人教版数学八年级上册 12.4 全等三角形小结第3课时 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
第3课时
12.4 全等三角形小结
八年级上册 RJ
初中数学
角的平分线
性质
判定
会综合利用性质和判定解决实际问题
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
知识梳理
角的平分线
1.作已知角的平分线
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以M,N为圆心，大于 MN
的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部
相交于点C.
C
B
N
O
M
A
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
2.角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
3.证明几何命题的一般步骤
（1）明确一个命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明的过程.
4.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
1.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD一上点,
PE//AB，PF//AC，求证：点D到PE和PF的距离相等.
证明：∵PE//AB， ∴∠BAD=∠EPD.
∵PF//AC， ∴∠CAD=∠FPD.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
∴ ∠EPD=∠FPD，即PD平分∠EPF.
∴点D到PE和PF的距离相等.
C
A
E
F
D
P
B
重难剖析
2.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF=EF.
┐
O
B
A
C
P
E
D
┐
F
证明：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠POD=∠POE，DP=EP.
∴∠DPF=∠POD+∠ODP，∠EPF=∠POE+∠OEP.
∴∠DPF=∠EPF.
在△DPF和△EPF中，
DP=EP，
∠DPF=∠EPF，
PF=PF，
∴△DPF≌△EPF（SAS）. ∴DF=EF.
┐
O
B
A
C
P
E
D
┐
F
3.证明：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等.
已知：如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，AM，DN分别为△ABC和△DEF的中线，且AM=DN.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
M
N
证明：∵BC=EF，AM，DN分别为△ABC和△DEF的中线， ∴CM=FN.
∵在△ACM和△DFN中， AM=DN，
AC=DF，
CM=FN，
∴△ACM≌△DFN. ∴∠C=∠F.
A
B
C
D
E
F
M
N
∵在△ABC和△DEF中， AC=DF，
∠C=∠F，
BC=EF，
∴△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
M
N
4.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线.求证：S△ABD：S△ACD=AB： AC.
证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E，F.
∵AD是△ABC的角平分线，∴DE=DF.
又∵S△ABD= AB DE，S△ACD= AC DF，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC.
A
B
C
D
E
F
┐
┐
1.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB//CD，M是BC的中点，AM平分∠DAB.
（1）DM是否平分∠ADC？请证明你的结论.
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？
请说明理由.
能力提升
判断两条线段的位置关系时，一般不是平行就是垂直，可先从这两种情况思考
E
解：（1）DM平分∠ADC. 证明如下：
如图，过点M作ME⊥AD，垂足为E.
∵∠B=90°，∴MB⊥AB.
∵AM平分∠DAB，MB⊥AB，ME⊥AD，
∴MB=ME. ∵∠B=90°，AB//CD.
∴∠C=90°，即MC⊥CD.
∵M为BC的中点, ∴MC=MB. ∴ME=MC.
∴DM平分∠ADC.
┐
E
（2）DM⊥AM. 理由如下：
∵AB//CD，∴∠CDA+∠BAD=180°.
又∵∠EDM=∠CDM= ∠CDA，
∠EAM=∠BAM= ∠BAD，
∴∠MDA+∠MAD= （∠CDA+∠BAD）=90°.
∴∠DMA=90°. ∴DM⊥AM.
┐
2.如图(1)，在△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，请你添加一个条件使得AD⊥EF.
（1）你添加的条件是 ，并证明AD⊥EF.
注意答案不唯一，可多思考几种答案
解：（1）AD平分∠BAC（答案不唯一），证明如下：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中， AD=AD，
DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠EDA=∠FDA.
设AD交EF于点O，
在△DOE和△DOF中， DE=DF，
∠EDO=∠FDO，
DO=DO，
∴△DOE≌△DOF. ∴∠DOE=∠DOF.
∵∠DOE+∠DOF=180°.
∴∠DOE=∠DOF=90°，即AD⊥EF.
（2）如图(2)，AD为∠BAC的平分线，当有一点G从点D向点A运动时，GE⊥AB，GF⊥AC，垂足分别为E，F.这时AD是否垂直于EF？
（3）如图(3)，当点G从点D出发沿着AD方向运动时，其他条件同(2)，这时AD是否垂直于EF？
（2）AD⊥EF，证明方法同（1）.
（3）AD⊥EF，证明方法同（1）.
由本题可以得出一般结论：从角平分线上一点向角两边引垂线，垂足的连线被角平分线垂直平分.
3.如图，点C在线段AB上，AD//EB，AC=BE，AD=BC
CF平分∠DCE.试探索CF和DE的位置关系,并说明理由.
解：CF⊥DE，证明如下：
∵AD//EB， ∴∠A=∠B.
在△ACD和△BEC中， AD=BC，
∠A=∠B，
AC=BE，
∴△ACD≌△BEC（SAS）. ∴CD=EC.
A
B
C
D
E
F
∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠ECF.
在△DCF和△ECF中， CD=CE，
∠DCF=∠ECF，
CF=CF，
∴△DCF≌△ECF（SAS）.
∴∠CFD=∠CFE.
∵∠CFD+∠CFE=180°，
∴∠CFD=∠CFE=90°.
∴CF⊥DE.
A
B
C
D
E
F