2018-2019学年数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程 单元检测b卷
一、选择题
1．（2016九上·济源期中）如果关于x的方程（m﹣3） ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
2．（2016九上·利津期中）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k＞ 且k≠0
C．k＜ D．k≥ 且k≠0
3．（2017·樊城模拟）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
4．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
5．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是 （ ）
A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定
6．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为 （ ）
A．（x+ ）2= B．（x+ ）2=
C．（x﹣ ）2= D．（x﹣ ）2=
7．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是 （ ）
A．m≤ B．m≤ 且m≠0
C．m＜1 D．m＜1且m≠0
8．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 （ ）
A．﹣12 B．﹣1 C．4 D．无法确定
9．（2018·舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是；画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= 。则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
10．若a满足不等式组 ，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能
二、填空题
11．（2015八下·杭州期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是 ．
12．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2 ， 则11、12两月平均每月降价的百分率是 %。
13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为 ．
14．若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 = .
15．已知x2+y2-2x-4y+5=0，分式 的值为 ．
16．如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式 =
17．如果（2x+2y+1）（2x+2y﹣1）=63，那么x+y的值是 ．
三、解答题
18．已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
19．先化简，再求值：
，其中a满足 .
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
21．某商场2017年7月份的营业额为160万元，9月份的营业额达到250万元，7月份到9月份的月平均增长率相等.
（1）求7月份到9月份的月平均增长率？
（2）按照此增长速率，10月份的营业额预计达到多少？
22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．
23．根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）
24．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
25．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t值，若不存在说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由一元二次方程的定义可知 ，
解得m=﹣3．
故选C．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．据此即可得到m2﹣7=2，m﹣3≠0，即可求得m的范围．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞ 且k≠0．
故选B．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）=18，
故选C．
【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设AC交A′B′于H，
∵∠A=45°，∠D=90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2﹣x
∴x （2﹣x）=1
∴x=1
即AA′=1cm．
故选B．
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，
解得：x1=3，x2=4，
若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；
若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．
故答案为：C．
【分析】先利用因式分解法求出原方程的根，再根据三角形三边关系定理得出三角形的三边长，就可求出此三角形的周长。
6．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：ax2+bx+c=0，
ax2+bx=﹣c，
x2+ x=﹣ ，
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，
（x+ ）2= ，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的配方法解方程，即可解答。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，
∴m≤ ，
∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0
∴m＜1，m≠0
∴m≤ 且m≠0．
故答案为：B
【分析】根据已知方程有两个实数根，可得出b2-4ac≥0及x1+x2＞0，x1x2＞0，建立关于m的不等式组，解不等式组求出m取值范围。
8．【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵m﹣n2=1，
∴n2=m﹣1，
m≥1，
∴m2+2n2+4m﹣1
=m2+2m﹣2+4m﹣1
=m2+6m﹣3
=（m+3）2﹣12，
∵（m+3）2≥16，
∴（m+3）2﹣12≥4．
故答案为：C
【分析】将m﹣n2=1转化为n2=m﹣1，可得出m的取值范围，再将m2+2n2+4m﹣1转化为（m+3）2﹣12，然后根据m≥1，可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2，
因为AC=b，BD=BC=，
所以b2+=，
整理可得AD2+aAD=b2，与方程x2＋ax=b2相同，
因为AD的长度是正数，所以AD是x2＋ax=b2的一个正根
故答案为B。
【分析】由勾股定理不难得到AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2，代入b和a即可得到答案
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：解不等式组 得a＜﹣3，
∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+ ）=2a+5，
∵a＜﹣3，
∴△=2a+5＜0，
∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0没有实数根，
故答案为：C．
【分析】由题意解不等式组可得a的范围，再根据一元二次方程的根的判别式的值即可判断。
11．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
12．【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x ， 则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2， 由题意，得
∴7000（1-x）2=5670，
∴（1-x）2=0.81，
∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%
【分析】此题的等量关系：去年10月份的商品房成交均价（1-降价率）2=去年12月份的商品房成交均价，设未知数。列方程求解即可。
13．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根
∴
∴原式=
=
=0
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将原式转化为，然后代入求值。
14．【答案】4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2=（ab＞0），
∴x=± ，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2
∴4a=b
∴ =4.
【分析】根据若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，可得出m+1+2m﹣4=0，求出m的值，就可得出4a=b，即可解答。
15．【答案】2020
【知识点】配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵x2+y2-2x-4y+5=0，
∴x2-2x+1+y2-4y+4=0，
（x-1）2+（y-2）2=0，
∴x=1，y=2，
∴ =2- =1.5；
故答案为：1.5
【分析】将方程的左边配方转化为（x-1）2+（y-2）2=0，再根据非负数和的性质求出x、y的值，然后代入分式计算即可。
16．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：如果 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足 m 2 m = 3 ， n 2 n = 3 ，
则 、 是关于 的一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
＝
＝
＝2×1-（-3）+2021
=2026
【分析】根据题意可得出 m 、 n 是关于 x 的一元二次方程 x 2 x = 3 的两根，再利用根与系数的关系求出m+n和mn的值及n 2 =n+ 3，分别代入可解答。
17．【答案】4或﹣4
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设2x+2y=t，则由原方程，得
（t+1）（t﹣1）=63，即t2=64，
直接开平方，得
t=8或t=﹣8．
①当t=8时，2x+2y=8，则x+y=4．
②当t=﹣8时，2x+2y=﹣8，则x+y=﹣4．
综上所述，x+y的值是4或﹣4．
故答案是：4或﹣4
【分析】将2x+2y看着整体，设2x+2y=t，将原方程转化为（t+1）（t﹣1）=63，求出t的值，代入就可求出x+y的值。
18．【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c＞0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。
19．【答案】解：原式====∵a满足a2+2a﹣24=0，∴a=4（舍）或a=﹣6，当a=﹣6时代入求值，原式=
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足 a 2 + 2 a 24 = 0 .解方程求出符合条件的a的值，再将符合条件的a的值代入计算可解答。
20．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，
解得：k＞﹣
（2）解：当k=1时，方程为x2+3x+1=0，∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）抓住已知条件原方程有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求解可解答。
（2）将k=1代入方程，可得出x2+3x+1=0，就可求出x1+x2，x1x2的值，再将x12+x22配方转化为（x1+x2）2﹣2x1x2，然后代入求值。
21．【答案】（1）解：设月平均增长率为x，依题意得：
解得： =25%， （舍去）．
答：7月份到9月份的月平均增长率为25%
（2）解：250×（1+ ）=312.5万元．
答：2017年10月份的营业额预计312.5万元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）等量关系为：9月份的营业额=7月份的营业额×（1+月平均增长率）2，设未知数，列方程求解即可。
（2）10月份的营业额=9月份的营业额×（1+月平均增长率），计算可求解。
22．【答案】（1）解：由已知得：m≠0且△=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，
则m的范围为m≠0且m≠2
（2）解：方程解得：x= ，即x=1或x= ，
∵x2＜0，∴x2= ＜0，即m＜0，
∵ ＞﹣1，
∴ ＞﹣1，即m＞﹣2，
∵m≠0且m≠2，
∴﹣2＜m＜0，
∵m为整数，
∴m=﹣1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据已知方程式一元二次方程，可得出m≠0，再由此方程有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，就可求出m的取值范围。
（2）先解方程求出方程的两个解，再根据x2＜0及＞-1，得出m的取值范围，就可求出整数m的值。
23．【答案】（1）解：1300×7.1%≈92（亿元）．
答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元
（2）解：（1300﹣1204）÷1204×100%
=96÷1204×100%
≈8%．
答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%
（3）解：设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1300（1+x）2=1573，
∴1+x=±1.1，
∴x=10%或x=﹣2.1（不符合题意，故舍去）．
答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）观察条形统计图和扇形统计图，可知2016年第一产业生产总值=2016年的国民生产总值÷第一产业所占的百分比，计算可解答。
（2）利用2016年比2015年的国民生产总值之差÷2016年的国民生产总值×100％，计算可解答。
（3）此题的等量关系：2018年的国民生产总值=2016年的国民生产总值（1+年平均增长率）2，设未知数，列方程求解即可。
24．【答案】（1）解：∵关于x的分式方程 的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x= ≥0，且 ≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2
（2）解：∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣ ；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2= =1﹣ ，
∴1﹣ 为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）解：|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n= ①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48× ≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出分式方程①的解，再由再由此方程的根为非负数及x≠1，求出k的取值范围；再由方程②是一元二次方程，可得出2﹣k≠0，求出k的取值范围，综上所述，可得出k的取值范围。
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和-1，再根据方程有两个整数根得△>.0，得出m>0或m≤，符合题意，分别把m=1和-1代入方程后解出即可。
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=-1，化简已知所给的等式，并将两根和积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可作出判断。
25．【答案】（1）解：设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
×2t×（6﹣t）= × ×6×8，
解得：t=2或4，
∵0≤t≤4，
∴t=2或4符合题意，
答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一
（2）解：在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2，
∴62=（2t）2+（6﹣t）2，
解得：t1=0（舍），t2= ，
答： 秒钟后，P、Q相距6厘米
（3）解：由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t，
分两种情况：
① 当PQ平分△ABC面积时，
S△PBQ= S△ABC，
（6﹣t）（8﹣2t）= × ×8×6，
解得：t1=5+ ，t2=5﹣ ，
∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+ ＞4，
∴t1=5+ 不符合题意，舍去，
当t2=5﹣ 时，AP=5﹣ ，BP=6﹣（5﹣ ）=1+ ，BQ=8﹣2（5﹣ ）=2 ﹣2，CQ=2（5﹣ ）=10﹣2 ，
PQ将△ABC的周长分为两部分：
一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣ +10﹣2 =25﹣3 ，
另一部分：PB+BQ=1+ +2 ﹣2=3 ﹣1，
25﹣3 ≠3 ﹣1，
②当PQ平分△ABC周长时，
AP+AC+CQ=PB+BQ，
10+2t+t=6﹣t+8﹣2t，
t= ，
当t= 时，PB=6﹣ = ，
BQ=8﹣2× = ，
∴S△PBQ= × × = ≠12，
综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：点P从A点出发向点B运动，先Q从点B向点C运动，设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，就可得出AP、BP、BQ的长，再利用△PBQ的面积=△ABC的面积，建立关于t的方程，解方程求出t的值，然后根据0≤t≤4，可解答。
（2）根据题意在Rt△PQB中，利用勾股定理可得出PQ2=BQ2+PB2=36，建立方程求解即可。
（3）根据题意表示出PB、BQ的长，分两种情况讨论：① 当PQ平分△ABC面积时，由S△PBQ= S△ABC，建立方程求出符合题意t的值，再根据t的值就可得出AP、BP、BQ、CQ的长；然后由PQ将△ABC的周长分为两部分，分别求出AC+AP+CQ和PB+BQ的值，判断它们是否相等；②当PQ平分△ABC周长时，即AP+AC+CQ=PB+BQ，建立关于t的方程，求出t的值，就可得出PB、BQ的长，再求出△PBQ的面积，然后判断△PBQ的面积是否等于12，即可得出答案。
1 / 12018-2019学年数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程 单元检测b卷
一、选择题
1．（2016九上·济源期中）如果关于x的方程（m﹣3） ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由一元二次方程的定义可知 ，
解得m=﹣3．
故选C．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．据此即可得到m2﹣7=2，m﹣3≠0，即可求得m的范围．
2．（2016九上·利津期中）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k＞ 且k≠0
C．k＜ D．k≥ 且k≠0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞ 且k≠0．
故选B．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
3．（2017·樊城模拟）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）=18，
故选C．
【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
4．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）
A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设AC交A′B′于H，
∵∠A=45°，∠D=90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2﹣x
∴x （2﹣x）=1
∴x=1
即AA′=1cm．
故选B．
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
5．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是 （ ）
A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，
解得：x1=3，x2=4，
若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；
若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．
故答案为：C．
【分析】先利用因式分解法求出原方程的根，再根据三角形三边关系定理得出三角形的三边长，就可求出此三角形的周长。
6．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为 （ ）
A．（x+ ）2= B．（x+ ）2=
C．（x﹣ ）2= D．（x﹣ ）2=
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：ax2+bx+c=0，
ax2+bx=﹣c，
x2+ x=﹣ ，
x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，
（x+ ）2= ，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的配方法解方程，即可解答。
7．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是 （ ）
A．m≤ B．m≤ 且m≠0
C．m＜1 D．m＜1且m≠0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，
∴m≤ ，
∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0
∴m＜1，m≠0
∴m≤ 且m≠0．
故答案为：B
【分析】根据已知方程有两个实数根，可得出b2-4ac≥0及x1+x2＞0，x1x2＞0，建立关于m的不等式组，解不等式组求出m取值范围。
8．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 （ ）
A．﹣12 B．﹣1 C．4 D．无法确定
【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵m﹣n2=1，
∴n2=m﹣1，
m≥1，
∴m2+2n2+4m﹣1
=m2+2m﹣2+4m﹣1
=m2+6m﹣3
=（m+3）2﹣12，
∵（m+3）2≥16，
∴（m+3）2﹣12≥4．
故答案为：C
【分析】将m﹣n2=1转化为n2=m﹣1，可得出m的取值范围，再将m2+2n2+4m﹣1转化为（m+3）2﹣12，然后根据m≥1，可得出答案。
9．（2018·舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是；画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= 。则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2，
因为AC=b，BD=BC=，
所以b2+=，
整理可得AD2+aAD=b2，与方程x2＋ax=b2相同，
因为AD的长度是正数，所以AD是x2＋ax=b2的一个正根
故答案为B。
【分析】由勾股定理不难得到AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2，代入b和a即可得到答案
10．若a满足不等式组 ，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：解不等式组 得a＜﹣3，
∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+ ）=2a+5，
∵a＜﹣3，
∴△=2a+5＜0，
∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0没有实数根，
故答案为：C．
【分析】由题意解不等式组可得a的范围，再根据一元二次方程的根的判别式的值即可判断。
二、填空题
11．（2015八下·杭州期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
12．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2 ， 则11、12两月平均每月降价的百分率是 %。
【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x ， 则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2， 由题意，得
∴7000（1-x）2=5670，
∴（1-x）2=0.81，
∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%
【分析】此题的等量关系：去年10月份的商品房成交均价（1-降价率）2=去年12月份的商品房成交均价，设未知数。列方程求解即可。
13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根
∴
∴原式=
=
=0
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得出，再将原式转化为，然后代入求值。
14．若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，则 = .
【答案】4
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2=（ab＞0），
∴x=± ，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2
∴4a=b
∴ =4.
【分析】根据若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m－4，可得出m+1+2m﹣4=0，求出m的值，就可得出4a=b，即可解答。
15．已知x2+y2-2x-4y+5=0，分式 的值为 ．
【答案】2020
【知识点】配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵x2+y2-2x-4y+5=0，
∴x2-2x+1+y2-4y+4=0，
（x-1）2+（y-2）2=0，
∴x=1，y=2，
∴ =2- =1.5；
故答案为：1.5
【分析】将方程的左边配方转化为（x-1）2+（y-2）2=0，再根据非负数和的性质求出x、y的值，然后代入分式计算即可。
16．如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式 =
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：如果 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足 m 2 m = 3 ， n 2 n = 3 ，
则 、 是关于 的一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
＝
＝
＝2×1-（-3）+2021
=2026
【分析】根据题意可得出 m 、 n 是关于 x 的一元二次方程 x 2 x = 3 的两根，再利用根与系数的关系求出m+n和mn的值及n 2 =n+ 3，分别代入可解答。
17．如果（2x+2y+1）（2x+2y﹣1）=63，那么x+y的值是 ．
【答案】4或﹣4
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设2x+2y=t，则由原方程，得
（t+1）（t﹣1）=63，即t2=64，
直接开平方，得
t=8或t=﹣8．
①当t=8时，2x+2y=8，则x+y=4．
②当t=﹣8时，2x+2y=﹣8，则x+y=﹣4．
综上所述，x+y的值是4或﹣4．
故答案是：4或﹣4
【分析】将2x+2y看着整体，设2x+2y=t，将原方程转化为（t+1）（t﹣1）=63，求出t的值，代入就可求出x+y的值。
三、解答题
18．已知a、b、c为三角形三个边， +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程吗？
【答案】解：化简 +bx（x-1）= -2b，得（a+b-c） -bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，∴ +bx（x-1）= -2b是关于x的一元二次方程
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】先将已知方程化成一般形式，再根据a、b、c为三角形的三条边，利用三角形三边关系定理判断二次项系数a+b-c＞0，就可得出此方程是关于x的一元二次方程。
19．先化简，再求值：
，其中a满足 .
【答案】解：原式====∵a满足a2+2a﹣24=0，∴a=4（舍）或a=﹣6，当a=﹣6时代入求值，原式=
【知识点】分式的化简求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足 a 2 + 2 a 24 = 0 .解方程求出符合条件的a的值，再将符合条件的a的值代入计算可解答。
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，
解得：k＞﹣
（2）解：当k=1时，方程为x2+3x+1=0，∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）抓住已知条件原方程有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求解可解答。
（2）将k=1代入方程，可得出x2+3x+1=0，就可求出x1+x2，x1x2的值，再将x12+x22配方转化为（x1+x2）2﹣2x1x2，然后代入求值。
21．某商场2017年7月份的营业额为160万元，9月份的营业额达到250万元，7月份到9月份的月平均增长率相等.
（1）求7月份到9月份的月平均增长率？
（2）按照此增长速率，10月份的营业额预计达到多少？
【答案】（1）解：设月平均增长率为x，依题意得：
解得： =25%， （舍去）．
答：7月份到9月份的月平均增长率为25%
（2）解：250×（1+ ）=312.5万元．
答：2017年10月份的营业额预计312.5万元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）等量关系为：9月份的营业额=7月份的营业额×（1+月平均增长率）2，设未知数，列方程求解即可。
（2）10月份的营业额=9月份的营业额×（1+月平均增长率），计算可求解。
22．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．
【答案】（1）解：由已知得：m≠0且△=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，
则m的范围为m≠0且m≠2
（2）解：方程解得：x= ，即x=1或x= ，
∵x2＜0，∴x2= ＜0，即m＜0，
∵ ＞﹣1，
∴ ＞﹣1，即m＞﹣2，
∵m≠0且m≠2，
∴﹣2＜m＜0，
∵m为整数，
∴m=﹣1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据已知方程式一元二次方程，可得出m≠0，再由此方程有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，就可求出m的取值范围。
（2）先解方程求出方程的两个解，再根据x2＜0及＞-1，得出m的取值范围，就可求出整数m的值。
23．根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）
【答案】（1）解：1300×7.1%≈92（亿元）．
答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元
（2）解：（1300﹣1204）÷1204×100%
=96÷1204×100%
≈8%．
答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%
（3）解：设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1300（1+x）2=1573，
∴1+x=±1.1，
∴x=10%或x=﹣2.1（不符合题意，故舍去）．
答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）观察条形统计图和扇形统计图，可知2016年第一产业生产总值=2016年的国民生产总值÷第一产业所占的百分比，计算可解答。
（2）利用2016年比2015年的国民生产总值之差÷2016年的国民生产总值×100％，计算可解答。
（3）此题的等量关系：2018年的国民生产总值=2016年的国民生产总值（1+年平均增长率）2，设未知数，列方程求解即可。
24．已知在关于x的分式方程 ①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【答案】（1）解：∵关于x的分式方程 的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x= ≥0，且 ≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2
（2）解：∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣ ；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2= =1﹣ ，
∴1﹣ 为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）解：|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ = =﹣m，x1x2= = n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n= ①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48× ≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）先求出分式方程①的解，再由再由此方程的根为非负数及x≠1，求出k的取值范围；再由方程②是一元二次方程，可得出2﹣k≠0，求出k的取值范围，综上所述，可得出k的取值范围。
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和-1，再根据方程有两个整数根得△>.0，得出m>0或m≤，符合题意，分别把m=1和-1代入方程后解出即可。
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=-1，化简已知所给的等式，并将两根和积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可作出判断。
25．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t值，若不存在说明理由．
【答案】（1）解：设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
×2t×（6﹣t）= × ×6×8，
解得：t=2或4，
∵0≤t≤4，
∴t=2或4符合题意，
答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一
（2）解：在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2，
∴62=（2t）2+（6﹣t）2，
解得：t1=0（舍），t2= ，
答： 秒钟后，P、Q相距6厘米
（3）解：由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t，
分两种情况：
① 当PQ平分△ABC面积时，
S△PBQ= S△ABC，
（6﹣t）（8﹣2t）= × ×8×6，
解得：t1=5+ ，t2=5﹣ ，
∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+ ＞4，
∴t1=5+ 不符合题意，舍去，
当t2=5﹣ 时，AP=5﹣ ，BP=6﹣（5﹣ ）=1+ ，BQ=8﹣2（5﹣ ）=2 ﹣2，CQ=2（5﹣ ）=10﹣2 ，
PQ将△ABC的周长分为两部分：
一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣ +10﹣2 =25﹣3 ，
另一部分：PB+BQ=1+ +2 ﹣2=3 ﹣1，
25﹣3 ≠3 ﹣1，
②当PQ平分△ABC周长时，
AP+AC+CQ=PB+BQ，
10+2t+t=6﹣t+8﹣2t，
t= ，
当t= 时，PB=6﹣ = ，
BQ=8﹣2× = ，
∴S△PBQ= × × = ≠12，
综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：点P从A点出发向点B运动，先Q从点B向点C运动，设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，就可得出AP、BP、BQ的长，再利用△PBQ的面积=△ABC的面积，建立关于t的方程，解方程求出t的值，然后根据0≤t≤4，可解答。
（2）根据题意在Rt△PQB中，利用勾股定理可得出PQ2=BQ2+PB2=36，建立方程求解即可。
（3）根据题意表示出PB、BQ的长，分两种情况讨论：① 当PQ平分△ABC面积时，由S△PBQ= S△ABC，建立方程求出符合题意t的值，再根据t的值就可得出AP、BP、BQ、CQ的长；然后由PQ将△ABC的周长分为两部分，分别求出AC+AP+CQ和PB+BQ的值，判断它们是否相等；②当PQ平分△ABC周长时，即AP+AC+CQ=PB+BQ，建立关于t的方程，求出t的值，就可得出PB、BQ的长，再求出△PBQ的面积，然后判断△PBQ的面积是否等于12，即可得出答案。
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