高中数学人教版 选修2-1（理科） 第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量运算的坐标表示
一、单选题
1．向量 , ，若 ，则 的值为（ ）
A．-3 B．1 C．-1 D．3
2．已知 ，若 与 为共线向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ，则直线AB与平面xOz交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 的正方体 ， 的中点E与AB的中点F的距离为（ ）
A． B． C．a D．
5．若向量 、 满足 ，则 等于（ ）
A． B．-5 C．7 D．-7
6．空间四边形ABCD中，若向量 ， ，点E,F分别为线段BC,AD的中点，则 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量 ， ，则以 ，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
8．如图，BC=4，原点O是BC的中点，点 ，点D在平面yOz 上，且 ，则AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知点 ，点 ，那么 两点间的距离为 .
10．已知 为单位正交基底，且 ，则向量 的坐标是 .
11．已知三点 ， ， ，点Q在直线OP上运动，则当 取得最小值时，Q点的坐标是 ．
三、解答题
12．已知
（1）若(k+)∥( 3) ，求实数 k 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
13．已知棱长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点.
（1）求证： ；
（2）求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值.
14．已知向量
（1）求 ；
（2）求向量 与 夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由 ，可得 ，解得x=3，
故答案为：D
【分析】结合向量垂直等价于向量的数量积为零，得到答案.
2．【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为 与 为共线向量，所以存在实数 使得 ，所以 解得 ，
故答案为：D
【分析】向量共线等价于有且只有一个实数使。
3．【答案】D
【知识点】共面向量定理；空间直线的向量参数方程
【解析】【解答】设直线AB与平面xOz交点的坐标是 ，
则 ，又 ， 与 共线，∴存在实数 使得 ，即 解得 ∴ .
故答案为：D
【分析】待定系数法设定在平面xOz的坐标，用向量共线的等量关系来得到直线AB与平面xOz的交点。
4．【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由图易知 ，则 ，
∴ .
故答案为：B
【分析】由空间直角坐标系得到各顶点的坐标，然后根据中点坐标以及空间两点距离坐标公式得到答案。
5．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以
故答案为：B
【分析】根据向量加减法可得到两个向量的空间坐标，再根据空间向量的数量积得到答案。
6．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】取AC中点M，连接ME,MF，则 ，
，从而 ，
故答案为：B.
【分析】构造中点后可利用三角形的中位线得到和向量的坐标表示，再根据向量的加减得到向量的坐标表示。
7．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】依题意得 则 ，所以 ，则平行四边形的面积 ．
故答案为：B
【分析】根据空间向量的坐标可得到向量的模长，再根据数量积的运算公式得到两个向量的余弦值，通过三角函数的换算进一步得到正弦值，最终通过平行四边形的面积计算公式得到答案。
8．【答案】D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为点D在平面yOz上，所以点D的横坐标为0，又BC=4，原点O是BC的中点， ，
所以点D的竖坐标 ，
纵坐标 ．
所以 ．
所以 ，
故答案为：D．
【分析】待定系数法可设D点的空间坐标，由角度可利用三角函数知识得到D点的准确坐标，最后利用两点间距离公式得到答案。
9．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】由两点间的距离公式可知
【分析】直接利用两点间距离公式求解得到答案。
10．【答案】（-5,7,7）
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由 得 ，则 .
【分析】正交基底等价于三个向量两两相乘的数量积为0，利用坐标向量的加减法则得到答案。
11．【答案】
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由点Q在直线OP上可得存在实数 使得 ，则有 ，
所以 ， ，
所以 ，
根据二次函数的性质可得当 时，取得最小值 ，
此时Q点的坐标为 .
【分析】待定系数法及向量的共线得到Q点的参数坐标表示，再利用空间向量的数量积及二次函数最值得到答案。
12．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又 ， ，
解得 ．
（2）解：∵ ，∴ ，
即 ，解得
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】首先直接利用坐标向量的相加减得到向量的坐标表示；
（1）坐标向量的共线关键是要找到唯一的一个实数；
（2）中根据坐标向量的垂直等价于向量的数量积为0得到答案.
13．【答案】（1）证明：以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ，所以 ， ，所以 ，所以
（2）解： ，则 ，又 ，
，所以异面直线A1C与C1F所成角的余弦值是
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的线性运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）合理构建空间直角坐标系是关键；（2）用坐标来表示空间向量后可快速表示各个空间向量，再根据向量的垂直等价于向量的数量积为0得到（1）的答案，（2）可通过向量的数量积表达公式得到答案。
14．【答案】（1）解：因为 所以 .
（2）解：因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以
故 与 夹角的余弦值为
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）可以直接利用向量的模长计算公式得到答案；
（2）中可以利用坐标向量的数量积表达公式得到答案。
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一、单选题
1．向量 , ，若 ，则 的值为（ ）
A．-3 B．1 C．-1 D．3
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由 ，可得 ，解得x=3，
故答案为：D
【分析】结合向量垂直等价于向量的数量积为零，得到答案.
2．已知 ，若 与 为共线向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】因为 与 为共线向量，所以存在实数 使得 ，所以 解得 ，
故答案为：D
【分析】向量共线等价于有且只有一个实数使。
3．已知 ， ，则直线AB与平面xOz交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共面向量定理；空间直线的向量参数方程
【解析】【解答】设直线AB与平面xOz交点的坐标是 ，
则 ，又 ， 与 共线，∴存在实数 使得 ，即 解得 ∴ .
故答案为：D
【分析】待定系数法设定在平面xOz的坐标，用向量共线的等量关系来得到直线AB与平面xOz的交点。
4．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 的正方体 ， 的中点E与AB的中点F的距离为（ ）
A． B． C．a D．
【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由图易知 ，则 ，
∴ .
故答案为：B
【分析】由空间直角坐标系得到各顶点的坐标，然后根据中点坐标以及空间两点距离坐标公式得到答案。
5．若向量 、 满足 ，则 等于（ ）
A． B．-5 C．7 D．-7
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以
故答案为：B
【分析】根据向量加减法可得到两个向量的空间坐标，再根据空间向量的数量积得到答案。
6．空间四边形ABCD中，若向量 ， ，点E,F分别为线段BC,AD的中点，则 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】取AC中点M，连接ME,MF，则 ，
，从而 ，
故答案为：B.
【分析】构造中点后可利用三角形的中位线得到和向量的坐标表示，再根据向量的加减得到向量的坐标表示。
7．已知向量 ， ，则以 ，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】依题意得 则 ，所以 ，则平行四边形的面积 ．
故答案为：B
【分析】根据空间向量的坐标可得到向量的模长，再根据数量积的运算公式得到两个向量的余弦值，通过三角函数的换算进一步得到正弦值，最终通过平行四边形的面积计算公式得到答案。
8．如图，BC=4，原点O是BC的中点，点 ，点D在平面yOz 上，且 ，则AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】因为点D在平面yOz上，所以点D的横坐标为0，又BC=4，原点O是BC的中点， ，
所以点D的竖坐标 ，
纵坐标 ．
所以 ．
所以 ，
故答案为：D．
【分析】待定系数法可设D点的空间坐标，由角度可利用三角函数知识得到D点的准确坐标，最后利用两点间距离公式得到答案。
二、填空题
9．已知点 ，点 ，那么 两点间的距离为 .
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】由两点间的距离公式可知
【分析】直接利用两点间距离公式求解得到答案。
10．已知 为单位正交基底，且 ，则向量 的坐标是 .
【答案】（-5,7,7）
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由 得 ，则 .
【分析】正交基底等价于三个向量两两相乘的数量积为0，利用坐标向量的加减法则得到答案。
11．已知三点 ， ， ，点Q在直线OP上运动，则当 取得最小值时，Q点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由点Q在直线OP上可得存在实数 使得 ，则有 ，
所以 ， ，
所以 ，
根据二次函数的性质可得当 时，取得最小值 ，
此时Q点的坐标为 .
【分析】待定系数法及向量的共线得到Q点的参数坐标表示，再利用空间向量的数量积及二次函数最值得到答案。
三、解答题
12．已知
（1）若(k+)∥( 3) ，求实数 k 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
又 ， ，
解得 ．
（2）解：∵ ，∴ ，
即 ，解得
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】首先直接利用坐标向量的相加减得到向量的坐标表示；
（1）坐标向量的共线关键是要找到唯一的一个实数；
（2）中根据坐标向量的垂直等价于向量的数量积为0得到答案.
13．已知棱长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点.
（1）求证： ；
（2）求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值.
【答案】（1）证明：以D为原点，以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ，所以 ， ，所以 ，所以
（2）解： ，则 ，又 ，
，所以异面直线A1C与C1F所成角的余弦值是
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的线性运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】（1）合理构建空间直角坐标系是关键；（2）用坐标来表示空间向量后可快速表示各个空间向量，再根据向量的垂直等价于向量的数量积为0得到（1）的答案，（2）可通过向量的数量积表达公式得到答案。
14．已知向量
（1）求 ；
（2）求向量 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）解：因为 所以 .
（2）解：因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以
故 与 夹角的余弦值为
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）可以直接利用向量的模长计算公式得到答案；
（2）中可以利用坐标向量的数量积表达公式得到答案。
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