4.5.1 函数的零点与方程的解 学案（含答案）

第四章 指数函数与对数函数
4.5.1 函数的零点与方程的解
学案
一、学习目标
1.结合函数图象，了解函数的零点与方程的解的关系.
2.理解零点存在性定理，了解函数图象连续不断的意义及作用.
3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.
二、知识归纳
1.函数的零点：对于一般函数，使的实数叫做函数的零点.
2.方程、函数、图象之间的关系：方程有实数根函数有零点函数的图象与x轴有交点.
3.函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
三、习题检测
1.已知函数，则函数的零点为( )
A.，0 B.-2，0 C. D.0
2.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，.若存在2个零点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，，的零点分别为a，b，c，则( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，则函数的零点个数为( )
A.1 B.3 C.4 D.5
7.（多选）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的零点为( )
A.1 B.3 C. D.
8.已知函数的零点位于区间内，则实数m的取值范围是____________.
9.已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是____________.
10.函数的零点个数是______________.
11.已知函数，试讨论的零点个数.
12.已知函数，.
（1）若是方程的根，证明是方程的根；
（2）设方程，的根分别是，，求的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：当时，令，得；当时，令，得（舍去）.综上所述，函数的零点为0.故选D.
2.答案：B
解析：因为，所以，，所以，所以在内有零点.故选B.
3.答案：A
解析：作出函数的图象和直线，如图所示.
当时，函数的图象和直线有三个交点，所以.故选A.
4.答案：C
解析：函数存在2个零点，即关于x的方程有2个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C.
5.答案：B
解析：函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，
函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，
在同一直角坐标系内作出函数，，与的图象如图所示：
由图可知，，，，故选B.
6.答案：C
解析：令，当时，，解得，.当时，，解得.综上，的解为，，，作出的图象如图所示.
由图象可得无解，有3个解，有1个解，因此函数的零点个数为4，故选C.
7.答案：ABD
解析：令，则，所以.因为是定义在R上的奇函数，所以，所以当时，.所以所以当时，令，即，解得或；当时，令，即，解得（舍去）或.所以函数有三个零点，分别为1，3，.故选ABD.
8.答案：
解析：令，得，
因为，所以，故.故答案为.
9.答案：
解析：关于x的方程有三个不同的实根，等价于函数与函数的图象有三个不同的交点，作出两函数的图象，如图所示，由图可知实数k的取值范围是.
10.答案：4
解析：当时，或，
此时有2个零点，当时，，
在同一坐标系中作出与的图象，如图所示，
由图象知有2个零点.因此的零点个数为4.
11.解析：因为，
所以.
因为函数在R上单调递增且值域为，
所以，在R上单调递减且值域为，
所以当或时，函数无零点；
当时，函数有唯一零点.
12.解析：（1）证明：因为是方程的根，
所以，即，
，
所以是方程的根.
（2）由题意知，方程，的根分别是，，
即方程，的根分别为，，
令，
则方程，的根分别为，，
由（1）知是方程的根，则是方程的根.
令，则是的零点，
又因为是上的增函数，
因此是的唯一零点，即是方程的唯一根，即，
所以，即，故.
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