高中数学人教新课标A版 选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式 01 不等式和绝对值不等式
一、选择题
1．若 ，则下列不等式不成立的是（ ）
A． ＞ B． ＞ C． D．|a|＞﹣b
【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A、 ，A不符合题意；
B、取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式 ＞ 不成立，B符合题意；
C、∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴ ，C不符合题意；
D、∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴|a|=﹣a＞﹣b，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质，A选项是同号取倒，改变符号，B选项通过举例证明不成立，C选项是正号可开方性，D选项是不等式两边同时乘以负数改变不等号的方向。
2．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】 ，所以不等式 的解集为 ，
故答案为：A.
【分析】利用则.
3．不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】
，
故答案为：C.
【分析】通过讨论绝对值里的式子的正负，去掉两个绝对值分成三个不等式组，解出解集求并集。
4．不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞， ） B．（﹣∞， ）
C．（ ，+∞） D．（ ，+∞）
【答案】A
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0即|x﹣2|＞|x﹣1|，平方化简可得 2x＜3，
解得x＜ ，
故答案为：A．
【分析】转化成，两边平方解不等式即可。
5．已知x＞﹣1，则函数 的最小值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ ，当且仅当
x=0时取等号．∴函数 的最小值为1，
故答案为：C．
【分析】利用基本不等式求最值，一正、二定、三相等，在不定时两边同时加1，满足条件。
6．关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值三角不等式
【解析】【解答】 ,由绝对值的几何意义可知 表示数轴上的点到 和 的距离之和，其最小值为 ，所以 ，即实数 的取值范围为 ，
故答案为：D.
【分析】利用绝对值三角不等式的几何意义求出最小值 。
7．设正实数x，y满足x+y=1，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为x+y=1，所以
当且仅当
故答案为：B.
【分析】灵活运用"1"的得到基本不等式求最小值 。
8．若正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，则x+y的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，∴3xy=1﹣x2，则 ，
∴ 当且仅当
即 故x+y的最小值是 ，
故答案为：B．
【分析】用x表示 y，再把y代入x+y，利用基本不等式的性质求最值。
二、填空题
9．不等式 的解集 ．
【答案】
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】不等式等价于 或 或 ，即 或 ，故应填 .
【分析】通过讨论绝对值里的式子的正负，去掉两个绝对值分成三个不等式组，解出解集求并集。
10．若关于 的不等式 有解，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】绝对值三角不等式
【解析】【解答】 ，所以原式等价于：
有解，所以 ，解得 ，
解得 .
【分析】不等式有解，等价于求绝对值的最小值，利用绝对值三角不等式解出最小值，解不等式即得。
11．不等式 对于一切非零实数 均成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】∵ 与 同号，∴ （当且仅当 时取“ ”）．∴ ．∴ ，解得 ．故答案为 .
【分析】恒成立问题，可转化为求 | x + |最小值，再解2 > | a 2 | + 1即可。
三、解答题
12．已知关于 的不等式 对 恒成立．
（1）求实数 的最大值；
（2）若 为正实数， 为实数 的最大值，且 ，
求证： ．
【答案】（1）解：由
∵ 对 恒成立． ，∴ 最大值为
（2）解：由（1）知 ，即
当且仅当 时等号成立∴
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）绝对值恒成立问题转化为利用绝对值三角不等式求最小值 。
（2）灵活运用"1"转化为均值不等式求最值问题 。
13．设 .
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 在 上恒成立， 求实数 的取值范围．
【答案】（1）解： ，所以当 时，
， 满足原不等式；
当 时， ， 原不等式即为 解得 满足原不等式；
当 时， 不满足原不等式；
综上原不等式的解集为
（2）解：当 时， ， 由于原不等式 在 上恒成立， ， 在 上恒成立， ， 设 ，易知 在 上为增函数，
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过讨论绝对值里的式子的正负，去掉两个绝对值分成三个不等式组，解出解集求并集。
（2）已知x ∈ [ 3 ， 1 ] 的条件直接去掉绝对值，再通过参变分离转化为求函数g ( x ) = 2 在 x ∈ [ 3 ， 1 ]最小值。
14．已知 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，对 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解： 时，即求解 ，
①当 时， ，∴ ；
②当 时， ，∴ ，无解；
③当 时， ，∴ ．综上，解集为
（2）解：即 恒成立，令
则函数图象如图：
∴ ，∴
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过讨论绝对值里的式子的正负，去掉两个绝对值分成三个不等式组，解出解集求并集。
（2）通过移项转化为 | 2 x a | ≥ 5 x | x 1 | 恒成立，设5 x | x 1 |为 g ( x )，转化为分段函数，利用数形结合求出解集。
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一、选择题
1．若 ，则下列不等式不成立的是（ ）
A． ＞ B． ＞ C． D．|a|＞﹣b
2．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞， ） B．（﹣∞， ）
C．（ ，+∞） D．（ ，+∞）
5．已知x＞﹣1，则函数 的最小值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设正实数x，y满足x+y=1，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
8．若正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，则x+y的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．不等式 的解集 ．
10．若关于 的不等式 有解，则 的取值范围是 ．
11．不等式 对于一切非零实数 均成立，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题
12．已知关于 的不等式 对 恒成立．
（1）求实数 的最大值；
（2）若 为正实数， 为实数 的最大值，且 ，
求证： ．
13．设 .
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 在 上恒成立， 求实数 的取值范围．
14．已知 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，对 恒成立，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A、 ，A不符合题意；
B、取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式 ＞ 不成立，B符合题意；
C、∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴ ，C不符合题意；
D、∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴|a|=﹣a＞﹣b，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质，A选项是同号取倒，改变符号，B选项通过举例证明不成立，C选项是正号可开方性，D选项是不等式两边同时乘以负数改变不等号的方向。
2．【答案】A
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】 ，所以不等式 的解集为 ，
故答案为：A.
【分析】利用则.
3．【答案】C
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】
，
故答案为：C.
【分析】通过讨论绝对值里的式子的正负，去掉两个绝对值分成三个不等式组，解出解集求并集。
4．【答案】A
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0即|x﹣2|＞|x﹣1|，平方化简可得 2x＜3，
解得x＜ ，
故答案为：A．
【分析】转化成，两边平方解不等式即可。
5．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ ，当且仅当
x=0时取等号．∴函数 的最小值为1，
故答案为：C．
【分析】利用基本不等式求最值，一正、二定、三相等，在不定时两边同时加1，满足条件。
6．【答案】D
【知识点】绝对值三角不等式
【解析】【解答】 ,由绝对值的几何意义可知 表示数轴上的点到 和 的距离之和，其最小值为 ，所以 ，即实数 的取值范围为 ，
故答案为：D.
【分析】利用绝对值三角不等式的几何意义求出最小值 。
7．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为x+y=1，所以
当且仅当
故答案为：B.
【分析】灵活运用"1"的得到基本不等式求最小值 。
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵正数x，y满足x2+3xy﹣1=0，∴3xy=1﹣x2，则 ，
∴ 当且仅当
即 故x+y的最小值是 ，
故答案为：B．
【分析】用x表示 y，再把y代入x+y，利用基本不等式的性质求最值。
9．【答案】
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】不等式等价于 或 或 ，即 或 ，故应填 .
【分析】通过讨论绝对值里的式子的正负，去掉两个绝对值分成三个不等式组，解出解集求并集。
10．【答案】
【知识点】绝对值三角不等式
【解析】【解答】 ，所以原式等价于：
有解，所以 ，解得 ，
解得 .
【分析】不等式有解，等价于求绝对值的最小值，利用绝对值三角不等式解出最小值，解不等式即得。
11．【答案】
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】∵ 与 同号，∴ （当且仅当 时取“ ”）．∴ ．∴ ，解得 ．故答案为 .
【分析】恒成立问题，可转化为求 | x + |最小值，再解2 > | a 2 | + 1即可。
12．【答案】（1）解：由
∵ 对 恒成立． ，∴ 最大值为
（2）解：由（1）知 ，即
当且仅当 时等号成立∴
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）绝对值恒成立问题转化为利用绝对值三角不等式求最小值 。
（2）灵活运用"1"转化为均值不等式求最值问题 。
13．【答案】（1）解： ，所以当 时，
， 满足原不等式；
当 时， ， 原不等式即为 解得 满足原不等式；
当 时， 不满足原不等式；
综上原不等式的解集为
（2）解：当 时， ， 由于原不等式 在 上恒成立， ， 在 上恒成立， ， 设 ，易知 在 上为增函数，
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过讨论绝对值里的式子的正负，去掉两个绝对值分成三个不等式组，解出解集求并集。
（2）已知x ∈ [ 3 ， 1 ] 的条件直接去掉绝对值，再通过参变分离转化为求函数g ( x ) = 2 在 x ∈ [ 3 ， 1 ]最小值。
14．【答案】（1）解： 时，即求解 ，
①当 时， ，∴ ；
②当 时， ，∴ ，无解；
③当 时， ，∴ ．综上，解集为
（2）解：即 恒成立，令
则函数图象如图：
∴ ，∴
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过讨论绝对值里的式子的正负，去掉两个绝对值分成三个不等式组，解出解集求并集。
（2）通过移项转化为 | 2 x a | ≥ 5 x | x 1 | 恒成立，设5 x | x 1 |为 g ( x )，转化为分段函数，利用数形结合求出解集。
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