2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：6.3 三角形的中位线
一、知识点1三角形中位线的性质
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 .三角形的中位线 第三边,且等于第三边的 .
【答案】中位线；平行于；一半
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。
故答案为：中位线；平行于；一半.
【分析】根据三角形的中位线定理即可得出答案。
2．如图，在△ABC中，AB=8，点D，E分别是BC，CA的中点，连接DE，则DE= .
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是BC，CA的中点
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=×8=4.
故答案为：4
【分析】根据三角形的中位线定理即可求解。
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE= DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，O是BD的中点，
∵E是BC的中点
∴OE是△BCD和△ABC的中位线
∴OE= DC，OE∥AB
∴∠BOE=∠OBA
因此A、B、C不符合题意，
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质证得OA=OC，O是BD的中点，再根据中位线定理及平行线的性质证得OE= DC，∠BOE=∠OBA，即可得出答案。
4．如图，点D，E，F分别为△ABC各边的中点，下列说法正确的是（ ）
A．DE=DF B．EF= AB
C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别为△ABC各边的中点，
∴DE=AC，AF=CF=AC，EF是△ABC的中位线，BD=CD
∴DE=AF=CF，EF= AB，
因此A、B不符合题意；
∵BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD
∴C符合题意；
∵BD=CD，
∴AD平分BC，AD不一定平分∠BAC，
∴D不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据线段中点的定义及三角形中位线定理可对A、B作出判断，再根据等底同高的两个三角形面积相等，可对C作出判断；D为BC的中点得出AD平分BC，AD不一定平分∠BAC，可对D作出判断，即可得出答案。
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点.若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【知识点】线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴BE=BC，DB=AB，
DE是△ABC的中位线，
∴DE=AC
∴BE+DB+DE=（BC+AB+AC）
∵△DBE的周长是6，
∴BE+DB+DE=6
∴BC+AB+AC=2×6=12
∴△ABC的周长为12.
故答案为：C
【分析】根据线段的中点的定义及三角形中位线定理得出BE+DB+DE=（BC+AB+AC），再根据△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长。
6．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．1+
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1
∴AB=2BC=2，
∵点D，E分别是直角边BC，AC的中点，
∴DE=BC=×2=1.
故答案为：A
【分析】根据30°角的直角边等于斜边的一半求出AB的长，再根据三角形的中位线定义及定理就可求出DE的长，即可得出答案。
7．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，以下结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E，F分别是AP，RP的中点
∴EF是△PAR的中位线，
∴EF=AR
∵当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动，
∴线段EF的长不变，
故答案为：C
【分析】根据已知条件E，F分别是AP，RP的中点，因此连接AR，构造三角形的中位线，得出EF=AR，由于点R不动，因此AR是一个定值，即可得出答案。
二、知识点2三角形中位线在四边形中的应用
8．顺次连接四边形各边中点所成的四边形一定是 .
【答案】平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，已知任意四边形ABCD，E. F. G、H分别是各边中点，连接BD
∵在△ABD中，E. H是AB、AD中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD.
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
EH是△CBD的中位线，
所以GF∥BD，GF=BD，
所以EH=GF，EH∥DF，
所以四边形EFGH为平行四边形.
故答案为：平行四边形。
【分析】根据三角形的中位线定理及平行四边形的判定即可得出结论。
9．如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线
∴EF=AC，EF∥AC
∵G是AC的中点，
∴AG=AC
∴EF=AG
∴四边形AEFG是平行四边形.
同理可证；四边形EFCG、BEGF是平行四边形
此图中平行四边形一共有3个.
故答案为：C
【分析】抓住已知条件，三角形三边中点，根据三角形中位线定理得出EF=AC，EF∥AC，再根据中点定义得出AG=AC，就可证得EF=AG，就可证明四边形AEFG是平行四边形，同理可证得四边形EFCG、BEGF是平行四边形，继而可得出答案。
10．如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC=10 cm，BD=12 cm，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=AC=×10=5
同理可得：HG=AC=×10=5
EH=BD=×12=6
FG=BD=×12=6
∴四边形EFGH的周长=EF+HG+EH+FG=5+5+6+6=22
故答案为：D
【分析】根据三角形的中位线定理及已知条件分别求出EF、HG、EH、FG的长，再求出四边形EFGH的周长即可。
11．（2015八下·大同期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=30°，
∴∠PEF=∠PFE=30
故选D．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，由此可得出结论．
12．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接DN，BD
∵在Rt△ABD中，AB= ，AD=3
∴BD=
=6
∵点E，F分别为DM，MN的中点
∴∴EF是△MDN的中位线
∴EF=DN
当DN最长时，EF长度的最大，
∴当点N与点B重合时，即EF和DN重合，DN最长，
∴EF=×6=3
故答案为：3
【分析】连接DN，BD，根据勾股定理求出BD的长，再根据中位线定理得出EF=DN，然后根据当DN最长时，EF长度的最大，当点N与点B重合时，DN最长，即可求出答案。
13．如图,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接DE,CD和EF.
（1）求证:DE=CF;
（2）求EF的长.
【答案】（1）证明:∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线.∴DE= BC=1.
∵CF= BC=1,
∴DE=CF
（2）解:由(1)知DE是△ABC的中位线,∴DE∥CF.
又∵DE=CF,
∴四边形CDEF是平行四边形.
∴CD=EF.
在等边三角形ABC中,D是AB的中点,
∴CD⊥AB,BD= AB=1.
∴CD= = .
∴EF=
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据已知D,E分别为AB,AC的中点，可得出DE是△ABC的中位线，就可求出DE的长，再根据已知求出CF的长，就可证得结论。
（2）根据中位线定理得出DE∥CF，DE=CF,就可证得四边形CDEF是平行四边形，得出CD=FE，再根据等边三角形的三线合一的性质得出CD⊥AB，求出BD的长，然后根据勾股定理就可求出CD的长，即可得到EF的长。
14．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F.求证：
（1）AE=AF；
（2）BE= (AB+AC).
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵AD∥EM，
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE.
∴∠AEF=∠AFE.
∴AE=AF.
（2）证明：如图，在BE的延长线上截取EG=BE，并连接CG.∵BM=CM，∴EM为△BCG的中位线.∴EM∥CG.∴∠AGC=∠AEF，∠ACG=∠AFE.
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠AGC=∠ACG.
∴AG=AC.
∴BE= BG= (AB+AG)= (AB+AC)
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD，再根据平行线的性质得出∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，就可证得∠AEF=∠AFE，然后根据等边对等角即可证得结论。
（2）在BE的延长线上截取EG=BE，并连接CG，构造△ACG的中位线得出EM∥CG，根据平行线的性质证得∠AGC=∠AEF，∠ACG=∠AFE，再根据∠AEF=∠AFE，从而得到∠AGC=∠ACG，根据等角对等边证出AG=AC，然后根据BE= BG，就可证得结论。
15．如图,在四边形ABCD中,AC=BD,M,N分别是AB,CD的中点,MN分别交BD和AC于点E,F,对角线AC和BD相交于点G,则GE和GF相等吗 为什么
【答案】解:GE=GF.理由如下:取BC的中点P,连接MP,NP.∵AM=BM,BP=CP,∴MP∥AC,MP= AC.同理NP∥BD,NP= BD.∵AC=BD,∴MP=NP.∴∠PMN=∠PNM.∵MP∥AC,NP∥BD,∴∠GFE=∠PMN,∠GEF=∠PNM.∴∠GFE=∠GEF.∴GE=GF.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据已知条件M,N分别是AB,CD的中点，取BC的中点P，连接MP,NP，构造△ABC和△BCD的中位线，根据中位线定理及AC=BD，证出MP=NP，再根据等边对等角得出∠PMN=∠PNM，然后根据平行线的性质证得∠GFE=∠PMN,∠GEF=∠PNM，得出∠GFE=∠GEF，根据等角对等边可证得结论。
16．如图，在 ABCD中，E是DC的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G.求证：GF=GC.
【答案】证明：如图，取BE的中点H，连接FH，CH.∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线.∴FH∥AB且FH= AB.在 ABCD中，AB∥DC，AB=DC.又∵点E是DC的中点，∴EC= DC= AB.∴FH=EC.又∵AB∥DC，∴FH∥EC.∴四边形EFHC是平行四边形.∴GF=GC
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【分析】抓住已知条件：E是DC的中点，F是AE的中点，因此取BE的中点H，连接FH，CH，就可证明FH是△ABE的中位线，得出FH∥AB且FH= AB，再根据平行四边形的性质及点E是DC的中点，证明FH=EC，EC∥FH，就可证明四边形EFHC是平行四边形然后根据平行四边形的对角线互相平分，就可证得结论。
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：6.3 三角形的中位线
一、知识点1三角形中位线的性质
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 .三角形的中位线 第三边,且等于第三边的 .
2．如图，在△ABC中，AB=8，点D，E分别是BC，CA的中点，连接DE，则DE= .
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE= DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE
4．如图，点D，E，F分别为△ABC各边的中点，下列说法正确的是（ ）
A．DE=DF B．EF= AB
C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点.若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．1+
7．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，以下结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
二、知识点2三角形中位线在四边形中的应用
8．顺次连接四边形各边中点所成的四边形一定是 .
9．如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC=10 cm，BD=12 cm，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm
11．（2015八下·大同期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
12．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 .
13．如图,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接DE,CD和EF.
（1）求证:DE=CF;
（2）求EF的长.
14．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F.求证：
（1）AE=AF；
（2）BE= (AB+AC).
15．如图,在四边形ABCD中,AC=BD,M,N分别是AB,CD的中点,MN分别交BD和AC于点E,F,对角线AC和BD相交于点G,则GE和GF相等吗 为什么
16．如图，在 ABCD中，E是DC的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G.求证：GF=GC.
答案解析部分
1．【答案】中位线；平行于；一半
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。
故答案为：中位线；平行于；一半.
【分析】根据三角形的中位线定理即可得出答案。
2．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是BC，CA的中点
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=×8=4.
故答案为：4
【分析】根据三角形的中位线定理即可求解。
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，O是BD的中点，
∵E是BC的中点
∴OE是△BCD和△ABC的中位线
∴OE= DC，OE∥AB
∴∠BOE=∠OBA
因此A、B、C不符合题意，
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质证得OA=OC，O是BD的中点，再根据中位线定理及平行线的性质证得OE= DC，∠BOE=∠OBA，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别为△ABC各边的中点，
∴DE=AC，AF=CF=AC，EF是△ABC的中位线，BD=CD
∴DE=AF=CF，EF= AB，
因此A、B不符合题意；
∵BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD
∴C符合题意；
∵BD=CD，
∴AD平分BC，AD不一定平分∠BAC，
∴D不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据线段中点的定义及三角形中位线定理可对A、B作出判断，再根据等底同高的两个三角形面积相等，可对C作出判断；D为BC的中点得出AD平分BC，AD不一定平分∠BAC，可对D作出判断，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴BE=BC，DB=AB，
DE是△ABC的中位线，
∴DE=AC
∴BE+DB+DE=（BC+AB+AC）
∵△DBE的周长是6，
∴BE+DB+DE=6
∴BC+AB+AC=2×6=12
∴△ABC的周长为12.
故答案为：C
【分析】根据线段的中点的定义及三角形中位线定理得出BE+DB+DE=（BC+AB+AC），再根据△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长。
6．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1
∴AB=2BC=2，
∵点D，E分别是直角边BC，AC的中点，
∴DE=BC=×2=1.
故答案为：A
【分析】根据30°角的直角边等于斜边的一半求出AB的长，再根据三角形的中位线定义及定理就可求出DE的长，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E，F分别是AP，RP的中点
∴EF是△PAR的中位线，
∴EF=AR
∵当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动，
∴线段EF的长不变，
故答案为：C
【分析】根据已知条件E，F分别是AP，RP的中点，因此连接AR，构造三角形的中位线，得出EF=AR，由于点R不动，因此AR是一个定值，即可得出答案。
8．【答案】平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，已知任意四边形ABCD，E. F. G、H分别是各边中点，连接BD
∵在△ABD中，E. H是AB、AD中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD.
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
EH是△CBD的中位线，
所以GF∥BD，GF=BD，
所以EH=GF，EH∥DF，
所以四边形EFGH为平行四边形.
故答案为：平行四边形。
【分析】根据三角形的中位线定理及平行四边形的判定即可得出结论。
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线
∴EF=AC，EF∥AC
∵G是AC的中点，
∴AG=AC
∴EF=AG
∴四边形AEFG是平行四边形.
同理可证；四边形EFCG、BEGF是平行四边形
此图中平行四边形一共有3个.
故答案为：C
【分析】抓住已知条件，三角形三边中点，根据三角形中位线定理得出EF=AC，EF∥AC，再根据中点定义得出AG=AC，就可证得EF=AG，就可证明四边形AEFG是平行四边形，同理可证得四边形EFCG、BEGF是平行四边形，继而可得出答案。
10．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=AC=×10=5
同理可得：HG=AC=×10=5
EH=BD=×12=6
FG=BD=×12=6
∴四边形EFGH的周长=EF+HG+EH+FG=5+5+6+6=22
故答案为：D
【分析】根据三角形的中位线定理及已知条件分别求出EF、HG、EH、FG的长，再求出四边形EFGH的周长即可。
11．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=30°，
∴∠PEF=∠PFE=30
故选D．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，由此可得出结论．
12．【答案】3
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接DN，BD
∵在Rt△ABD中，AB= ，AD=3
∴BD=
=6
∵点E，F分别为DM，MN的中点
∴∴EF是△MDN的中位线
∴EF=DN
当DN最长时，EF长度的最大，
∴当点N与点B重合时，即EF和DN重合，DN最长，
∴EF=×6=3
故答案为：3
【分析】连接DN，BD，根据勾股定理求出BD的长，再根据中位线定理得出EF=DN，然后根据当DN最长时，EF长度的最大，当点N与点B重合时，DN最长，即可求出答案。
13．【答案】（1）证明:∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线.∴DE= BC=1.
∵CF= BC=1,
∴DE=CF
（2）解:由(1)知DE是△ABC的中位线,∴DE∥CF.
又∵DE=CF,
∴四边形CDEF是平行四边形.
∴CD=EF.
在等边三角形ABC中,D是AB的中点,
∴CD⊥AB,BD= AB=1.
∴CD= = .
∴EF=
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据已知D,E分别为AB,AC的中点，可得出DE是△ABC的中位线，就可求出DE的长，再根据已知求出CF的长，就可证得结论。
（2）根据中位线定理得出DE∥CF，DE=CF,就可证得四边形CDEF是平行四边形，得出CD=FE，再根据等边三角形的三线合一的性质得出CD⊥AB，求出BD的长，然后根据勾股定理就可求出CD的长，即可得到EF的长。
14．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∵AD∥EM，
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE.
∴∠AEF=∠AFE.
∴AE=AF.
（2）证明：如图，在BE的延长线上截取EG=BE，并连接CG.∵BM=CM，∴EM为△BCG的中位线.∴EM∥CG.∴∠AGC=∠AEF，∠ACG=∠AFE.
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠AGC=∠ACG.
∴AG=AC.
∴BE= BG= (AB+AG)= (AB+AC)
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAD=∠CAD，再根据平行线的性质得出∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，就可证得∠AEF=∠AFE，然后根据等边对等角即可证得结论。
（2）在BE的延长线上截取EG=BE，并连接CG，构造△ACG的中位线得出EM∥CG，根据平行线的性质证得∠AGC=∠AEF，∠ACG=∠AFE，再根据∠AEF=∠AFE，从而得到∠AGC=∠ACG，根据等角对等边证出AG=AC，然后根据BE= BG，就可证得结论。
15．【答案】解:GE=GF.理由如下:取BC的中点P,连接MP,NP.∵AM=BM,BP=CP,∴MP∥AC,MP= AC.同理NP∥BD,NP= BD.∵AC=BD,∴MP=NP.∴∠PMN=∠PNM.∵MP∥AC,NP∥BD,∴∠GFE=∠PMN,∠GEF=∠PNM.∴∠GFE=∠GEF.∴GE=GF.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据已知条件M,N分别是AB,CD的中点，取BC的中点P，连接MP,NP，构造△ABC和△BCD的中位线，根据中位线定理及AC=BD，证出MP=NP，再根据等边对等角得出∠PMN=∠PNM，然后根据平行线的性质证得∠GFE=∠PMN,∠GEF=∠PNM，得出∠GFE=∠GEF，根据等角对等边可证得结论。
16．【答案】证明：如图，取BE的中点H，连接FH，CH.∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线.∴FH∥AB且FH= AB.在 ABCD中，AB∥DC，AB=DC.又∵点E是DC的中点，∴EC= DC= AB.∴FH=EC.又∵AB∥DC，∴FH∥EC.∴四边形EFHC是平行四边形.∴GF=GC
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【分析】抓住已知条件：E是DC的中点，F是AE的中点，因此取BE的中点H，连接FH，CH，就可证明FH是△ABE的中位线，得出FH∥AB且FH= AB，再根据平行四边形的性质及点E是DC的中点，证明FH=EC，EC∥FH，就可证明四边形EFHC是平行四边形然后根据平行四边形的对角线互相平分，就可证得结论。
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