4.5.1 函数的零点与方程的解（教案）

第四章 指数函数与对数函数
4.5.1 函数的零点与方程的解
教学设计
一、教学目标
1.结合函数图象，了解函数的零点与方程的解的关系.
2.理解零点存在性定理，了解函数图象连续不断的意义及作用.
3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.
二、教学重难点
1、教学重点
零点存在性定理.
2、教学难点
函数的零点与方程的解的关系.
三、教学过程
1、新课导入
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？这节课我们就来学习一下函数的零点与方程的解.
2、探索新知
知识点1 函数的零点
对于一般函数，使的实数叫做函数的零点.
知识点2 方程、函数、图象之间的关系
方程有实数根
函数有零点
函数的图象与x轴有交点.
知识点3 函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
例题点拨
例 求方程的实数解的个数.
分析：可以先借助计算工具画出函数的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助.
解：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表如下表，并画出图象如图.
x y
1 -4
2 -1.3069
3 1.0986
4 3.3863
5 5.6094
6 7.7918
7 9.9459
8 12.0794
9 14.1972
由表和图可知，，，则.
由函数零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点.
容易证明，函数，是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解.
3、课堂练习
1.已知函数，则函数的零点为( )
A.，0 B.-2，0 C. D.0
答案：D
解析：当时，令，得；当时，令，得（舍去）.综上所述，函数的零点为0.故选D.
2.已知函数，.若存在2个零点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：函数存在2个零点，即关于x的方程有2个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C.
3.已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是____________.
答案：
解析：关于x的方程有三个不同的实根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，作出两函数的图象，如图所示，由图可知实数k的取值范围是.
4、小结作业
小结：本节课学习了函数的零点与方程的解的关系以及零点存在性定理.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.5.1 函数的零点与方程的解
1.函数的零点：对于一般函数，使的实数叫做函数的零点.
2.方程、函数、图象之间的关系：方程有实数根函数有零点函数的图象与x轴有交点.
3.函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
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