【中学教材全解】2013-2014学年（苏教版选修1-1）模块检测（含答案解析）

选修1-1 模块检测（苏教版选修1-1）
建议用时 实际用时 满分 实际得分
120分钟 160分
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共
70分）
1．下列命题：①；②；③；④，其中假命题的序号是 ．
2.曲线在处的切线斜率是 ．
3.抛物线的准线方程是 ．
4.函数的单调减区间为 ．
5.若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 ．
6.一物体做直线运动，其运动方程为
(的单位为m，的单位为s)，则物体速度为0的时刻是 ．
7．如果方程表示椭圆，则的取值范围是 ．
8.要建造一座跨度为16米，拱高为4米的抛物线拱桥，建桥时，每隔4米用一根柱支撑，两边的柱高应为
米．
9．已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．
10.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点．若，则= ．
11.已知曲线，曲线，若当时，曲线在曲线的下方，则实数的取值范围是 ．
12.函数表示的曲线过原点，且在处的切线的斜率均为-1，有以下命题：
①的解析式是；
②的极值点有且只有1个；
③的最大值与最小值之和为0.
其中真命题的序号是 ．
13.与双曲线有相同的焦点，且过点的圆锥曲线方程为 ．
14．已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（14分）命题：实数满足，其中；命题：实数满足或；若是的必要不充分条件，求的取值范围
16.（14分）抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆的一个焦点且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点是，求抛物线与椭圆的标准方程．
17．（14分）已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在[-1，1]上的最大值．
18．（16分）设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）过点能否作出直线，使与双曲线交于两点，且，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由
19．（16分）设分别是椭圆的左、右焦点．
（1）当，且，时，求椭圆的左、右焦点的坐标．
（2）是（1）中椭圆的左、右焦点，已知的半径是1，过动点作的切线（为切点），使得，求动点的轨迹．
20．（16分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
（1）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
（2）求面积的最大值
1.② 解析：①，是真命题；②，，故②是假命题；③，，故③是真命题；④是真命题.
2. 解析：由，得.把代入,得．故曲线在点处的切线斜率
为．
3. 解析：∵ ，∴ ，∴ .又∵ 抛物线的准线方程为,∴ 抛物线的准线方程是.
4. 解析：，令，得.因为函数的定义域为（0，+∞）,所以函数的单调减区间为.
5. 解析：因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程是.又它的一个焦点是，所以，所以=1，.
6.=0或1或4 解析：由题意可知.令，解得=0或1或4.
7. 解析：∵ 方程表示椭圆，∴ 解得且.
8.3 解析：由题意设抛物线的方程为，又抛物线的跨度为16，拱高为4，所以点（8，-4）为抛物线上的点，代入求得，即抛物线的方程为．所以当时，，所以柱子的高度为4-1=3（米）．
9.[2，+∞） 解析：已知双曲线的右焦点为.若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ，∴ ，∴ .
10.8 解析：由椭圆的定义，得两式相加，得，即，∴ ．
11. 解析：令，故在上恒成立.
∵ 在上恒成立，∴ 在[﹣2，2]上单调递减，∴ ，即.
12.①③ 解析：由函数的图象过原点，可得.
又，且在处的切线斜率均为-1，则有解得
所以，．
①可见，因此①正确.
②令，得，因此②不正确.
又在内递减，且的极大值为，极小值为，两端点处，所以的最大值为，最小值为，则，因此③正确．
13.或 解析：由题意知双曲线的焦点坐标为，（1）可设所求双曲线方程为，而点在曲线上，代入得，∴ 双曲线的方程为.
（2）可设所求椭圆方程为，点在曲线上，代入得，∴ 椭圆的方程为.
14. 解析：由，即，得在（0，+∞）上为增函数，且当时，有.
故函数在（0，1）上有，又，则此时.
同理函数在上有＞0，又，则此时.
又函数是定义在上的奇函数，
∴ 当时，；当时，.
而 ，故不等式的解集为.
二、解答题
15.解：的根为.
当时，的解集为.
故命题成立有.
由，得.
由，得.
故命题成立有．
若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，
因此有或.
又，解得或.
故的取值范围是或．
16.解：由题意可设抛物线方程为.
∵ 点在抛物线上，∴ .∴ 抛物线的方程为.
∴ .∴ .
∴ 椭圆的方程为.
17.解：（1）当时，，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）．
当≤0时，，在[-1，1]上单调递减，
所以.
当时，令，解得．
因为，所以且.
又当时，，
故在[-1，1]上单调递减，
所以.
综上，函数在[-1，1]上的最大值为．
18.解：（1）∵ ，∴ .∴ 双曲线的渐近线方程为.
（2）假设过点能作出直线，使与双曲线交于两点，且.
若过点的直线斜率不存在，则不适合题意，舍去．
设直线方程为，∴
①代入②并整理，得.
∴
∵ ，∴ .
∴ .
∴ .∴不合题意．
∴ 不存在这样的直线．
19.解：（1）∵ ，∴ ，∴ .
又∵ ，∴ .∴ .
∴.
（2）设，连接及.
∵是的切线，∴ .
∴ .
又∵ ，∴ .
∴.∴.
∴ 动点的轨迹是以（6，0）为圆心，为半径的圆.
20.解：（1）依题意，以的中点为原点建立平面直角坐标系（如图），则点的横坐标为，纵坐标为，满足方程.
解得.
，
其定义域为．
（2）记，则．
令，得．
因为当时，；
当时，，
所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
故梯形面积的最大值为