冀教版数学八年级上册17.2直角三角形 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
直角三角形
思考:
什么样的三角形是直角三角形
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
那么这个特殊的三角形有哪些性质呢 我们又怎样来判定一个三角形是直角三角形呢
　 (1)观察图中的三角形,∠C=90°,
从∠A+∠B的度数,能说明什么 为什么
学 习 新 知
直角三角形的两个锐角互余.(性质定理1)
(2)想一想:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗
如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.(判定定理)
(3)讨论:直角三角形的性质定理1和判定定理是什么关系
对应练习
(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一个锐角度数为　　　　.
(3)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,与∠B互余的角有　　 　　;
与∠A互余的角有　　 　;
与∠A相等的角有　　 ;
与∠B相等的角有　　 .
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么∠A=　　　　,∠B=　　　　.
38°
60°
30°
∠A, ∠DCB
∠ACD, ∠B
∠DCB
∠ACD
想一想:
如果在练习(3)中添加∠A=45°的条件,那么各个锐角是多少度 各条线段之间有什么数量关系
猜一猜,量一量:直角三角形斜边上的中线等于斜边一半吗
(1)在一张半透明的纸上画出一个直角三角形,
(2)思考:∠ECF与∠B有什么关系 线段EC与线段EB有什么关系
(3)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB,
∠ACE+∠ECF=∠ACB.你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗 线段AE与线段CE呢 从而你发现了什么结论 将你的结论与大家交流.
CE=AE=EB,即CE是AB的中线,且2CE=AB.
已知:如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证:CD= AB.
∠A=∠FDB,
AD=BD,
∠ADE=∠B,
证明:如图所示,过点D作DE∥BC,交AC于点E,作DF∥AC,交BC于点F.
在△AED和△DFB中
∴ △AED≌△DFB(ASA),
∴AE=DF,ED=FB( ),
全等三角形的对应边相等
同理可证△CDE≌△DCF.
从而ED=FC,EC=FD( ).
全等三角形的对应边相等
∴AE=CE,FC=FB( ).
等量代换
又∵DE⊥AC,DF⊥BC( ),
两直线平行,同位角相等
∴DE为AC的垂直平分线,DF为BC的垂直平分线.
∴AD=CD=BD( ),
线段垂直平分线的性质定理
∴CD= AB.
归纳：
性质定理2:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课堂小结
1.直角三角形的性质定理1
根据三角形内角和等于180°,我们可以得到直角三角形中的两个锐角的和是90°,即直角三角形的两个锐角互余.这样,在直角三角形中,如果已知一个锐角的度数,就可以求出另一锐角的度数.
2.直角三角形的判定定理
如果一个三角形中的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.
要判定一个三角形是直角三角形,只要能证明出一个三角形中有两个角的和是90°,那么这个三角形就是直角三角形.
课堂小结
3.直角三角形的性质定理2
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意:这一性质成立的条件是在直角三角形中,并且是斜边上的中线,直角边上的中线不具备这个性质.在解决直角三角形的问题时,如果涉及到斜边上的中点,那么就要联想到这一性质.
4.含有30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
检测反馈
1.在△ABC中,满足下列条件:
①∠A=60°,∠C=30°;②∠A+∠B=∠C;
③∠A∶∠B∶∠C =3∶4∶5;④∠A=90°-∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析:①∠A=60°,∠C=30°时,
∠B=180°-60°-30°=90°是直角三角形;②∠A+∠B=∠C时,∠A+∠B+∠C=2∠C=180°,∴∠C=90°,是直角三角形;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5时,∠C<90°,是锐角三角形;④∠A=90°-∠C时,∠A+∠C=90°,∠B=90°,
是直角三角形.综上所述,是直角三角形的有①②④,共3个.故选C.
2.设计一张折叠型方桌如图(1)所示,AO=BO=50cm,
CO=DO=30cm,将桌子放平后,要使AB距离地面的高为40 cm,则两条桌腿需要叉开的角度(∠AOB)应为(　　)
A.60° B.90° C.120° D.150°
C
解析:作DE⊥AB于E,如图(2)所示.
∵AD=50+30=80(cm),DE=40cm,∴∠A=30°,
∵AO=BO,∴∠B=∠A=30°,
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°.故选C.
3.如图所示, △ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为 (　　)
A.20 B.12
C.14 D.13
C
解析:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,
∴AD⊥BC,CD=BD= BC=4,∵点E为AC的中点,
∴DE=CE= AC=5,
∴ △CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C.
4.如图所示, △ABC中,∠ACB=90°,CD是高,
∠A=30°,BD=5,则AB的长为(　 )
A.20 B.15
C.10 D.18
A
解析:∵∠ACB=90°,CD是高,
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠BCD=∠A=30°,
在Rt△BCD中,BC=2BD=2×5=10,在Rt△ABC中,
AB=2BC=2×10=20.故选A.
5.如图所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证CD⊥AB.
解析:根据∠ACB=90°,得出∠A+∠B=90°
根据∠ACD=∠B,得出∠A+∠ACD=90°,再根据两锐角
互余的三角形是直角三角形即可得出答案.
证明:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°,
∴ △ACD是直角三角形,
∠ADC=90°,∴CD⊥AB.
6.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D,CE是∠ACB的平分线. (1)求∠DCE的度数.
解析:由图知∠DCE=∠DCB-∠ECB,由∠B=30°,CD⊥AB于D,
利用直角三角形的性质定理,求出∠DCB的度数,再由角平
分线定义得∠ECB=∠ACB,则∠DCE的度数可求;
解:∵∠B=30°,CD⊥AB于D,
∴∠DCB=90°-∠B=60°.
∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ECB= ∠ACB=45°,
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°.
(2)若∠CEF=135°,求证EF∥BC.
解析: 根据∠CEF+∠ECB=180°,由同旁内角互补,两直线平行可以证明EF∥BC.
证明:∵∠CEF=135°,∠ECB= ∠ACB=45°,
∴∠CEF+∠ECB=180°,∴EF∥BC.
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D.求证AD= AB.
解析:在直角三角形ABC中,由∠B=30°,利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,得到AC等于AB的一半,由CD垂直于AB,得到△ACD和△BCD都为直角三角形,由∠B为30°,求出∠ACD为30°,再利用在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AD为AC的一半,等量代换即可得证.
证明:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴AC= AB,
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
在Rt△BCD中,∠B=30°,∴∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-60°=30°,
在Rt△ACD中,AD= AC,∴AD= AB.
8.如图所示,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD为高,且CD,CE三等分∠ACB. (1)求∠B的度数;
解析:利用直角三角形BCD的两个锐角互余进行解答.
解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°,
∴∠BCD=60°,又∵CD为高,
∴∠B=90°-60°=30°.
(2)求证CE是AB边上的中线,且CE= AB.
解析:利用已知条件和(1)中的结论可以得到△ACE是等边三角形和△BCE为等腰三角形,利用等腰三角形的性质证得结论.
证明:(2)由(1)知∠B=∠BCE=30°,∴CE=BE,AC= AB.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠A=60°,
由(1)知∠ACD=∠DCE=30°,∴∠ACE=∠A=60°,
∴ △ACE是等边三角形,∴AC=AE=EC= AB,
∴AE=BE,即点E是AB的中点.
∴CE是AB边上的中线,且CE= AB.
谢 谢