2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.7弧长与扇形面积 第2课时 圆锥的侧面展开图 同步训练
一、课前预习
1．圆锥的底面积为25π，母线长为1 3cm，这个圆锥的底面圆的半径为 cm，高为 cm，侧面积为 cm2.
【答案】5；12；65π
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，
=25π，解之r=5
设圆锥的高为h
=12
圆锥的侧面积=π×5×13=65π
故答案为：5，12，65π
【分析】根据圆锥的底面积为25π，由圆的面积可求出底面圆的半径；圆锥的母线、高、底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理可求出圆锥的高；根据圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），可求出圆锥的侧面积。
2．圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为 cm2，锥
角为 ，高为 cm.
【答案】50π；60°；
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：抽象图形如下
∵圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形
∴SB==R=10cm，OB=r=5cm，SO⊥AB
∴锥角为∠ASB=60°
在Rt△SOB中，
∴圆锥的侧面积=πRr=π×10×5=50π
故答案为：50π，60°，
【分析】根据圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，可求出锥角的度数，利用勾股定理可求出圆锥的高，然后根据圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），即可求解。
3．已知Rt△ABC的两直角边AC=5 cm，BC=12 cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为 cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 cm，面积为 cm2.
【答案】；；
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图
∵Rt△ABC，AB=
∴以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为：
∴这个圆锥的侧面展开图的弧长：
这个圆锥的侧面展开图的面积就是以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为
故答案为：，，
【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长AB的值，再求出以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积；根据圆锥侧面展开图的弧长=底面圆的周长，计算即可；根据这个圆锥的侧面展开图的面积就是以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积，即可求解。
4．如图，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为 .
【答案】16
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为4，母线长为6
∴r=2，R=6
∴圆锥的全面积=πRr+πr2=×6×2+4=16
故答案为：16
【分析】根据圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积，即圆锥的表面积=πRr+πr2（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），代入计算即可求解。
二、课中强化
5．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）
A．6 m2 B．6π m2 C．12 m2 D．12π m2
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵这个圆锥的底面直径是4m，母线长为3m，
∴r=2，R=3
∴圆锥的侧面积=πRr=π×3×2=6πm2
故答案为：B
【分析】根据圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），代入计算即可求解。
6．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（ ）
A．a B． a C．3a D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆
∴，解之：
如图，在Rt△SOB中，OB=，SB=a
∴SO=
故答案为：D
【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，设底面圆的半径为r，根据底面圆的周长=展开扇形的弧长，建立方程求解，求出r，再利用勾股定理求出圆锥的高。
7．用一张半径为9 cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是 cm.
【答案】3
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设这个圆锥形冰淇淋的底面半径为r
∵R=9，n=120°
∴即
解之：r=3
【分析】根据圆锥的底面圆的周长=侧面展开扇形的弧长（），列出方程，求解即可。
8．如图，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 (结果保留根式).
【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；圆锥的计算
【解析】【解答】∵若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，
∴小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，如图
设母线长为R，展开扇形的圆心角的度数为n，
∵l=2πr=，即
解之：n=90°
在Rt△AOB中， AB=
故答案为：
【分析】要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，因此可得出小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，根据2πr=，求出圆心角的度数，再根据勾股定理求出弦AB的长，即可求解。
9．一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，
求：
（1）圆锥母线与底面半径的比；
（2）锥角的大小；
（3）圆锥的全面积
【答案】（1）解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r
∵圆锥的侧面展开图是半圆
∴2r=
∴R=2r
∴R：r=2：1
（2）解：如图
有、由（1）可知：R=2r
在Rt△AOB中，sin∠BSO=
∴∠BSO=30°
∴∠ASB=2∠BSO=60°
故锥角的度数为60°
（3）解：如图
∵在Rt△SOB中，SO=，R=2r
∴
∴
解之：r=3（取正值）
∴R=6
∴S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆=
∴圆锥的全面积为
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件圆锥的侧面展开图是半圆，利用底面圆的周长=展开扇形的弧长，可求出结果。
（2）根据（1）的结论，利用解直角三角形可求出锥角的度数。
（3）根据圆锥的高和圆锥的母线长和底面圆半径的关系，利用勾股定理，求出圆锥的母线长和底面圆的半径，再根据S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆，计算即可求解。
三、课后巩固
10．已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 cm2(结果保留π).
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图
∵在Rt△SOB中，∠OSB=30°，SB=4
∴OB=SB=2
∴它的侧面积为：=
【分析】根据题意将图形抽象出来，可得出在Rt△SOB中，∠OSB=30°，SB=4，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出底面圆的半径，再根据圆锥的侧面展开图的面积=（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），计算即可。
11．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是
m.(结果不取近似数)
【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图
设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n，
6=，解之：n=180°
∴展开的半个侧面的圆心角是90°，
根据勾股定理得：BP=
答：小猫经过的最短路程是m.
故答案为：
【分析】根据底面圆的周长对于圆锥展开的扇形的弧长，求出圆心角的度数，就可得出展开的半个侧面的圆心角是90°，根据两点之间线段最短，利用勾股定理在Rt△ABP中，求出BP的长，即可求解。
12．若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5cm，则它的侧面积为 .(结果保留π)[
【答案】略
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为6 cm
∴圆锥的底面圆的半径r=3cm
∴圆锥的侧面积=×3×5=15
【分析】根据圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），即可求解。
13．在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△AB C绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于（ ）
A．2∶3 B．3∶4 C．4∶9 D．5∶12
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图
∵Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8
∴
∵把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1
∴S1=
∵把Rt△AB C绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2
∴S2=
∴S1∶S2=96：144=2：3
故答案为：A
【分析】利用勾股定理求出BC的长，再分别求出以直线AC为轴和直线AB为轴旋转一周得到的圆锥的表面积，再求出它们的表面积之比即可。圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积，即圆锥的表面积=（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径）。
14．如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为 cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).
【答案】300
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：底面圆的半径r=
∴围成这个灯罩的铁皮的面积为：=300
故答案为：300
【分析】根据圆锥的侧面积=（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），计算即可。
15．制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ）
A．1425πcm2 B．1650πcm2 C．2100πcm2 D．2625πcm2
【答案】A
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：圆柱的侧面积为：2=
圆柱的底面圆的面积为：
∴需铁皮至少为：1200+225=1425
故答案为：A
【分析】根据题意可得出圆柱底面圆的半径为15，再根据圆柱的侧面积=底面圆的周长×圆柱的高；然后再根据圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面圆的面积，计算即可求解。
16．如图所示，在半径为27m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1m；
=1. 414， =1.732， =2.236，以上数据供参考)
【答案】解：在△SAB中，SA=SB，∠ASB=120°
∵SO⊥AB
∴O是AB的中点。
∴∠ASO=∠BSO=60°.
在Rt△ASO中，OA=27m.
∴tan∠ASO=tan60°=
∴SO=≈15.6m.
答：光源离地面的垂直高度SO为15.6m.
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据题意可知△ASB是等腰三角形，且∠ASB=120°，SO⊥AB，可得出∠ASO=60°，OA=27cm，再在Rt△ASO中，利用解直角三角形求出SO的长即可。
1 / 12017-2018学年数学沪科版九年级下册24.7弧长与扇形面积 第2课时 圆锥的侧面展开图 同步训练
一、课前预习
1．圆锥的底面积为25π，母线长为1 3cm，这个圆锥的底面圆的半径为 cm，高为 cm，侧面积为 cm2.
2．圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为 cm2，锥
角为 ，高为 cm.
3．已知Rt△ABC的两直角边AC=5 cm，BC=12 cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为 cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 cm，面积为 cm2.
4．如图，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为 .
二、课中强化
5．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）
A．6 m2 B．6π m2 C．12 m2 D．12π m2
6．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（ ）
A．a B． a C．3a D．
7．用一张半径为9 cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是 cm.
8．如图，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 (结果保留根式).
9．一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，
求：
（1）圆锥母线与底面半径的比；
（2）锥角的大小；
（3）圆锥的全面积
三、课后巩固
10．已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 cm2(结果保留π).
11．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是
m.(结果不取近似数)
12．若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5cm，则它的侧面积为 .(结果保留π)[
13．在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△AB C绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于（ ）
A．2∶3 B．3∶4 C．4∶9 D．5∶12
14．如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为 cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).
15．制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ）
A．1425πcm2 B．1650πcm2 C．2100πcm2 D．2625πcm2
16．如图所示，在半径为27m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1m；
=1. 414， =1.732， =2.236，以上数据供参考)
答案解析部分
1．【答案】5；12；65π
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，
=25π，解之r=5
设圆锥的高为h
=12
圆锥的侧面积=π×5×13=65π
故答案为：5，12，65π
【分析】根据圆锥的底面积为25π，由圆的面积可求出底面圆的半径；圆锥的母线、高、底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理可求出圆锥的高；根据圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），可求出圆锥的侧面积。
2．【答案】50π；60°；
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：抽象图形如下
∵圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形
∴SB==R=10cm，OB=r=5cm，SO⊥AB
∴锥角为∠ASB=60°
在Rt△SOB中，
∴圆锥的侧面积=πRr=π×10×5=50π
故答案为：50π，60°，
【分析】根据圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，可求出锥角的度数，利用勾股定理可求出圆锥的高，然后根据圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），即可求解。
3．【答案】；；
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图
∵Rt△ABC，AB=
∴以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为：
∴这个圆锥的侧面展开图的弧长：
这个圆锥的侧面展开图的面积就是以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为
故答案为：，，
【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长AB的值，再求出以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积；根据圆锥侧面展开图的弧长=底面圆的周长，计算即可；根据这个圆锥的侧面展开图的面积就是以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积，即可求解。
4．【答案】16
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为4，母线长为6
∴r=2，R=6
∴圆锥的全面积=πRr+πr2=×6×2+4=16
故答案为：16
【分析】根据圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积，即圆锥的表面积=πRr+πr2（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），代入计算即可求解。
5．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵这个圆锥的底面直径是4m，母线长为3m，
∴r=2，R=3
∴圆锥的侧面积=πRr=π×3×2=6πm2
故答案为：B
【分析】根据圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），代入计算即可求解。
6．【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，
∵圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆
∴，解之：
如图，在Rt△SOB中，OB=，SB=a
∴SO=
故答案为：D
【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，设底面圆的半径为r，根据底面圆的周长=展开扇形的弧长，建立方程求解，求出r，再利用勾股定理求出圆锥的高。
7．【答案】3
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设这个圆锥形冰淇淋的底面半径为r
∵R=9，n=120°
∴即
解之：r=3
【分析】根据圆锥的底面圆的周长=侧面展开扇形的弧长（），列出方程，求解即可。
8．【答案】
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；圆锥的计算
【解析】【解答】∵若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，
∴小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，如图
设母线长为R，展开扇形的圆心角的度数为n，
∵l=2πr=，即
解之：n=90°
在Rt△AOB中， AB=
故答案为：
【分析】要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，因此可得出小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，根据2πr=，求出圆心角的度数，再根据勾股定理求出弦AB的长，即可求解。
9．【答案】（1）解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r
∵圆锥的侧面展开图是半圆
∴2r=
∴R=2r
∴R：r=2：1
（2）解：如图
有、由（1）可知：R=2r
在Rt△AOB中，sin∠BSO=
∴∠BSO=30°
∴∠ASB=2∠BSO=60°
故锥角的度数为60°
（3）解：如图
∵在Rt△SOB中，SO=，R=2r
∴
∴
解之：r=3（取正值）
∴R=6
∴S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆=
∴圆锥的全面积为
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件圆锥的侧面展开图是半圆，利用底面圆的周长=展开扇形的弧长，可求出结果。
（2）根据（1）的结论，利用解直角三角形可求出锥角的度数。
（3）根据圆锥的高和圆锥的母线长和底面圆半径的关系，利用勾股定理，求出圆锥的母线长和底面圆的半径，再根据S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆，计算即可求解。
10．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图
∵在Rt△SOB中，∠OSB=30°，SB=4
∴OB=SB=2
∴它的侧面积为：=
【分析】根据题意将图形抽象出来，可得出在Rt△SOB中，∠OSB=30°，SB=4，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出底面圆的半径，再根据圆锥的侧面展开图的面积=（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），计算即可。
11．【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图
设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n，
6=，解之：n=180°
∴展开的半个侧面的圆心角是90°，
根据勾股定理得：BP=
答：小猫经过的最短路程是m.
故答案为：
【分析】根据底面圆的周长对于圆锥展开的扇形的弧长，求出圆心角的度数，就可得出展开的半个侧面的圆心角是90°，根据两点之间线段最短，利用勾股定理在Rt△ABP中，求出BP的长，即可求解。
12．【答案】略
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为6 cm
∴圆锥的底面圆的半径r=3cm
∴圆锥的侧面积=×3×5=15
【分析】根据圆锥的侧面积=πRr（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），即可求解。
13．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图
∵Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8
∴
∵把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1
∴S1=
∵把Rt△AB C绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2
∴S2=
∴S1∶S2=96：144=2：3
故答案为：A
【分析】利用勾股定理求出BC的长，再分别求出以直线AC为轴和直线AB为轴旋转一周得到的圆锥的表面积，再求出它们的表面积之比即可。圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积，即圆锥的表面积=（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径）。
14．【答案】300
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：底面圆的半径r=
∴围成这个灯罩的铁皮的面积为：=300
故答案为：300
【分析】根据圆锥的侧面积=（R是圆锥的母线长，r是底面圆的半径），计算即可。
15．【答案】A
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：圆柱的侧面积为：2=
圆柱的底面圆的面积为：
∴需铁皮至少为：1200+225=1425
故答案为：A
【分析】根据题意可得出圆柱底面圆的半径为15，再根据圆柱的侧面积=底面圆的周长×圆柱的高；然后再根据圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面圆的面积，计算即可求解。
16．【答案】解：在△SAB中，SA=SB，∠ASB=120°
∵SO⊥AB
∴O是AB的中点。
∴∠ASO=∠BSO=60°.
在Rt△ASO中，OA=27m.
∴tan∠ASO=tan60°=
∴SO=≈15.6m.
答：光源离地面的垂直高度SO为15.6m.
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据题意可知△ASB是等腰三角形，且∠ASB=120°，SO⊥AB，可得出∠ASO=60°，OA=27cm，再在Rt△ASO中，利用解直角三角形求出SO的长即可。
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