB、AC及底BC边上任意一点，且∠EOF=∠B=∠C．求证：OE FC=FO OB．
【答案】证明：∵∠EOC=∠EOF+∠FOC，∠EOC=∠B+∠BOE，∠EOF=∠B，∴∠FOC=∠OEB，又∠B=∠C，∴△BOE∽△CFO， ，∴OE FC=FO OB
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】要证乘积式，只需证这四条线的所在的两个三角形相似即可。由角的构成可得∠EOC=∠EOF+∠FOC，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠EOC=∠B+∠BOE，结合已知的相等的角可得∠FOC=∠OEB，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△BOE∽△CFO，由相似三角形的性质即可求解。
20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，且对角线BD⊥DC，试问：
（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由．
（2）若AD＝2，BC＝8，请求出BD的长．
【答案】（1）解：相似．理由：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，而∠BAD＝90°，
∴∠BDC＝∠BAD.又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴△ABD∽△DCB.
（2）解：∵△ABD∽△DCB，∴ ＝ ，而AD＝2，BC＝8，∴ ＝ ，
∴DB2＝16，∴BD＝4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，再根据直角都相等可得∠BDC＝∠BAD，用有两个角相等的两个三角形相似可得△ABD∽△DCB；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式，将已知线段代入计算即可求解。
21．如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．
【答案】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE．∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，∴△AEB∽△CED
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴CE=2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得出∠CDE=∠CBE，故∠ABE=∠CDE，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出CE∶AE=CD∶AB，根据比例式列出方程，求解即可得出答案。
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