初中数学苏科版七年级下册 9.4 乘法公式 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·建宁期末）在计算( ) ( )时，最佳的方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（x+2y）（-2y+x）
=x2-（2y）2
=x2-4y2，
即运用了平方差公式，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特点得出即可．
2．（2020七下·高新期末）下列整式运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，A不符合题意；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，B不符合题意；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，C符合题意；
∵ ，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
3．（2020七下·兴化期中）若 ， ，那么 值等于（ ）
A．5200 B．1484 C．5804 D．9904
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】先对 两边平方，再展开，代入数值计算即可得到答案.
4．（2020·朝阳模拟）如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】代数式求值；整式的混合运算
【解析】【解答】解： =x2-1+x2+2x=2(x2+x)-1.
∵ ，
∴原式=2
故答案为：C.
【分析】先将代数式 进行化简，然后代入求值.
5．（2020七下·西安期末）如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故答案为：A.
【分析】将所给两个式子作差可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，即可求长方形面积.
6．（2020七下·泗辖期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：
∵S阴影=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2．
故答案为：B
【分析】阴影部分正方形的边长为a-b，则阴影部分面积为（a-b）2，阴影部分还可以看成边长为a的大正方形的面积，减去两个长为（a-b），宽为b的长方形的面积，再减去边长为b的正方形的面积，根据两种不同的方法分别表示出阴影部分正方形的面积，即可得到恒等式.
7．（2020七下·西湖期末）定义新运算：a*b＝ab+a2﹣b2，则（x+y）*（x﹣y）＝（ ）
A．x2﹣y2 B．x2﹣y2﹣2xy C．x2﹣y2﹣4xy D．x2﹣y2+4xy
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
原式＝（x+y）（x﹣y）+（x+y）2﹣（x﹣y）2
＝x2﹣y2+（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）
＝x2﹣y2+4xy.
故答案为：D.
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果.
8．（2019七下·合肥期中）计算（x+1）（x2+1）（x﹣1）的结果正确的是（ ）
A．x4+1 B．（x+1）4 C．x4﹣1 D．（x﹣1）4
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（x+1）（x2+1）（x﹣1）
＝（x+1）（x﹣1））（x2+1）
＝（x2﹣1）（x2+1）
＝x4﹣1．
故答案为：C．
【分析】先根据交换律变形，再依次根据平方差公式进行计算即可．
9．（2020七下·合肥期中）已知 且 ，则 的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a-b=b-c= ，
∴a-c= ，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]= ，
∴ab+bc+ac=a2+b2+c2- =1- = ；
故答案为：A．
【分析】由已知得出a-c= ，求出a2+b2+c2-ab-bc-ac= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]= ，即可得出所求的值．
10．（2020七下·秦淮期末）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
二、填空题
11．（2020七下·毕节期末）计算：
【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 =-1
故答案为：-1.
【分析】将2021×2019转化为（2020+1）（2020-1），再利用平方差公式进行计算。
12．（2020七下·达县期末）已知 ，则代数式 的值为 ．
【答案】－9
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】由 得 ，∴
【分析】先将变形为，再运用完全平方公式：，求代数式的值即可．
13．（2020七下·抚宁期中）若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m表示的数是 .
【答案】－1或7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式 ，
∴2(m－3)x=2·x·4，
解得m=7或1.
故答案为：7或1.
【分析】根据完全全平方公式的特征，可得2(m－3)x=2·x·4，求出m值即可.
14．（2017七下·苏州期中）若（2a﹣3b）2=（2a+3b）2+N，则表示N的代数式是 ．
【答案】﹣24ab
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（2a﹣3b）2=（2a+3b）2+（﹣24ab），
∴N=﹣24ab，
故答案为﹣24ab．
【分析】根据（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab即可得出答案．
15．（2019七上·徐汇期中）若x2+4x+8y+y2+20＝0，则x﹣y＝ ．
【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由x2+4x+8y+y2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0，
∴x+2＝0，y+4＝0，
解得x＝﹣2，y＝﹣4，
∴x﹣y＝4；
故答案为：4．
【分析】把原式配方，然后，根据完全平方公式和非负数的性质，解答出即可．
16．（2015七下·成华期中）若规定符号 的意义是： =ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3=0时， 的值为 ．
【答案】9
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意可得，
=m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）
=m3﹣7m+3，
∵m2﹣2m﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
将x1=﹣1，x2=3代入m2﹣2m﹣3=0，等式两边成立，
故x1=﹣1，x2=3都是方程的解，
当x=﹣1时，m3﹣7m+3=﹣1+7+3=9，
当x=3时，m3﹣7m+3=27﹣21+3=9．
所以当m2﹣2m﹣3=0时， 的值为9．
故答案为：9．
【分析】结合题中规定符号 的意义，求出 =m3﹣7m+3，然后根据m2﹣2m﹣3=0，求出m的值并代入求解即可．
17．（2020七下·越城期中）利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝ ．
【答案】216
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
＝216．
故答案为：216.
【分析】在原式前面乘以（2 1），利用两数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差，把原式变成可以运用平方差公式的式子，再利用平方差公式计算即可．
18．（2019七下·织金期中）若a=2009x+2007，b=2009x+2008，c=2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 .
【答案】3
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a=2009x+2007，b=2009x+2008，c=2009x+2009
∴a b= 1，a c= 2，b c= 1，
∴
故答案为：3.
【分析】先根据已知条件求出a b= 1，a c= 2，b c= 1，利用完全平方公式把 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca 转化为，再整体代入即可求出答案.
三、解答题
19．（2017七下·苏州期中）先化简，再求值：（x+y+2）（x+y﹣2）﹣（x+2y）2+3y2，其中x=﹣ ，y= ．
【答案】解：原式=（x2+2xy+y2﹣4）﹣（x2+4xy+4y2）+3y2=x2+2xy+y2﹣4﹣x2﹣4xy﹣4y2+3y2=﹣2xy﹣4，
当x=﹣ ，y= 时，原式= ﹣4=﹣
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
20．（2017七下·江苏期中）先化简，再求值：(x＋y)2－2x(x＋3y)＋(x＋2y)(x－2y)，其中x＝－1，y＝2．
【答案】解：原式= =
当x= -1，y=2时，原式= -12+8= -4
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式可将原式化简，即原式= + 2xy + 2 6xy+ 4 = 3 4xy，然后将x＝－1，y＝2代入化简后的代数式计算机可求解。
21．（2017七下·萧山期中）若|x﹣y+1|与（x+2y+4）2互为相反数，化简求代数[（2x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x）的值．
【答案】解：∵|x﹣y+1|与（x+2y+4）2互为相反数，
∴|x﹣y+1|+（x+2y+4）2=0，
∴ ，
解得： ，
原式=（4x2+4y2+8xy﹣9x2+y2﹣5y2）÷2x=（﹣5x2+8xy）÷2x=﹣ x+4y，
当x=﹣2，y=﹣1时，原式=5﹣4=1．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质及相反数的意义求出x与y的值，代入计算即可求出值．
22．（2019七下·中牟期末）小明同学在学习整式时发现，如果合理地使用乘法公式可以简化运算，于是在解此道计算题时他是这样做的（如下）：
第一步
第二步
小华看到小明的做法后，对他说：“你做错了，在第一步运用公式时出现了错误，你好好检查一下.”小明认真仔细检查后，自己发现了一处错误圈画了出来，并进行了纠正（如下）：
小华看到小明的改错后说：“你还有错没有改出来.”
（1）你认为小华说的对吗？ （填“对”或“不对”）；
（2）如果小华说的对，那么小明还有哪些错误没有找出来，请你帮助小明把第一步中的其它错误圈画出来并改正，然后写出此题的正确解题过程.
【答案】（1）对
（2）解：如图，
正确解题过程：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)分析题意，根据平方差公式与完全平方公式的运用及去括号法则，即可判断小华说的对错；
(2)根据完全平方公式化简 ，然后利用平方差公式化简 ，合并同类项即可解答.
23．（2020七上·仙游期中）在边长为a的正方形的一角减去一个边长为 的小正方形（ ），如图①
（1）由图①得阴影部分的面积为 ；
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为 ；
（3）由（1）（2）的结果得出结论： = ；
（4）利用（3）中得出的结论计算：
【答案】（1）
（2）（a+b）（a-b）
（3）；（a+b）（a-b）
（4）解：
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）由图①得阴影部分的面积为 ；
故答案为： ；（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，
则图②中阴影部分的面积为 ；
故答案为： ；（3）由（1）（2）的结果得出结论： = ；
故答案为： ， ；
【分析】根据图形可得阴影部分的面积为或，即可得 = ，最后根据平方差公式计算即可。
24．（2020七下·邛崃期末）
（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值．
（3）如图，有A型、B型、C型三种不同类型的纸板，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为a，宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为 ．
完成下列各题：
①填空 = ；
②请问需要A型纸板、B型纸板、C型纸板各多少张？试说明理由 ．
【答案】（1）解：a2＋b2 3ab＝（a b）2 ab＝4 5＝ 1；
（2）解：∵a2 a 1＝0，
∴a2 a＝1，
∴a3 2a2＋3＝a3 a2 a2＋3，
＝a（a2 a） a2＋3，
＝a a2＋3，
＝ （a2 a）＋3，
＝ 1＋3，
＝2；
（3）a2＋3ab＋2b2；需要A型纸板1张、B型纸板3张、C型纸板2张．
【知识点】代数式求值；单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（3） ①（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2ab＋ab＋2b2＝a2＋3ab＋2b2，
【分析】（1）将a2＋b2 3ab变形为（a b）2 ab，再整体代入计算即可求解；（2）将a3 2a2＋3变形为＝a（a2 a） a2＋3，再整体代入计算即可求解；（3）根据单项式乘以多项式的计算法则计算出结果，从而得出需要纸片的张数．
25．（2020七上·卧龙期中）如图①所示是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长为 ；
（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积.
方法一： ；方法二： ；
（3）观察图②，写出代数式 、 、 之间的等量关系式： ；
（4）计算： .
【答案】（1）m-n
（2）；
（3）
（4）84
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长为： ；
故答案为： ；
（2）方法①： ；
方法②： ；
故答案为： ， ；
（3）这三个代数式之间的等量关系是：
；
故答案为： ；
（4）由（3）得 ，
∴ .
故答案为：84.
【分析】（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m n的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；
方法二，从边长为（m＋n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将（10.5＋2）2 （10.5 2）2化成（10.5 2）2＋4×10.5×2 （10.5 2）2计算即可求解．
26．（2020七下·甘州月考）乘法公式的探究及应用.
（1）小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)；
（2）小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 (写成多项式乘法的形式).
（3）小题3：比较图 1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用式子表达).
【答案】（1）
（2）；；
（3）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积 ；故答案为： ；
小题2：由图可知矩形的宽是 ，长是 ，所以面积是 ；故答案为： ， ， ；
小题3： (等式两边交换位置也可)；
故答案为： .
【分析】对于小题1，利用正方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；对于小题2，利用长方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；对于小题3，由图②与图①阴影部分的面积相等即可得到答案，注意乘法公式等号右边是展开的形式.
27．（2020七下·江阴期中）从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）.
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）
A．a ﹣2ab+b ＝（a﹣b）
B．a ﹣b ＝（a+b）（a﹣b）
C．a +ab＝a（a+b）
（2）若
x ﹣9y ＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；
（3）计算： .
【答案】（1）B
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴ ；
（3）解：
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据阴影部分的面积可得
故上述操作能验证的等式是B；
【分析】（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积，即可得解；（2）利用（1）的结论求解即可；（3）利用（1）的结论进行化简计算即可.
28．（2020七下·丽水期中）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形。
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长是 。
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并写出下列三个代数式：(a+b) ，(a-b) ，ab之间的等量关系；
（3）利用(2)中的结论计算：x-y=2，xy= ，求x+y的值；
（4）根据(2)中的结论，直接写出m+ 和m- 之间的关系；若m -4m+1=0，分别求出m+ 和(m- )2的值。
【答案】（1）a-b
（2）解：阴影部分面积可以表示为：(a-b) 和(a+b)2-4ab，
三个式子(a+b) ，(a-b) ，ab之间的等量关系：(a-b) =(a+b)2-4ab.
（3）解：由(2)可知，(x+y) =(x-y) +4xy=4+5=9，
∴x+y=±3.
（4）解：根据(2)中的结论，可得(m- )2=(m+ )2-4
∴m -4m+1=0，且m不能为0，
∴m-4+ =0，
∴m+ =4，
∴（m- )2=(m+ )2-4=12
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意可知： 图2中的阴影部分的正方形的边长是：a-b；
【分析】（1）根据图形可知，阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，写出即可；
（2）①从整体考虑，用大正方形的面积减去四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；
②从局部考虑，根据正方形的面积公式，小正方形的边长的平方就是阴影部分的面积；根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子应该相等即可得出 (a+b) ，(a-b) ，ab之间的等量关系：(a-b) =(a+b)2-4ab.；
（3）根据（2）所得的等量关系，可得 (x+y) =(x-y) +4xy ，把已知条件代入进行计算即可求解；
（4）根据（2）所得的等量关系，可得 (m- )2=(m+ )2-4 ，然后根据等式的性质将 m -4m+1=0， 变形为 m-4+ =0， 即 m+ =4， 进而根据 (m- )2=(m+ )2-4 ，整体代入即可求出答案.
1 / 1初中数学苏科版七年级下册 9.4 乘法公式 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·建宁期末）在计算( ) ( )时，最佳的方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
2．（2020七下·高新期末）下列整式运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．
3．（2020七下·兴化期中）若 ， ，那么 值等于（ ）
A．5200 B．1484 C．5804 D．9904
4．（2020·朝阳模拟）如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．（2020七下·西安期末）如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2020七下·泗辖期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
7．（2020七下·西湖期末）定义新运算：a*b＝ab+a2﹣b2，则（x+y）*（x﹣y）＝（ ）
A．x2﹣y2 B．x2﹣y2﹣2xy C．x2﹣y2﹣4xy D．x2﹣y2+4xy
8．（2019七下·合肥期中）计算（x+1）（x2+1）（x﹣1）的结果正确的是（ ）
A．x4+1 B．（x+1）4 C．x4﹣1 D．（x﹣1）4
9．（2020七下·合肥期中）已知 且 ，则 的值（ ）
A． B． C． D．
10．（2020七下·秦淮期末）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
11．（2020七下·毕节期末）计算：
12．（2020七下·达县期末）已知 ，则代数式 的值为 ．
13．（2020七下·抚宁期中）若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m表示的数是 .
14．（2017七下·苏州期中）若（2a﹣3b）2=（2a+3b）2+N，则表示N的代数式是 ．
15．（2019七上·徐汇期中）若x2+4x+8y+y2+20＝0，则x﹣y＝ ．
16．（2015七下·成华期中）若规定符号 的意义是： =ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3=0时， 的值为 ．
17．（2020七下·越城期中）利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝ ．
18．（2019七下·织金期中）若a=2009x+2007，b=2009x+2008，c=2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 .
三、解答题
19．（2017七下·苏州期中）先化简，再求值：（x+y+2）（x+y﹣2）﹣（x+2y）2+3y2，其中x=﹣ ，y= ．
20．（2017七下·江苏期中）先化简，再求值：(x＋y)2－2x(x＋3y)＋(x＋2y)(x－2y)，其中x＝－1，y＝2．
21．（2017七下·萧山期中）若|x﹣y+1|与（x+2y+4）2互为相反数，化简求代数[（2x+2y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（2x）的值．
22．（2019七下·中牟期末）小明同学在学习整式时发现，如果合理地使用乘法公式可以简化运算，于是在解此道计算题时他是这样做的（如下）：
第一步
第二步
小华看到小明的做法后，对他说：“你做错了，在第一步运用公式时出现了错误，你好好检查一下.”小明认真仔细检查后，自己发现了一处错误圈画了出来，并进行了纠正（如下）：
小华看到小明的改错后说：“你还有错没有改出来.”
（1）你认为小华说的对吗？ （填“对”或“不对”）；
（2）如果小华说的对，那么小明还有哪些错误没有找出来，请你帮助小明把第一步中的其它错误圈画出来并改正，然后写出此题的正确解题过程.
23．（2020七上·仙游期中）在边长为a的正方形的一角减去一个边长为 的小正方形（ ），如图①
（1）由图①得阴影部分的面积为 ；
（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为 ；
（3）由（1）（2）的结果得出结论： = ；
（4）利用（3）中得出的结论计算：
24．（2020七下·邛崃期末）
（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值．
（3）如图，有A型、B型、C型三种不同类型的纸板，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为a，宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为 ．
完成下列各题：
①填空 = ；
②请问需要A型纸板、B型纸板、C型纸板各多少张？试说明理由 ．
25．（2020七上·卧龙期中）如图①所示是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长为 ；
（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积.
方法一： ；方法二： ；
（3）观察图②，写出代数式 、 、 之间的等量关系式： ；
（4）计算： .
26．（2020七下·甘州月考）乘法公式的探究及应用.
（1）小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)；
（2）小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 (写成多项式乘法的形式).
（3）小题3：比较图 1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用式子表达).
27．（2020七下·江阴期中）从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）.
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）
A．a ﹣2ab+b ＝（a﹣b）
B．a ﹣b ＝（a+b）（a﹣b）
C．a +ab＝a（a+b）
（2）若
x ﹣9y ＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；
（3）计算： .
28．（2020七下·丽水期中）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形。
（1）图2中的阴影部分的正方形的边长是 。
（2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并写出下列三个代数式：(a+b) ，(a-b) ，ab之间的等量关系；
（3）利用(2)中的结论计算：x-y=2，xy= ，求x+y的值；
（4）根据(2)中的结论，直接写出m+ 和m- 之间的关系；若m -4m+1=0，分别求出m+ 和(m- )2的值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（x+2y）（-2y+x）
=x2-（2y）2
=x2-4y2，
即运用了平方差公式，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特点得出即可．
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，A不符合题意；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，B不符合题意；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，C符合题意；
∵ ，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】先对 两边平方，再展开，代入数值计算即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】代数式求值；整式的混合运算
【解析】【解答】解： =x2-1+x2+2x=2(x2+x)-1.
∵ ，
∴原式=2
故答案为：C.
【分析】先将代数式 进行化简，然后代入求值.
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故答案为：A.
【分析】将所给两个式子作差可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，即可求长方形面积.
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：
∵S阴影=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2．
故答案为：B
【分析】阴影部分正方形的边长为a-b，则阴影部分面积为（a-b）2，阴影部分还可以看成边长为a的大正方形的面积，减去两个长为（a-b），宽为b的长方形的面积，再减去边长为b的正方形的面积，根据两种不同的方法分别表示出阴影部分正方形的面积，即可得到恒等式.
7．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：
原式＝（x+y）（x﹣y）+（x+y）2﹣（x﹣y）2
＝x2﹣y2+（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）
＝x2﹣y2+4xy.
故答案为：D.
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果.
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（x+1）（x2+1）（x﹣1）
＝（x+1）（x﹣1））（x2+1）
＝（x2﹣1）（x2+1）
＝x4﹣1．
故答案为：C．
【分析】先根据交换律变形，再依次根据平方差公式进行计算即可．
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a-b=b-c= ，
∴a-c= ，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]= ，
∴ab+bc+ac=a2+b2+c2- =1- = ；
故答案为：A．
【分析】由已知得出a-c= ，求出a2+b2+c2-ab-bc-ac= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]= ，即可得出所求的值．
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
11．【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 =-1
故答案为：-1.
【分析】将2021×2019转化为（2020+1）（2020-1），再利用平方差公式进行计算。
12．【答案】－9
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】由 得 ，∴
【分析】先将变形为，再运用完全平方公式：，求代数式的值即可．
13．【答案】－1或7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式 ，
∴2(m－3)x=2·x·4，
解得m=7或1.
故答案为：7或1.
【分析】根据完全全平方公式的特征，可得2(m－3)x=2·x·4，求出m值即可.
14．【答案】﹣24ab
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（2a﹣3b）2=（2a+3b）2+（﹣24ab），
∴N=﹣24ab，
故答案为﹣24ab．
【分析】根据（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab即可得出答案．
15．【答案】4
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由x2+4x+8y+y2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0，
∴x+2＝0，y+4＝0，
解得x＝﹣2，y＝﹣4，
∴x﹣y＝4；
故答案为：4．
【分析】把原式配方，然后，根据完全平方公式和非负数的性质，解答出即可．
16．【答案】9
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意可得，
=m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）
=m3﹣7m+3，
∵m2﹣2m﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
将x1=﹣1，x2=3代入m2﹣2m﹣3=0，等式两边成立，
故x1=﹣1，x2=3都是方程的解，
当x=﹣1时，m3﹣7m+3=﹣1+7+3=9，
当x=3时，m3﹣7m+3=27﹣21+3=9．
所以当m2﹣2m﹣3=0时， 的值为9．
故答案为：9．
【分析】结合题中规定符号 的意义，求出 =m3﹣7m+3，然后根据m2﹣2m﹣3=0，求出m的值并代入求解即可．
17．【答案】216
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
＝216．
故答案为：216.
【分析】在原式前面乘以（2 1），利用两数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差，把原式变成可以运用平方差公式的式子，再利用平方差公式计算即可．
18．【答案】3
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a=2009x+2007，b=2009x+2008，c=2009x+2009
∴a b= 1，a c= 2，b c= 1，
∴
故答案为：3.
【分析】先根据已知条件求出a b= 1，a c= 2，b c= 1，利用完全平方公式把 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca 转化为，再整体代入即可求出答案.
19．【答案】解：原式=（x2+2xy+y2﹣4）﹣（x2+4xy+4y2）+3y2=x2+2xy+y2﹣4﹣x2﹣4xy﹣4y2+3y2=﹣2xy﹣4，
当x=﹣ ，y= 时，原式= ﹣4=﹣
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
20．【答案】解：原式= =
当x= -1，y=2时，原式= -12+8= -4
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式可将原式化简，即原式= + 2xy + 2 6xy+ 4 = 3 4xy，然后将x＝－1，y＝2代入化简后的代数式计算机可求解。
21．【答案】解：∵|x﹣y+1|与（x+2y+4）2互为相反数，
∴|x﹣y+1|+（x+2y+4）2=0，
∴ ，
解得： ，
原式=（4x2+4y2+8xy﹣9x2+y2﹣5y2）÷2x=（﹣5x2+8xy）÷2x=﹣ x+4y，
当x=﹣2，y=﹣1时，原式=5﹣4=1．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质及相反数的意义求出x与y的值，代入计算即可求出值．
22．【答案】（1）对
（2）解：如图，
正确解题过程：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)分析题意，根据平方差公式与完全平方公式的运用及去括号法则，即可判断小华说的对错；
(2)根据完全平方公式化简 ，然后利用平方差公式化简 ，合并同类项即可解答.
23．【答案】（1）
（2）（a+b）（a-b）
（3）；（a+b）（a-b）
（4）解：
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）由图①得阴影部分的面积为 ；
故答案为： ；（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，
则图②中阴影部分的面积为 ；
故答案为： ；（3）由（1）（2）的结果得出结论： = ；
故答案为： ， ；
【分析】根据图形可得阴影部分的面积为或，即可得 = ，最后根据平方差公式计算即可。
24．【答案】（1）解：a2＋b2 3ab＝（a b）2 ab＝4 5＝ 1；
（2）解：∵a2 a 1＝0，
∴a2 a＝1，
∴a3 2a2＋3＝a3 a2 a2＋3，
＝a（a2 a） a2＋3，
＝a a2＋3，
＝ （a2 a）＋3，
＝ 1＋3，
＝2；
（3）a2＋3ab＋2b2；需要A型纸板1张、B型纸板3张、C型纸板2张．
【知识点】代数式求值；单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（3） ①（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2ab＋ab＋2b2＝a2＋3ab＋2b2，
【分析】（1）将a2＋b2 3ab变形为（a b）2 ab，再整体代入计算即可求解；（2）将a3 2a2＋3变形为＝a（a2 a） a2＋3，再整体代入计算即可求解；（3）根据单项式乘以多项式的计算法则计算出结果，从而得出需要纸片的张数．
25．【答案】（1）m-n
（2）；
（3）
（4）84
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长为： ；
故答案为： ；
（2）方法①： ；
方法②： ；
故答案为： ， ；
（3）这三个代数式之间的等量关系是：
；
故答案为： ；
（4）由（3）得 ，
∴ .
故答案为：84.
【分析】（1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为m n的正方形；
（2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；
方法二，从边长为（m＋n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即可；
（3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式；
（4）将（10.5＋2）2 （10.5 2）2化成（10.5 2）2＋4×10.5×2 （10.5 2）2计算即可求解．
26．【答案】（1）
（2）；；
（3）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积 ；故答案为： ；
小题2：由图可知矩形的宽是 ，长是 ，所以面积是 ；故答案为： ， ， ；
小题3： (等式两边交换位置也可)；
故答案为： .
【分析】对于小题1，利用正方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；对于小题2，利用长方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；对于小题3，由图②与图①阴影部分的面积相等即可得到答案，注意乘法公式等号右边是展开的形式.
27．【答案】（1）B
（2）解：∵
∴
∵
∴
∴ ；
（3）解：
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据阴影部分的面积可得
故上述操作能验证的等式是B；
【分析】（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积，即可得解；（2）利用（1）的结论求解即可；（3）利用（1）的结论进行化简计算即可.
28．【答案】（1）a-b
（2）解：阴影部分面积可以表示为：(a-b) 和(a+b)2-4ab，
三个式子(a+b) ，(a-b) ，ab之间的等量关系：(a-b) =(a+b)2-4ab.
（3）解：由(2)可知，(x+y) =(x-y) +4xy=4+5=9，
∴x+y=±3.
（4）解：根据(2)中的结论，可得(m- )2=(m+ )2-4
∴m -4m+1=0，且m不能为0，
∴m-4+ =0，
∴m+ =4，
∴（m- )2=(m+ )2-4=12
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由题意可知： 图2中的阴影部分的正方形的边长是：a-b；
【分析】（1）根据图形可知，阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，写出即可；
（2）①从整体考虑，用大正方形的面积减去四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；
②从局部考虑，根据正方形的面积公式，小正方形的边长的平方就是阴影部分的面积；根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子应该相等即可得出 (a+b) ，(a-b) ，ab之间的等量关系：(a-b) =(a+b)2-4ab.；
（3）根据（2）所得的等量关系，可得 (x+y) =(x-y) +4xy ，把已知条件代入进行计算即可求解；
（4）根据（2）所得的等量关系，可得 (m- )2=(m+ )2-4 ，然后根据等式的性质将 m -4m+1=0， 变形为 m-4+ =0， 即 m+ =4， 进而根据 (m- )2=(m+ )2-4 ，整体代入即可求出答案.
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