2018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（3）
一、选择题
1．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（ ）
A．0.4米 B．0.16米 C．0.2米 D．0.24米
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36），
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为-0.4，
∴当x= -0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36-0.16=0.2米
故答案为：C．
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．由于相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB=0.2×6=1.2，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过（0.6，0.6）、（0，0）、（-0.6，0.6），据此求出解析式．把x= -0.4代入后求出y，让0.36-y即可．
2．如图，隧道的截面是抛物线，可以用y=表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（ ）
A．不大于4m B．恰好4m
C．不小于4m D．大于4m，小于8m
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】由题意可知，直接把y=3代入解析式求解即可．解：把y=3代入y= 中得：
x=4，x= -4（舍去）．
∴每条行道宽应不大于4m．
故答案为：A
【分析】将函数值代入函数解析式，解一元二次方程，根据实际问题选择合适的值
3．（2017八下·东营期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣ x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y=﹣4代入y=﹣ x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．
即水面宽度AB为20m．
故选C．
【分析】根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．
4．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣ （x﹣80）2+16=﹣ （﹣10﹣80）2+16=﹣ ，
∴C（﹣10，﹣ ），
∴桥面离水面的高度AC为 m．
故答案为：B
【分析】将自变量的值代入函数解析式，解出函数值求出点C的坐标，根据实际问题得到AC的长度
5．（2017·兰州模拟）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】解决此类问题运用待定系数法求解析式，根据抛物线的顶点是原点的特点设解析式y=ax2，(a≠0)；找到图象上的一点坐标（2，﹣2）代入求得a的值即可.
6．（2017·上城模拟）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1
C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图可知，x≤﹣1或x≥3时，y≤1．
故选：D．
【分析】根据函数图象写出直线y=1以及下方部分的x的取值范围即可．
7．（2018·湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或 ≤a＜ B． ≤a＜
C．a≤ 或a＞ D．a≤﹣1或a≥
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．
观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；
当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，
∴a≥ ，
∵直线MN的解析式为y=- x+ ，
由 ，消去y得到，3ax2-2x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜ ，
∴ ≤a＜ 满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或 ≤a＜ ，
故答案为：A．
【分析】此图有两种情况，根据抛物线的特点及线段两个端点画出简易图像，观察图象可知①当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；②当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，故a≥，用待定系数法求出直线MN的解析式，解联立MN的解析式与抛物线的解析式，根据它们有两个不同的交点得出△＞0，从而得出不等式求出得出a＜，故≤＜，综上所述得出答案。
8．如图，二次函数y= -x2-2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P的坐标是（ ）
A．(-3,-3) B．(1,-3)
C．(-3,-3)或(-3,1) D．(-3,-3)或(1,-3)
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】解答：设P点纵坐标为m，
抛物线的解析式中，令y=0，得：-x2-2x=0，解得x=0，x= -2；∴A（-2，0），OA=2；
∵S△AOP= OA×m=3
∴|m|=3；
∴m=±3；
当P点纵坐标为3时，-x2-2x=3，x2+2x+3=0，△=4-12＜0，方程无解，此种情况不成立；
当P点纵坐标为-3时，-x2-2x= -3，x2+2x-3=0，
解得x=1，x= -3；
∴P（1，-3）或（-3，-3）；
故选D．
分析：根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．
二、填空题
9．（2018·绵阳）右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m。
【答案】4 -4
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），
依题可得：A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2），
∵C（0，2）在此抛物线上，
∴a=- ，
∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2），
∵水面下降2m，
∴- （x-2）（x+2）=-2，
∴x1=2 ，x2=-2 ，
∴下降之后的水面宽为：4 .
∴水面宽度增加了：4 -4.
故答案为：4 -4.
【分析】根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2，0），B（2，0），C（0，2），再根据待定系数法求出经过A、B、C三点的抛物线解析式y=- （x-2）（x+2）；由水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.
10．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式 ．
【答案】y=﹣ x2+11
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示．
由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），
设抛物线的表达式为y=ax2+11，
将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得： ，
所以抛物线的表达式为：y=﹣ x2+11．
【分析】由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），代入抛物线的解析式求出解析式
11．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ．
【答案】y=﹣
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，
故﹣2=4a，
a=﹣ ，
故y=﹣
【分析】根据二次函数图象，确定函数解析式并用待定系数法求出函数解析式
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣ t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：s=60t﹣ t2=﹣ （t﹣20）2+600，
∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600．
故答案是：20
【分析】函数解析式配方为顶点式，找出自变量与最值
三、解答题
13．（2018·青岛模拟）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）解：根据题意得B（0，4），C（3， ），
把B（0，4），C（3， ）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，
解得 ．
所以抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+4，
则y=﹣ （x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m
（2）解：由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y= ＞6，
所以这辆货车能安全通过
（3）解：令y=8，则﹣ （x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2 ，x2=6﹣2 ，
则x1﹣x2=4 ，
所以两排灯的水平距离最小是4 m
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）因为抛物线与y轴交于点B，矩形OBA的长和宽分别为12m、4m，所以可得点B（0，4），而抛物线过点C（3，），用待定系数法把点B、C的坐标代入解析式即可求得抛物线的解析式；要计算拱顶D到地面OA的距离，即为抛物线的顶点的纵坐标，所以只需将抛物线的解析式配成顶点式，即可求解；
（2）由题意知，隧道宽为12m，货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，所以可得货运汽车最外侧与地面OA的交点的横坐标分别为2或10，将这两个横坐标代入（1）中的解析式，即可求得对应的纵坐标，若纵坐标大于集装箱的高度，则可以通过，反之，不能通过；
（3）因为灯离地面的高度不超过8m，所以y=8，代入解析式可得关于x的一元二次方程，解方程可得两个解，求出这两个解之差的绝对值即为两排灯的最小水平距离。
14．有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，
解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
【答案】（1）解：由已知可得：AD= ，
则S=1× m2
（2）解：设AB=xm，则AD=3﹣ m，
∵ ，
∴ ，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当x= m时，且x= m在 的范围内， ，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由已知求出AD的长再求出窗户的面积。（2）由题意设窗户面积为S=AB AD结合小题1的结论进行计算，配方为顶点式，求出最值.
15．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）解：∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80，
∴a=﹣ x+10，3a=﹣ x+30，
∴y=（﹣ x+30）x=﹣ x2+30x，
∵a=﹣ x+10＞0，
∴x＜40，
则y=﹣ x2+30x（0＜x＜40）
（2）解：∵y=﹣ x2+30x=﹣ （x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣ ＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由三块矩形区域的面积相等得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，再设参数BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，求函数解析式，确定自变量的取值范围。（2）由（1）函数解析式配方为顶点式求出最值.
16．学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。
①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。
②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。
【答案】解：①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0，
∴绘制线段P1P2 ， P1P2=4.
②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0，
∴绘制抛物线，
设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ，
∴ ，即
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据已知条件将点坐标代入表示抛物线的解析式
17．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
【答案】（1）解：M（12，0），P（6，6）
（2）解：∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0﹣6）2+6
∴
∴这条抛物线的函数解析式为y=﹣ （x﹣6）2+6，即y=﹣ x2+2x
（3）解：设A（x，y）
∴A（x，﹣ （x﹣6）2+6）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=﹣ （x﹣6）2+6，
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[﹣ （x﹣6）2+6]+12﹣2x=﹣ x2+2x+12=﹣ （x﹣3）2+15．
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象，求出点的坐标。（2）确定函数解析式并用待定系数法求出函数解析式。（3）设A（x，y）在抛物线上，根据抛物线的轴对称性，求出BC，AD的长，再算出AB+AD+DC的长即可.
18．如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y= x2﹣ x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为 ，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵a= ＞0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y= x2﹣ x+3= （x﹣4）2+ ，
∴绳子最低点离地面的距离为： m
（2）解：由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，
令x=0得y=3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），
设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，
解得：a=0.3，
∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，
∴MN的长度为：2.1m
（3）解：∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴F2的横坐标为： （8﹣m）+m= m+4，
∴抛物线F2的顶点坐标为：（ m+4，k），
∴抛物线F2的解析式为：y= （x﹣ m﹣4）2+k，
把C（8，3）代入得： （8﹣ m﹣4）2+k=3，
解得：k=﹣ （4﹣ m）2+3，
∴k=﹣ （m﹣8）2+3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，﹣ （m﹣8）2+3=2，
解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，﹣ （m﹣8）2+3=2.5，
解得：m1=8﹣2 ，m2=8+2 （不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配方为顶点式，得到顶点坐标，求最值。（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，再得到A，C的坐标，由待定系数法求解析式，再配方华为顶点式，当x=3时，求函数值。（3）根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，得到F2的横坐标为： （8﹣m）+m= m+4，得到抛物线F2的解析式为：y= （x﹣ m﹣4）2+k，利用待定系数法求解析式，再利用抛物线的变化趋势确定m的取值范围.
19．
（1）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为10），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可），1×9，2×8，3×7，…，8×2，9×1
（2）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为100），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）.45×55，46×54，47×53，…54×46，55×45．
【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为m（m＞0），你认为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用所学知识说明你的猜想的正确性．
【拓展应用】小明欲制作一个四边形的风筝（如图所示），他想用长度为1.8m的竹签制作风筝的骨架AB与CD（AB⊥CD），为了使风筝在空中能获得更大的浮力，他想把风筝的表面积（四边形ADBC的面积）制作到最大．根据上面的结论，求当风筝的骨架AB、CD的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？
【答案】（1）解：由题意，得
1×9=9，2×8=16，3×7=21，4×6=24，5×5=25
6×4=24，7×3=21，8×2=16，9×1=9，
∴5×5=25最大，
答：5×5=25的乘积最大
（2）解：由题意，得
…45×55=2475，46×54=2484，47×53=2491，48×52=2496，49×51=2499，50×50=2500，
51×49=2499，52×48=2496，53×47=2491，54×46=2484，55×45=2475…．
∴50×50=2500最大，
答：50×50=2500的乘积最大；
猜想验证，若两个数的和为m，当两个数分别为 时，乘积最大．
理由：设这两个数的乘积为n，其中一个数为x，另一个数为m﹣x，由题意，得
n=x（m﹣x），
n=﹣x2+mx，
n=﹣（x﹣ ）2+ ；
∴a=﹣1＜0，
∴当x= 时，n最大= ．
拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由题意，得
w=a（1.8﹣a），
w=﹣a2+1.8a，
w=﹣（a﹣0.9）2+0.81，
∴a=﹣1＜0，
∴a=0.9时，w最大=0.81，
∴当AB=CD=0.9时，风筝的表面积能达到最大
【知识点】二次函数的最值；探索数与式的规律；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）求出算式的值，找出符合题意的值。（2）求出算式的值，找出符合题意的值，找规律列出函数解析式，配方为顶点式求出最值，拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由题意，得w=﹣（a﹣0.9）2+0.81，∴当AB=CD=0.9时，风筝的表面积能达到最大.
1 / 12018-2019学年数学人教版（五四学制）九年级上册28.3 二次函数与实际问题同步课时作业（3）
一、选择题
1．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（ ）
A．0.4米 B．0.16米 C．0.2米 D．0.24米
2．如图，隧道的截面是抛物线，可以用y=表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽是（ ）
A．不大于4m B．恰好4m
C．不小于4m D．大于4m，小于8m
3．（2017八下·东营期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣ x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）
A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m
4．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米
5．（2017·兰州模拟）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣ x2 D．y= x2
6．（2017·上城模拟）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1
C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3
7．（2018·湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或 ≤a＜ B． ≤a＜
C．a≤ 或a＞ D．a≤﹣1或a≥
8．如图，二次函数y= -x2-2x的图象与x轴交于点A、O，在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，则点P的坐标是（ ）
A．(-3,-3) B．(1,-3)
C．(-3,-3)或(-3,1) D．(-3,-3)或(1,-3)
二、填空题
9．（2018·绵阳）右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加 m。
10．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式 ．
11．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ．
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣ t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
三、解答题
13．（2018·青岛模拟）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
14．有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，
解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
15．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
16．学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1 ， P2 ， P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。
①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。
②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。
17．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
18．如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y= x2﹣ x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为 ，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
19．
（1）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为10），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可），1×9，2×8，3×7，…，8×2，9×1
（2）观察下列两个数的乘积（两个乘数的和为100），猜想其中哪两个数的乘积最大（只写出结论即可）.45×55，46×54，47×53，…54×46，55×45．
【猜想验证】根据上面活动给你的启示，猜想，如果两个正乘数的和为m（m＞0），你认为两个乘数分别为多少时，两个乘数的乘积最大？用所学知识说明你的猜想的正确性．
【拓展应用】小明欲制作一个四边形的风筝（如图所示），他想用长度为1.8m的竹签制作风筝的骨架AB与CD（AB⊥CD），为了使风筝在空中能获得更大的浮力，他想把风筝的表面积（四边形ADBC的面积）制作到最大．根据上面的结论，求当风筝的骨架AB、CD的长为多少时，风筝的表面积能达到最大？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（0.6，0.36），
代入得：0.36=0.36a
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为-0.4，
∴当x= -0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36-0.16=0.2米
故答案为：C．
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．由于相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB=0.2×6=1.2，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过（0.6，0.6）、（0，0）、（-0.6，0.6），据此求出解析式．把x= -0.4代入后求出y，让0.36-y即可．
2．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】由题意可知，直接把y=3代入解析式求解即可．解：把y=3代入y= 中得：
x=4，x= -4（舍去）．
∴每条行道宽应不大于4m．
故答案为：A
【分析】将函数值代入函数解析式，解一元二次方程，根据实际问题选择合适的值
3．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意B的纵坐标为﹣4，
把y=﹣4代入y=﹣ x2，
得x=±10，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
∴AB=20m．
即水面宽度AB为20m．
故选C．
【分析】根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．
4．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣ （x﹣80）2+16=﹣ （﹣10﹣80）2+16=﹣ ，
∴C（﹣10，﹣ ），
∴桥面离水面的高度AC为 m．
故答案为：B
【分析】将自变量的值代入函数解析式，解出函数值求出点C的坐标，根据实际问题得到AC的长度
5．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】解决此类问题运用待定系数法求解析式，根据抛物线的顶点是原点的特点设解析式y=ax2，(a≠0)；找到图象上的一点坐标（2，﹣2）代入求得a的值即可.
6．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图可知，x≤﹣1或x≥3时，y≤1．
故选：D．
【分析】根据函数图象写出直线y=1以及下方部分的x的取值范围即可．
7．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．
观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；
当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，
∴a≥ ，
∵直线MN的解析式为y=- x+ ，
由 ，消去y得到，3ax2-2x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜ ，
∴ ≤a＜ 满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或 ≤a＜ ，
故答案为：A．
【分析】此图有两种情况，根据抛物线的特点及线段两个端点画出简易图像，观察图象可知①当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；②当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，故a≥，用待定系数法求出直线MN的解析式，解联立MN的解析式与抛物线的解析式，根据它们有两个不同的交点得出△＞0，从而得出不等式求出得出a＜，故≤＜，综上所述得出答案。
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】解答：设P点纵坐标为m，
抛物线的解析式中，令y=0，得：-x2-2x=0，解得x=0，x= -2；∴A（-2，0），OA=2；
∵S△AOP= OA×m=3
∴|m|=3；
∴m=±3；
当P点纵坐标为3时，-x2-2x=3，x2+2x+3=0，△=4-12＜0，方程无解，此种情况不成立；
当P点纵坐标为-3时，-x2-2x= -3，x2+2x-3=0，
解得x=1，x= -3；
∴P（1，-3）或（-3，-3）；
故选D．
分析：根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．
9．【答案】4 -4
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），
依题可得：A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=a（x-2）（x+2），
∵C（0，2）在此抛物线上，
∴a=- ，
∴此抛物线解析式为：y=- （x-2）（x+2），
∵水面下降2m，
∴- （x-2）（x+2）=-2，
∴x1=2 ，x2=-2 ，
∴下降之后的水面宽为：4 .
∴水面宽度增加了：4 -4.
故答案为：4 -4.
【分析】根据题意以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图），依题可得：A（-2，0），B（2，0），C（0，2），再根据待定系数法求出经过A、B、C三点的抛物线解析式y=- （x-2）（x+2）；由水面下降2m，求出下降之后的水面宽度，从而得出水面宽度增加值.
10．【答案】y=﹣ x2+11
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示．
由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），
设抛物线的表达式为y=ax2+11，
将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得： ，
所以抛物线的表达式为：y=﹣ x2+11．
【分析】由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），代入抛物线的解析式求出解析式
11．【答案】y=﹣
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，
故﹣2=4a，
a=﹣ ，
故y=﹣
【分析】根据二次函数图象，确定函数解析式并用待定系数法求出函数解析式
12．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：s=60t﹣ t2=﹣ （t﹣20）2+600，
∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600．
故答案是：20
【分析】函数解析式配方为顶点式，找出自变量与最值
13．【答案】（1）解：根据题意得B（0，4），C（3， ），
把B（0，4），C（3， ）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，
解得 ．
所以抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+4，
则y=﹣ （x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m
（2）解：由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x=2或x=10时，y= ＞6，
所以这辆货车能安全通过
（3）解：令y=8，则﹣ （x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2 ，x2=6﹣2 ，
则x1﹣x2=4 ，
所以两排灯的水平距离最小是4 m
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）因为抛物线与y轴交于点B，矩形OBA的长和宽分别为12m、4m，所以可得点B（0，4），而抛物线过点C（3，），用待定系数法把点B、C的坐标代入解析式即可求得抛物线的解析式；要计算拱顶D到地面OA的距离，即为抛物线的顶点的纵坐标，所以只需将抛物线的解析式配成顶点式，即可求解；
（2）由题意知，隧道宽为12m，货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，所以可得货运汽车最外侧与地面OA的交点的横坐标分别为2或10，将这两个横坐标代入（1）中的解析式，即可求得对应的纵坐标，若纵坐标大于集装箱的高度，则可以通过，反之，不能通过；
（3）因为灯离地面的高度不超过8m，所以y=8，代入解析式可得关于x的一元二次方程，解方程可得两个解，求出这两个解之差的绝对值即为两排灯的最小水平距离。
14．【答案】（1）解：由已知可得：AD= ，
则S=1× m2
（2）解：设AB=xm，则AD=3﹣ m，
∵ ，
∴ ，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当x= m时，且x= m在 的范围内， ，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由已知求出AD的长再求出窗户的面积。（2）由题意设窗户面积为S=AB AD结合小题1的结论进行计算，配方为顶点式，求出最值.
15．【答案】（1）解：∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80，即8a+2x=80，
∴a=﹣ x+10，3a=﹣ x+30，
∴y=（﹣ x+30）x=﹣ x2+30x，
∵a=﹣ x+10＞0，
∴x＜40，
则y=﹣ x2+30x（0＜x＜40）
（2）解：∵y=﹣ x2+30x=﹣ （x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣ ＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由三块矩形区域的面积相等得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，再设参数BE=FC=a，则AE=HG=DF=2a，求函数解析式，确定自变量的取值范围。（2）由（1）函数解析式配方为顶点式求出最值.
16．【答案】解：①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0，
∴绘制线段P1P2 ， P1P2=4.
②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0，
∴绘制抛物线，
设y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得a= ，
∴ ，即
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据已知条件将点坐标代入表示抛物线的解析式
17．【答案】（1）解：M（12，0），P（6，6）
（2）解：∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0﹣6）2+6
∴
∴这条抛物线的函数解析式为y=﹣ （x﹣6）2+6，即y=﹣ x2+2x
（3）解：设A（x，y）
∴A（x，﹣ （x﹣6）2+6）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=﹣ （x﹣6）2+6，
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[﹣ （x﹣6）2+6]+12﹣2x=﹣ x2+2x+12=﹣ （x﹣3）2+15．
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象，求出点的坐标。（2）确定函数解析式并用待定系数法求出函数解析式。（3）设A（x，y）在抛物线上，根据抛物线的轴对称性，求出BC，AD的长，再算出AB+AD+DC的长即可.
18．【答案】（1）解：∵a= ＞0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y= x2﹣ x+3= （x﹣4）2+ ，
∴绳子最低点离地面的距离为： m
（2）解：由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，
令x=0得y=3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），
设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，
解得：a=0.3，
∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，
∴MN的长度为：2.1m
（3）解：∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴F2的横坐标为： （8﹣m）+m= m+4，
∴抛物线F2的顶点坐标为：（ m+4，k），
∴抛物线F2的解析式为：y= （x﹣ m﹣4）2+k，
把C（8，3）代入得： （8﹣ m﹣4）2+k=3，
解得：k=﹣ （4﹣ m）2+3，
∴k=﹣ （m﹣8）2+3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，﹣ （m﹣8）2+3=2，
解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，﹣ （m﹣8）2+3=2.5，
解得：m1=8﹣2 ，m2=8+2 （不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配方为顶点式，得到顶点坐标，求最值。（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8，再得到A，C的坐标，由待定系数法求解析式，再配方华为顶点式，当x=3时，求函数值。（3）根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，得到F2的横坐标为： （8﹣m）+m= m+4，得到抛物线F2的解析式为：y= （x﹣ m﹣4）2+k，利用待定系数法求解析式，再利用抛物线的变化趋势确定m的取值范围.
19．【答案】（1）解：由题意，得
1×9=9，2×8=16，3×7=21，4×6=24，5×5=25
6×4=24，7×3=21，8×2=16，9×1=9，
∴5×5=25最大，
答：5×5=25的乘积最大
（2）解：由题意，得
…45×55=2475，46×54=2484，47×53=2491，48×52=2496，49×51=2499，50×50=2500，
51×49=2499，52×48=2496，53×47=2491，54×46=2484，55×45=2475…．
∴50×50=2500最大，
答：50×50=2500的乘积最大；
猜想验证，若两个数的和为m，当两个数分别为 时，乘积最大．
理由：设这两个数的乘积为n，其中一个数为x，另一个数为m﹣x，由题意，得
n=x（m﹣x），
n=﹣x2+mx，
n=﹣（x﹣ ）2+ ；
∴a=﹣1＜0，
∴当x= 时，n最大= ．
拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由题意，得
w=a（1.8﹣a），
w=﹣a2+1.8a，
w=﹣（a﹣0.9）2+0.81，
∴a=﹣1＜0，
∴a=0.9时，w最大=0.81，
∴当AB=CD=0.9时，风筝的表面积能达到最大
【知识点】二次函数的最值；探索数与式的规律；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）求出算式的值，找出符合题意的值。（2）求出算式的值，找出符合题意的值，找规律列出函数解析式，配方为顶点式求出最值，拓展运用，设AB=a，则CD=1.8﹣a，风筝的表面积为w，由题意，得w=﹣（a﹣0.9）2+0.81，∴当AB=CD=0.9时，风筝的表面积能达到最大.
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