2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习
一、选择题
1．（2016九上·嘉兴期末）下列函数属于二次函数的是（ ）
A．y=2x﹣1 B．y= C．y=x2+2x﹣3 D．y=
2．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.1 二次函数 同步练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2016九上·赣州期中）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2
4．（2017·兰州模拟）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1﹣ x2②y= ③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2016九上·江岸期中）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
6．（新人教版数学九年级上册第二十二章第一节二次函数课时练习）下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系。
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系。
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系。
D．正方形的周长C与边长a之间的关系。
7．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）函数 （ 是常数）是二次函数的条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习） 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0，-3 B．0，3 C．0 D．-3
二、填空题
9．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm，那么y关于x的函数是 ．
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.1 二次函数 同步练习）某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式 ，它 (填“是”或“不是”)二次函数．
11．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）函数 是二次函数，则K= ；
12．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）当m＝ 时，函数 是二次函数．
三、解答题
13．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现，该产品每天的销售量 (千克)与销售价 (元/千克)有如下关系： ．若这种产品每天的销售利润为 (元).求 与 之间的函数关系式．
14．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.1 二次函数 同步练习）原来公园有一个半径为1m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m时，则增加的环形的面积为y m 2 .
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当半径增大到多少时面积增大1倍；
（3）试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍.
15．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2 ， 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x.
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．
17．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
（2）若这个函数是一次函数，求m的值．
（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
18．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）上述函数是什么函数
（3）自变量x的取值范围是什么
19．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=2x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y= +3自变量的次数是﹣2，故B错误；
C、y=x2+2x﹣3是二次函数，故C正确；
D、y= 是反比例函数，故D错误．
故选：C．
【分析】依据二次函数的定义回答即可．
2．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】a+b=16，
∴b=16-a
故答案为：B.
【分析】利用Rt△ABC的面积S=ab，就可得出S关于边长a的函数关系式。
3．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故选：C．
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
4．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①y=1﹣ x2=﹣ x2+1，是二次函数；
②y= ，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；
④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个，故答案为：C．
【分析】根据二次函数的概念解答此题。满足的条件：含自变量的式子是整式；自变量最高指数是二次；二次项系数不等于0。三个条件缺一不可。
5．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，
∴2﹣a≠0，即a≠2，
故选：B．
【分析】根据二次函数的定义即可得．
6．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由题意，A的解析式为 ，B的解析式为 ，C的解析式为 ，D的解析式为 ，唯有B是二次函数关系，故选C．
【分析】能够运用实际问题的意义列出正确的解析式，并进行分析判断是否是二次函数，要根据二次函数的定义的基本要求．
7．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的二次函数，
∴m≠0，m2+3m+2=2，
解得：m=-3．
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的定义，可知m≠0，m2+3m+2=2，求解可解答。
9．【答案】y=(60+2x)(40+2x)
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x，宽是：40＋2x，
由矩形的面积公式得
y＝(60＋2x)(40＋2x)．
故答案为y＝(60＋2x)(40＋2x)．
【分析】根据题意分别表示出整个挂图的长和宽，再利用矩形的面积公式，可列出y与x的函数解析式。
10．【答案】y＝ x2－ ；是
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x－1）个人握手，所以共握手 x(x 1) 次，
∴y＝ x(x 1)＝ x2－ ，是二次函数．
故答案为：y＝ x2－ ，是．
【分析】设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x－1）个人握手，由于每两名同学都握一次手，可列出y与x的函数解析式，即可解答。
11．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 是二次函数，
∴
解得：k=-1
【分析】根据二次函数的定义，可得出x的系数≠0且x的指数＝2，求解即可。
12．【答案】-1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：m=-1.
【分析】利用二次函数的定义，可得出x的系数≠0且x的指数=2，建立方程和不等式，求解即可。
13．【答案】解： .
.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据每天的销售利润y=（每一件的售价-每一件的进价）×每天的销售量，列出函数解析式。
14．【答案】（1）解：y=πx2-π×12=πx2-π
（2）解：由题意得：πx2-π=π，
解得：x=
（3）解：面积是原来的3倍时，πx2-π=2π，解得：x= ，面积是原来的4倍时，πx2-π=3π，解得：x=2= ，
面积是原来的5倍时，πx2-π=4π，解得：x= ，
……面积是原来的n倍时，半径是 .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据增加的环形的面积为y=扩大后半径为x m的圆的面积半径为1m 的圆的面积，列出y与x的函数关系式。
（2）根据题意建立方程求出x的值。
（3）分别当s=2π，3π，4π可得出规律，即可解答。
15．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，BC=x
∴AB= ．
根据题意得： ，因为墙长25米，所以 ．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】利用矩形的性质，由BC=x，用含x的代数式表示出AB的长，再根据矩形的面积公式列出y与x函数解析式，再由墙长求出x的取值范围。
16．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD.
又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．
∴BE＝DF.∴CE＝CF.
∵CE＝x，AB＝4，∴CF＝x，BE＝DF＝4－x，
∴S△ADF＝S△ABE＝ AB·BE＝ ×4×(4－x)＝8－2x，S△CEF＝ CE·CF＝ x2，
∴y＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△CEF＝42－2(8－2x)－ x2＝－ x2＋4x.
（2）解：当△AEF为正三角形时，AE＝EF，
∴AE2＝EF2，即16＋(4－x)2＝2x2.
整理，得x2＋8x－32＝0，解得x＝－4±4 .
又∵x>0，∴x＝4 －4.
∴y＝－ x2＋4x＝－ ×(4 －4)2＋4×(4 －4)＝32 －48，即S△AEF＝32 －48.
∴当△AEF为正三角形时，△AEF的面积为32 －48
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质及全等三角形的判定，易证Rt△ABE≌Rt△ADF，可得出BE＝DF，从而证得CE＝CF，再用含x的代数式分别表示出CF、BE，利用三角形的面积公式求出△ABE、△CEF的面积，然后根据y＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△CEF，列出y与x的函数关系式。
（2）利用等边三角形的性质，可得出AE＝EF，利用勾股定理，由AE2＝EF2建立关于x的方程，求出x的值，然后代入（1）中的函数解析式，就可求出y的值。
17．【答案】（1）解：∵这个函数是二次函数，∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.
（2）解：∵这个函数是一次函数，
∴∴m＝0.
（3）解：不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函数．
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数≠0，建立不等式求解即可。
（2）若这个函数是一次函数，则二次项系数=0且一次项系数≠0，列方程和不等式，求解即可。
（3）正比例函数也是一次函数，因此当m=0时，可得出y＝－x＋2，可得出结论。
18．【答案】（1）解：根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．
（2）解：上述函数是二次函数
（3）解：自变量x的取值范围是0＜x＜4
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先用含x的代数式表示出小长方形AB′C′D′的长与宽，再根据长方形的面积公式，列出y与x的函数解析式。
（2）将（1）中的函数解析式化成一般形式，可得出结论。
（3）图形的边长为正数，就可求出x的取值范围。
19．【答案】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，设BC=a，则AC=4a，∵∠BAD=90°，∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，而∠ACB=90°，AB=AD，∴△ABC≌△DAE，∴AE=BC=a，DE=AC=4a，∴EC=AC-AE=4a-a=3a，在Rt△DEC中，DC=5a，∴x=5a，即a= ，又∵四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，∴ ，即y与x之间的函数关系式是 .
【知识点】列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等可证得∠1=∠3，再证明△ABC≌△DAE，得出AE=BC=a，DE=AC=4a，就可求出EC的长，在Rt△DEC中，根据勾股定理求得DC=5a，则x=5a，即a=x，然后根据四边形ABCD的面积y=△ABC的面积+△ACD的面积，就可求出y=10a2，就可得出y与x之间的函数关系式。
1 / 12018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习
一、选择题
1．（2016九上·嘉兴期末）下列函数属于二次函数的是（ ）
A．y=2x﹣1 B．y= C．y=x2+2x﹣3 D．y=
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=2x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y= +3自变量的次数是﹣2，故B错误；
C、y=x2+2x﹣3是二次函数，故C正确；
D、y= 是反比例函数，故D错误．
故选：C．
【分析】依据二次函数的定义回答即可．
2．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.1 二次函数 同步练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】a+b=16，
∴b=16-a
故答案为：B.
【分析】利用Rt△ABC的面积S=ab，就可得出S关于边长a的函数关系式。
3．（2016九上·赣州期中）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故选：C．
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
4．（2017·兰州模拟）下列函数中，是二次函数的有（ ）
①y=1﹣ x2②y= ③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：①y=1﹣ x2=﹣ x2+1，是二次函数；
②y= ，分母中含有自变量，不是二次函数；
③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；
④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个，故答案为：C．
【分析】根据二次函数的概念解答此题。满足的条件：含自变量的式子是整式；自变量最高指数是二次；二次项系数不等于0。三个条件缺一不可。
5．（2016九上·江岸期中）若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，
∴2﹣a≠0，即a≠2，
故选：B．
【分析】根据二次函数的定义即可得．
6．（新人教版数学九年级上册第二十二章第一节二次函数课时练习）下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系。
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系。
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系。
D．正方形的周长C与边长a之间的关系。
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由题意，A的解析式为 ，B的解析式为 ，C的解析式为 ，D的解析式为 ，唯有B是二次函数关系，故选C．
【分析】能够运用实际问题的意义列出正确的解析式，并进行分析判断是否是二次函数，要根据二次函数的定义的基本要求．
7．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）函数 （ 是常数）是二次函数的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0即可。
8．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习） 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0，-3 B．0，3 C．0 D．-3
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的二次函数，
∴m≠0，m2+3m+2=2，
解得：m=-3．
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的定义，可知m≠0，m2+3m+2=2，求解可解答。
二、填空题
9．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm，那么y关于x的函数是 ．
【答案】y=(60+2x)(40+2x)
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x，宽是：40＋2x，
由矩形的面积公式得
y＝(60＋2x)(40＋2x)．
故答案为y＝(60＋2x)(40＋2x)．
【分析】根据题意分别表示出整个挂图的长和宽，再利用矩形的面积公式，可列出y与x的函数解析式。
10．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.1 二次函数 同步练习）某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式 ，它 (填“是”或“不是”)二次函数．
【答案】y＝ x2－ ；是
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x－1）个人握手，所以共握手 x(x 1) 次，
∴y＝ x(x 1)＝ x2－ ，是二次函数．
故答案为：y＝ x2－ ，是．
【分析】设有x人参加聚会，每个人需要和另外的（x－1）个人握手，由于每两名同学都握一次手，可列出y与x的函数解析式，即可解答。
11．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）函数 是二次函数，则K= ；
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 是二次函数，
∴
解得：k=-1
【分析】根据二次函数的定义，可得出x的系数≠0且x的指数＝2，求解即可。
12．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）当m＝ 时，函数 是二次函数．
【答案】-1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：m=-1.
【分析】利用二次函数的定义，可得出x的系数≠0且x的指数=2，建立方程和不等式，求解即可。
三、解答题
13．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现，该产品每天的销售量 (千克)与销售价 (元/千克)有如下关系： ．若这种产品每天的销售利润为 (元).求 与 之间的函数关系式．
【答案】解： .
.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据每天的销售利润y=（每一件的售价-每一件的进价）×每天的销售量，列出函数解析式。
14．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.1 二次函数 同步练习）原来公园有一个半径为1m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m时，则增加的环形的面积为y m 2 .
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当半径增大到多少时面积增大1倍；
（3）试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍.
【答案】（1）解：y=πx2-π×12=πx2-π
（2）解：由题意得：πx2-π=π，
解得：x=
（3）解：面积是原来的3倍时，πx2-π=2π，解得：x= ，面积是原来的4倍时，πx2-π=3π，解得：x=2= ，
面积是原来的5倍时，πx2-π=4π，解得：x= ，
……面积是原来的n倍时，半径是 .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据增加的环形的面积为y=扩大后半径为x m的圆的面积半径为1m 的圆的面积，列出y与x的函数关系式。
（2）根据题意建立方程求出x的值。
（3）分别当s=2π，3π，4π可得出规律，即可解答。
15．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2 ， 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，BC=x
∴AB= ．
根据题意得： ，因为墙长25米，所以 ．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】利用矩形的性质，由BC=x，用含x的代数式表示出AB的长，再根据矩形的面积公式列出y与x函数解析式，再由墙长求出x的取值范围。
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x.
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD.
又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．
∴BE＝DF.∴CE＝CF.
∵CE＝x，AB＝4，∴CF＝x，BE＝DF＝4－x，
∴S△ADF＝S△ABE＝ AB·BE＝ ×4×(4－x)＝8－2x，S△CEF＝ CE·CF＝ x2，
∴y＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△CEF＝42－2(8－2x)－ x2＝－ x2＋4x.
（2）解：当△AEF为正三角形时，AE＝EF，
∴AE2＝EF2，即16＋(4－x)2＝2x2.
整理，得x2＋8x－32＝0，解得x＝－4±4 .
又∵x>0，∴x＝4 －4.
∴y＝－ x2＋4x＝－ ×(4 －4)2＋4×(4 －4)＝32 －48，即S△AEF＝32 －48.
∴当△AEF为正三角形时，△AEF的面积为32 －48
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质及全等三角形的判定，易证Rt△ABE≌Rt△ADF，可得出BE＝DF，从而证得CE＝CF，再用含x的代数式分别表示出CF、BE，利用三角形的面积公式求出△ABE、△CEF的面积，然后根据y＝S正方形ABCD－2S△ABE－S△CEF，列出y与x的函数关系式。
（2）利用等边三角形的性质，可得出AE＝EF，利用勾股定理，由AE2＝EF2建立关于x的方程，求出x的值，然后代入（1）中的函数解析式，就可求出y的值。
17．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
（2）若这个函数是一次函数，求m的值．
（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
【答案】（1）解：∵这个函数是二次函数，∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.
（2）解：∵这个函数是一次函数，
∴∴m＝0.
（3）解：不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函数．
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数≠0，建立不等式求解即可。
（2）若这个函数是一次函数，则二次项系数=0且一次项系数≠0，列方程和不等式，求解即可。
（3）正比例函数也是一次函数，因此当m=0时，可得出y＝－x＋2，可得出结论。
18．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）上述函数是什么函数
（3）自变量x的取值范围是什么
【答案】（1）解：根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函数关系式为y＝x2－9x＋20．
（2）解：上述函数是二次函数
（3）解：自变量x的取值范围是0＜x＜4
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先用含x的代数式表示出小长方形AB′C′D′的长与宽，再根据长方形的面积公式，列出y与x的函数解析式。
（2）将（1）中的函数解析式化成一般形式，可得出结论。
（3）图形的边长为正数，就可求出x的取值范围。
19．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．
【答案】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，设BC=a，则AC=4a，∵∠BAD=90°，∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，而∠ACB=90°，AB=AD，∴△ABC≌△DAE，∴AE=BC=a，DE=AC=4a，∴EC=AC-AE=4a-a=3a，在Rt△DEC中，DC=5a，∴x=5a，即a= ，又∵四边形ABCD的面积y=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，∴ ，即y与x之间的函数关系式是 .
【知识点】列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC=a，则AC=4a，根据等角的余角相等可证得∠1=∠3，再证明△ABC≌△DAE，得出AE=BC=a，DE=AC=4a，就可求出EC的长，在Rt△DEC中，根据勾股定理求得DC=5a，则x=5a，即a=x，然后根据四边形ABCD的面积y=△ABC的面积+△ACD的面积，就可求出y=10a2，就可得出y与x之间的函数关系式。
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