人教版数学八年级上册 14 整式的乘法与因式分解 小节课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
第2课时
14.4 整式的乘法与因式分解小节
八年级上册 RJ
初中数学
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
知识梳理
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
添括号法则
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
a+b+c=a+(b+c)
a-b-c=a- (b+c)
因式分解
概念
提公因式法
确定公因式
提公因式并确定另外一个因式
把多项式写成这两个因式的积的形式
因式分解
平方差公式法
完全平方公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
十字相乘法
一次项系数
1
p
1
q
1×q+1×p=q+p
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
特点：(1) 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2) 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
两个数的和
两个数的差
积
平方差
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2.
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
完全平方公式
特点：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；
(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
a+b+c=a+(b+c);
a-b-c=a- (b+c).
添括号法则:
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解：
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
公因式：
一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
取各项系数的最大公约数
三步确定公因式
③定次数
②定字母
①定系数
取各项中的相同字母
取相同字母的最低次数
当各项都是整数时
公因式的确定方法：
可以是单项式，也可以是多项式
提公因式法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
使用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式.
写成乘积的形式
确定公因式
用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个公因式
提取公因式
先确定系数，再确定字母和字母的次数
提公因式法的一般步骤：
确定另一个公因式
a2-b2=(a+b)(a-b).
用平方差公式分解因式
能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
多项式是一个二项式,两项都能写成平方的形式，且符号相反..
“两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式.
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.
用完全平方公式分解因式:
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
注意:公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
多项式是三项式，其中首、末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同，中间一项是这两个数（或者两个式子）的积的2倍，符号正负都可以；
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可以得出：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
利用上式，可以将某些二次项系数为1的二次三项式进行因式分解.
十字相乘法分解因式的步骤：
(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
(2)分解常数项，分别写在十字交
叉线的右上角和右下角；
(3)交叉相乘，求代数和，使其等
于一次项系数.
一次项系数
1
p
1
q
1×q+1×p=q+p
检查是否分解彻底，若没有则继续分解
一提
考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式
二套
看多有无公因式，若有应先提取公因式
因式分解的一般步骤：
三查
不能直接套公式时可适当变形整理
分析：因式分解步骤 ①有公因式的先提取公因式 ;
②没有公因式的试用公式法 ;
③不能提公因式，不能用公式法的用十字相乘法 ;
④分解因式必须进行到不能再分解为止.
1.综合运用提公因式法、公式法分解因式：
(1) 3a3b-48ab3 ; (2) x4-8x2+16 ;
(3) -4x3y-8x2y-4xy ; (4) 25x2(a-b)+36y2(b-a).
重难剖析
解：(1) 3a3b-48ab3
= 3ab(a2-16b2)
= 3ab[a2-(4b)2]
= 3ab(a+4b)(a-4b) ;
(2) x4-8x2+16
= (x2)2-2 x2 4+42
= (x2-4)2
= [(x+2)(x-2)]2
= (x+2)2(x-2)2 .
1.综合运用提公因式法、公式法分解因式：
(1) 3a3b-48ab3 ; (2) x4-8x2+16 ;
(3) -4x3y-8x2y-4xy ; (4) 25x2(a-b)+36y2(b-a).
解：(3) -4x3y-8x2y-4xy
= -4xy(x2+2x+1)
= -4xy(x+1)2 ;
(4) 25x2(a-b)+36y2(b-a)
= (a-b)(25x2-36y2)
= (a-b)[(5x)2-(6y)2]
= (a-b)(5x+6y)(5x-6y) .
1.综合运用提公因式法、公式法分解因式：
(1) 3a3b-48ab3 ; (2) x4-8x2+16 ;
(3) -4x3y-8x2y-4xy ; (4) 25x2(a-b)+36y2(b-a).
2.先局部分解或展开，再利用公式法分解因式：
(1) (x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2 ;
(2) (x+2)(x-8)+25 .
分析：当多项式不能直接因式分解，但含有单项式与多项式的乘积或多项式与多项式的乘积时，一般先将乘积项展开合并同类项后，再根据多项式的特点选择适当的方法进行因式分解.
解：(1) (x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2
= (x-y)2-8(x-y)(x+y)+[4(x+y)]2
= (x-y)2-2(x-y) 4(x+y)+[4(x+y)]2
= [(x-y)-4(x+y)]2
= (-3x-5y)2= (3x+5y)2 ；
2. 利用公式法分解因式：
(1) (x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2 ;
(2) (x+2)(x-8)+25 .
解：(2) (x+2)(x-8)+25
=x2-8x+2x-16+25
=x2-6x+9
=x2-2 x 3+32
=(x-3)2 .
2.先局部分解或展开，再利用公式法分解因式：
(1) (x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2 ;
(2) (x+2)(x-8)+25 .
3.已知△ABC的三边长为分别为a，b，c，并且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，试判断此三角形的形状.
分析：观察条件中的式子结构发现，有平方和，有两个数的乘积.尝试运用完全平方公式进行因式分解，得到a，b，c之间的数量关系，即可判断出三角形的形状.
解：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0.
∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0.
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c) 2=0.
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0.
∴a=b=c，
3.已知△ABC的三边长为分别为a，b，c，并且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，试判断此三角形的形状.
所以则此三角形为等边三角形.
1.若4x2+mxy+9y2是完全平方式，则m的值为多少？
分析：完全平方公式是形如 a2+2ab+b2或a2-2ab+b2 的式子，将条件中的式子进行变形.
解: ∵4x2+mxy+9y2=(2x)2+mxy+(3y)2，
且原式是完全平方式，
∴±mxy=2 2x 3y.
∴m=±12.
能力提升
2.因式分解：
(1) a4-16a2 ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 ;
(3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ;
(4) (x2+y2)2-4x2y2 .
分解因式要观察式子的形式，选择合适的方法，并且分解后的结果一定要到不能再分解为止.
2.因式分解：
(1) a4-16a2 ; (2) -2a2b2+a3b+ab3 ;
解：(1) a4-16a2
= a2(a2-16)
= a2(a+4)(a-4) ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3
= ab(-2ab+a2+b2)
= ab(a-b)2 ;
2.因式分解：
(3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2 ; (4) (x2+y2)2-4x2y2 .
解：(3) (a2+1)2-4a(a2+1)+4a2
= (a2+1)2-2 (a2+1) 2a+(2a)2
=[(a2+1)-2a]2
=[(a-1)2]2
=(a-1)4 ;
(4) (x2+y2)2-4x2y2
=(x2+y2)2-(2xy)2
=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2 .
3.整数x，y满足方程 2xy+x+y=83，则 x+y 的值为多少？
分析：利用因式分解将等式变形为左边是两个整式的乘积，右边是一个整数的形式，再求出x，y的值，进而求出x+y的值.
∴
2x+1=167， 2y+1=1
或
2x+1=1，
2y+1=167
2x+1=-167，
2y+1=-1
或
2x+1=-1,
2y+1=-167，
或
∴x+y=83或-85.
∴
x=83， x=0 ， x=-84， x=-1，
y=0 y=83 y=-1 y=-84.
或
或
或
3.整数x，y满足方程 2xy+x+y=83，则 x+y 的值为多少？
解:∵2xy+x+y=83，
∴4xy+2x+2y=166，4xy+2x+2y+1=167.
∴2x(2y+1)+(2y+1)=167.
∴(2x+1)(2y+1)=167.
∵167是质数，
∴167只能分解为167和1,-167和-1的乘积的形式.