【中学教材全解】2013-2014学年（北师版选修2-1）模块检测（含答案解析）

选修2-1模块检测（北京师大版）
建议用时 实际用时 满分 实际得分
120分钟 150分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆　　　　　 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
2.已知p:|x+1|≤4;q:＜5x－6,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3. 设 ,若是的必要不充分条件，则实数的
取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是(　　)
A．2x＋y＋1＝0
B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0
D．2x－y＋5＝0
5. 若AB是过椭圆 (a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM kBM=（　　）
A． B.
C． D．
6. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（　　）
A．和AC，MN都垂直
B．垂直于AC，但不垂直于MN
C．垂直于MN，但不垂直于AC
D．与AC，MN都不垂直
7. 如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点
F（0，y，z）满足方程（　　）
A．y-z=0
B．2y-z-1=0
C．2y-z-2=0
D．z-1=0
8. 圆心在抛物线（）上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 给出下列命题：
①若“”是假命题，则是真 命题；
②；
③若关于的实系数一元二次不等式的解集为，则必有且；
④
其中真命题的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
10. 设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
11. 已知△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A. B.
C.(x>3) D. (x>4)
12. 已知抛物线上一点0到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是________．
14. 下列四个结论中，正确的有 (填序号).
①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；
②“是“一元二次不等式a＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；
③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；
④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.
15. 在三棱锥PABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值是 .
16. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为
三、解答题（共70分）
17. （12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，点是的中点.
（1）证明：平面平面；
求与所成角的余弦值
（3）求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.
18.（12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围
19.（14分）已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点，若直线 与椭圆交于两点．问：是否存在，使以为直径的圆过 请说明理由．
20. （16分）如图，在长方体中，，点在棱上移动.
（1）求证：；
（2）当为的中点时，求点到平面的距离
（3）当为何值时，二面角 的大小为？
21. （16分）设分别为椭圆： 的左、右两个焦点.
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标.
（2）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点位置无关的定值.试对双曲线写出类似的性质，并加以证明
一、选择题
1. D 解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与点P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，故选D.
2. B 解析：由|x+1|≤4－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由＜5x－6－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.
3. A 解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以所以.
4. D 解析：设点Q(x，y)，则点P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
5. B 解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则kAM kBM=.
∵ A，M在椭圆上，∴ ，两式相减，可得kAM kBM= ，故选B．
6. A 解析：以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0），D1（0，0，2a），M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a），
∴ =（-a，-a，a）， =（0，a，a），=（-2a，2a，0）．
∴ =0， =0，
∴ OM⊥AC，OM⊥MN．故选A．
7. D 解析：如题图所示，由已知可得E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），
所以 =(-1，0，-2)，=(-2，y-2，z).
因为CF⊥B1E，所以 =0.
即2-2z=0，即z=1.故选D．
8. D 解析：抛物线的焦点坐标为，由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标，即圆心是，半径长是1，故所求圆的方程为．
9. B 解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若，若,则，所以②是真命题；若一元二次不等式的解集是，则必有且，所以③是假命题；当时，必有但当y=5时，满足但，所以④是假命题.共有2个真命题.
10. A 解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为，则有.
又，所以，两边平方，得.两边同除以，并整理，得 ，所以或.而，得＞2，所以.故（负
值舍去）．
11. C 解析:如图,|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除与轴的交点外），
所以顶点C的轨迹方程为(x＞3)．
12. B 解析：依题意知，所以，所以，所以，点的坐标为.
又，所以直线的斜率为.由题意得，解得.
二、填空题
13. 解析：已知命题是假命题，则原命题的否定“对任意，使”是真命题，所以，解得.
14. ①②④ 解析：∵ 原命题与其逆否命题等价，∴ 若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.
x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，
∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.
x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.
但x＋|x|＞0x＞0x≠0，
∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.
15. D 解析：
EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT
16. 6 解析：由题意，得F(-1，0)，
设点，，则有 =1，解得=.
因为＝，，=，，
所以
此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线=-2，
因为-2≤≤2，所以当=2时，取得最大值6.
三、解答题
17. （1）证明：如图，以为坐标原点，长为单位长度，建立
空间直角坐标系，则各点坐标为
.
因为
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，
由此得平面.
又在平面内，故平面⊥平面.
（2）解：因为
故AC与PB所成角的余弦值为.
（3）解：在上取一点，则存在使
要使
为所求二面角的平面角.
18. 解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.
又a＞0，所以a＜x＜3a.
（1）当a=1时，1＜x＜3，
即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.
由
得2＜x≤3，
即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.
若p∧q为真，则p真q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3.
（2）若p是q的充分不必要条件，
即q，且p.
设A={x|p},B={x|q},则AB.
又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，
B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，
则有0＜a≤2且3a＞3，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2.
19. 解：（1）因为直线的方程为，　　
依题意得解得所以椭圆方程为．
（2）假设存在这样的值，由得,
　 所以.①
　 设、，则②
　 而．
当且仅当时，以为直径的圆过点，则，
即，
所以．　　　　　　　　　　　　　　　③
　 将②式代入③式整理解得．经验证，使①式成立．
综上可知，存在，使得以为直径的圆过点．
20. （1）证明：如图，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
（2）解：因为为的中点，则，
从而，.
设平面的法向量为，
则
即得
令b=1,从而，
所以点到平面的距离为
（3）解：设，平面的法向量，
所以
由
令，
所以
依题意
所以（不合题意，舍去），.
所以当时，二面角的大小为.
21. 解：（1）由题意知，椭圆的焦点在轴上.
由椭圆上的点到两点的距离之和是4，得，即.
又点在椭圆上，
因此，得，于是.
所以椭圆的方程为，焦点，.
（2）设椭圆上的动点，线段的中点满足，
即，.
因此，即为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若是双曲线上关于原点对称的两个点，点是双曲线上任意一点，
当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.
证明如下：设点的坐标为，则点的坐标为，其中.
又设点的坐标为，由，
得.
将代入得