2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.3 分式的加减法 课时2
一、知识点1最简公分母
1．各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的 的积叫做最简公分母,它类似于小学分数中的 .
2．分式- 和 的最简公分母是（ ）
A．12abc B．12a2bc C．24abc D．24a2bc
3．分式 , , 的最简公分母是 .
4．分式 , , 的最简公分母是 .
5．下列说法错误的是（ ）
A． 与 的最简公分母是6x2
B． 与 的最简公分母是m2-n2
C． 与 的最简公分母是3abc
D． 与 的最简公分母是ab(x-y)(y-x)
二、知识点2通分
6．根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 的同分母的分式,叫做分式的通分.
7．将分式 ， ， ， 通分，正确的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
8．将 ， ， 通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是(x-2)(x+3)2
B． =
C． =
D． =
9．通分:
（1）x-y与 ;'
（2） 与 .
10．若 , 的最简公分母的值是11,则n= .
11．已知分式 ， ，且 =8，其中m是这两个分式中分母的公因式，n是这两个分式的最简公分母，求x的值.
12．先化简,再求值:
,其中x=3.
13．先化简,再求值:
,其中a=- .
14．已知x2+y2+8x+6y+25=0,求 - 的值.
15．已知 - = ，求m2+n2的值.
16．已知a,b为实数,且ab=1,设M= + ,N=,确定M,N的大小关系.
17．先化简,再求值:
÷ ,其中x满足x2+x-2=0.
答案解析部分
1．【答案】最高次幂；最小公倍数
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ：各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做最简公分母,它类似于小学分数中的最小公倍数。
故答案为 ：最高次幂； 最小公倍数；
【分析】各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做最简公分母,它类似于小学分数中的最小公倍数。
2．【答案】B
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ；最简公分母是12a2bc。
故答案为 ；12a2bc.
【分析】几个分母是单项式，它们的最简公分母是它们系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的积，对于只在一个分母中含有的字母连同指数作为最简公分母的一个因式。
3．【答案】(x-1)3
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ：∵（x-1）与（1-x）互为相反数，
∴（1-x）3=-（x-1）3,
∴它们的最简公分母是(x-1)3
故答案为 ：（x-1)3
【分析】由于（x-1）与（1-x）互为相反数，故（1-x）3=-（x-1）3,根据公因式中，相同的因式取最高次幂，从而得出最简公分母。
4．【答案】12(a-2)2(a-1)2
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ：∵a2-4a+4=(a-2)2 , 4a2-8a+4=4(a-1)2 , 3a-6=3(a-2)
∴几个分母的最简公分母是 ：12(a-2)2(a-1)2 。
故答案为 ：12(a-2)2(a-1)2
【分析】首先将各个分母分别分解因式，然后找出各个分母系数的最小公倍数与相同因式的最高次幂的积，只在一个分母中含有的因式连同指数作为最简公分母的一个因式，就可以得出结论了。
5．【答案】D
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ：A、两个分母都是单项式，则它们的最简公分母就是系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的积，A的最简公分母是6x2，故A不符合题意；
B、分母是多项式，则它们的最简公分母应该是它们的乘积，I且每个分母都不能分解因式，故最简公分母是m2-n2，故B不符合题意；
C、两个分母都是单项式，则它们的最简公分母就是系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的积，只在一个单项式中中含有的字母a，c连同指数作为最简公分母的一个因式；C的最简公分母是3abc，故C不符合题意；
D、（x-y）与(y-x)两个因式互为相反数因式，找最简公分母的时候，只取其中一个，故它们的最简公分母是ab（x-y）；D符合题意。
故应选 ：D 。
【分析】如果几个分母都是单项式，则它们的最简公分母就是系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的积，只在一个单项式中中含有的字母连同指数作为最简公分母的一个因式；从而得出A的最简公分母是6x2；C的最简公分母是3abc；如果分母是多项式能分解因式的就分解因式，不能分解因式的作为一个整体，它们的最简公分母是系数的最小公倍数与相同因式的最高次幂的积，对于只在一个分母中含有的因式，则连同指数作为最简公分母的一个因式，从而得出B的最简公分母是m2-n2，D 的最简公分母是ab(x-y)，从而得出答案。
6．【答案】相等
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
故答案为：相等。
【分析】根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
7．【答案】D
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解 ：几个分式的最简公分母是 ：12a2b2 ，
，故A 不符合题意；
，故B 不符合题意；
，故AC不符合题意；
；故D符合题意；
故应选 ：D 。
【分析】几个分式的最简公分母是 ：12a2b2 ，根据分式的性质第一个分式的分子分母应该都乘以6ab2，第二个分式的分子分母都乘以2ab，第三个分式的分子分母都乘以4ab2，第四个分式的分子分母都乘以3a，从而得出A，B，C都不符合题意，只有D符合题意。
8．【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的通分
【解析】【解答】解 ；由于三个分式的分母的最简公分母是(x-2)(x+3)2，根据分式的性质，第一个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x+3）2，
第二个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x+3），第三个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x-2），A，B，C都不符合题意，而D的分子乘以了2x-2，分母乘以了x-2，故D符合题意。
故应选 ：D.
【分析】由于三个分式的分母的最简公分母是(x-2)(x+3)2，根据分式的性质，第一个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x+3）2，
第二个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x+3），第三个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x-2）而第四个分式的分子乘以了2x-2，分母乘以了x-2，故D符合题意。
9．【答案】（1）解:x-y= = , =
（2）解: = = = ,
= =
【知识点】分式的通分；最简公分母
【解析】【分析】（1）第一个是整式，常看成分母为1，故与第二个分式的最简公分母就是第二个分母，根据分式的性质第一个分式的分子分母都乘以x+y，然后分子用平方差公式算出结果即可；
（2）将第一个分式的分母用提公因式的方法分解因式，将第二个分式的分母用平方差公式分解因式，确定出最简公分母是3（x-3）（x+3）,然后根据分式的基本性质再第一个分式的分子分母都乘以-（3+x）,算出结果，在第二个分式的分子分母都乘以3，算出结果，从而得出了同分母分式。
10．【答案】±6
【知识点】最简公分母；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解 ;∵n2-25=（n+5）（n-5）
∴两个分母的最简公分母为（n+5）（n-5） ,
∵最简公分母的值是11 ,
∴（n+5）（n-5） =11
解得 n=±6 .
故答案为 ;±6
【分析】将分母n2-25分解因式为n2-25=（n+5）（n-5）,从而得出两个分母的最简公分母为（n+5）（n-5），根据两个分母的最简公分母的值是11列出方程，求解得出n的值。
11．【答案】解∵3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)，∴m=x-2，n=3(x+2)(x-2).∵ =8，∴ =8，即3(x+2)=8.解得x= .
【知识点】分式的约分；最简公分母
【解析】【分析】将第一个分式的分母3x2-12分解因式为3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)，故第一个分式的分母与第二个分式的分母的公因式为x-2，最简公分母为3(x+2)(x-2).即m=x-2，n=3(x+2)(x-2).根据列出关于x方程，求解得出x的值。
12．【答案】解: =[ - ]· = · = · = .
当x=3时,原式= =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号内，将第一个分式的分母分解因式，然后将括号里的分式通分化为同分母分式，按同分母分式的减法法则计算出结果，再将除法转变为乘法，将分子分母能分解因式的分解因式，然后约分化为最简形式，再代值计算出结果。
13．【答案】解:原式= = = .当a=- 时,原式=-1
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先计算括号里面的，改变第二个加数分母和分式本身的符号，然后按同分母分式的减法法则，再将分式的分子用平方差公式分解因式，然后计算分式的乘法，约分化为最简形式，再代值计算出结果即可。
14．【答案】解:∵x2+y2+8x+6y+25=0 ，
∴(x+4)2+(y+3)2=0.
∴x+4=0 ,y+3=0 ,
∴x=-4,y=-3.
- = - = - = .
当x=-4,y=-3时,原式=- .
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值；偶次幂的非负性
【解析】【分析】首先用分组分解法将x2+y2+8x+6y+25=0，变形为(x+4)2+(y+3)2=0.再根据偶次方的非负性知几个非负数的和为零，则这几个数都为零，从而找到x,y的值，再将分式的分子分母分别分解因式，然后约分，再按同分母分式的减法法则计算出结果，最后再代入x,y的值算出答案。
15．【答案】解：因为 - = = ，
所以 解得
所以m2+n2=42+32=25
【知识点】代数式求值；分式的加减法；解二元一次方程
【解析】【分析】将等式的左边通分为同分母分式，然后按同分母分式的减法法则计算出结果，然后与等式的右边进行比较，分母相等，故分子也应该相等，根据整式相等，其对应的项也应该相等，从而得出，解方程组，得出m，n的值，再代入代数式计算出结果即可。
16．【答案】解法一:∵ab=1,∴M= = = =1,N= = = =1.∴M=N.解法二:∵ab=1,∴M= + = + = + .又∵N= + ,∴M=N.
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】解法一 ：首先将第一个等式的右边通分为同分母分式，然后按同分母分式的加法法则算出结果，再整体代入得出M的值；将第二个等式的右边通分为同分母分式，然后按同分母分式的加法法则算出结果，再整体代入得出N的值；再比较大小即可；
解法二 ：将ab=1替换第一个等式右边分母中的1，然后分母用提公因式方法分解因式，再分式的分子分母分别约分化为最简形式，d得出M的值，再与N的值比大小即可。
17．【答案】解:原式= =x(x+1)=x2+x.
∵x2+x-2=0,∴x2+x=2.则原式=2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将整式看成分母为1，然后通分为同分母分式，按同分母分式的减法法则计算出结果，然后再将分式除法转变为乘法，分子分母能分解因式的分解因式，然后约分化为最简形式，再整体代入计算出结果。
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.3 分式的加减法 课时2
一、知识点1最简公分母
1．各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的 的积叫做最简公分母,它类似于小学分数中的 .
【答案】最高次幂；最小公倍数
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ：各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做最简公分母,它类似于小学分数中的最小公倍数。
故答案为 ：最高次幂； 最小公倍数；
【分析】各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做最简公分母,它类似于小学分数中的最小公倍数。
2．分式- 和 的最简公分母是（ ）
A．12abc B．12a2bc C．24abc D．24a2bc
【答案】B
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ；最简公分母是12a2bc。
故答案为 ；12a2bc.
【分析】几个分母是单项式，它们的最简公分母是它们系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的积，对于只在一个分母中含有的字母连同指数作为最简公分母的一个因式。
3．分式 , , 的最简公分母是 .
【答案】(x-1)3
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ：∵（x-1）与（1-x）互为相反数，
∴（1-x）3=-（x-1）3,
∴它们的最简公分母是(x-1)3
故答案为 ：（x-1)3
【分析】由于（x-1）与（1-x）互为相反数，故（1-x）3=-（x-1）3,根据公因式中，相同的因式取最高次幂，从而得出最简公分母。
4．分式 , , 的最简公分母是 .
【答案】12(a-2)2(a-1)2
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ：∵a2-4a+4=(a-2)2 , 4a2-8a+4=4(a-1)2 , 3a-6=3(a-2)
∴几个分母的最简公分母是 ：12(a-2)2(a-1)2 。
故答案为 ：12(a-2)2(a-1)2
【分析】首先将各个分母分别分解因式，然后找出各个分母系数的最小公倍数与相同因式的最高次幂的积，只在一个分母中含有的因式连同指数作为最简公分母的一个因式，就可以得出结论了。
5．下列说法错误的是（ ）
A． 与 的最简公分母是6x2
B． 与 的最简公分母是m2-n2
C． 与 的最简公分母是3abc
D． 与 的最简公分母是ab(x-y)(y-x)
【答案】D
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解 ：A、两个分母都是单项式，则它们的最简公分母就是系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的积，A的最简公分母是6x2，故A不符合题意；
B、分母是多项式，则它们的最简公分母应该是它们的乘积，I且每个分母都不能分解因式，故最简公分母是m2-n2，故B不符合题意；
C、两个分母都是单项式，则它们的最简公分母就是系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的积，只在一个单项式中中含有的字母a，c连同指数作为最简公分母的一个因式；C的最简公分母是3abc，故C不符合题意；
D、（x-y）与(y-x)两个因式互为相反数因式，找最简公分母的时候，只取其中一个，故它们的最简公分母是ab（x-y）；D符合题意。
故应选 ：D 。
【分析】如果几个分母都是单项式，则它们的最简公分母就是系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的积，只在一个单项式中中含有的字母连同指数作为最简公分母的一个因式；从而得出A的最简公分母是6x2；C的最简公分母是3abc；如果分母是多项式能分解因式的就分解因式，不能分解因式的作为一个整体，它们的最简公分母是系数的最小公倍数与相同因式的最高次幂的积，对于只在一个分母中含有的因式，则连同指数作为最简公分母的一个因式，从而得出B的最简公分母是m2-n2，D 的最简公分母是ab(x-y)，从而得出答案。
二、知识点2通分
6．根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 的同分母的分式,叫做分式的通分.
【答案】相等
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
故答案为：相等。
【分析】根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
7．将分式 ， ， ， 通分，正确的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【答案】D
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解 ：几个分式的最简公分母是 ：12a2b2 ，
，故A 不符合题意；
，故B 不符合题意；
，故AC不符合题意；
；故D符合题意；
故应选 ：D 。
【分析】几个分式的最简公分母是 ：12a2b2 ，根据分式的性质第一个分式的分子分母应该都乘以6ab2，第二个分式的分子分母都乘以2ab，第三个分式的分子分母都乘以4ab2，第四个分式的分子分母都乘以3a，从而得出A，B，C都不符合题意，只有D符合题意。
8．将 ， ， 通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是(x-2)(x+3)2
B． =
C． =
D． =
【答案】D
【知识点】分式的基本性质；分式的通分
【解析】【解答】解 ；由于三个分式的分母的最简公分母是(x-2)(x+3)2，根据分式的性质，第一个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x+3）2，
第二个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x+3），第三个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x-2），A，B，C都不符合题意，而D的分子乘以了2x-2，分母乘以了x-2，故D符合题意。
故应选 ：D.
【分析】由于三个分式的分母的最简公分母是(x-2)(x+3)2，根据分式的性质，第一个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x+3）2，
第二个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x+3），第三个分式的分母要变为(x-2)(x+3)2，分子 分母需要都乘以（x-2）而第四个分式的分子乘以了2x-2，分母乘以了x-2，故D符合题意。
9．通分:
（1）x-y与 ;'
（2） 与 .
【答案】（1）解:x-y= = , =
（2）解: = = = ,
= =
【知识点】分式的通分；最简公分母
【解析】【分析】（1）第一个是整式，常看成分母为1，故与第二个分式的最简公分母就是第二个分母，根据分式的性质第一个分式的分子分母都乘以x+y，然后分子用平方差公式算出结果即可；
（2）将第一个分式的分母用提公因式的方法分解因式，将第二个分式的分母用平方差公式分解因式，确定出最简公分母是3（x-3）（x+3）,然后根据分式的基本性质再第一个分式的分子分母都乘以-（3+x）,算出结果，在第二个分式的分子分母都乘以3，算出结果，从而得出了同分母分式。
10．若 , 的最简公分母的值是11,则n= .
【答案】±6
【知识点】最简公分母；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解 ;∵n2-25=（n+5）（n-5）
∴两个分母的最简公分母为（n+5）（n-5） ,
∵最简公分母的值是11 ,
∴（n+5）（n-5） =11
解得 n=±6 .
故答案为 ;±6
【分析】将分母n2-25分解因式为n2-25=（n+5）（n-5）,从而得出两个分母的最简公分母为（n+5）（n-5），根据两个分母的最简公分母的值是11列出方程，求解得出n的值。
11．已知分式 ， ，且 =8，其中m是这两个分式中分母的公因式，n是这两个分式的最简公分母，求x的值.
【答案】解∵3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)，∴m=x-2，n=3(x+2)(x-2).∵ =8，∴ =8，即3(x+2)=8.解得x= .
【知识点】分式的约分；最简公分母
【解析】【分析】将第一个分式的分母3x2-12分解因式为3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2)，故第一个分式的分母与第二个分式的分母的公因式为x-2，最简公分母为3(x+2)(x-2).即m=x-2，n=3(x+2)(x-2).根据列出关于x方程，求解得出x的值。
12．先化简,再求值:
,其中x=3.
【答案】解: =[ - ]· = · = · = .
当x=3时,原式= =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算括号内，将第一个分式的分母分解因式，然后将括号里的分式通分化为同分母分式，按同分母分式的减法法则计算出结果，再将除法转变为乘法，将分子分母能分解因式的分解因式，然后约分化为最简形式，再代值计算出结果。
13．先化简,再求值:
,其中a=- .
【答案】解:原式= = = .当a=- 时,原式=-1
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先计算括号里面的，改变第二个加数分母和分式本身的符号，然后按同分母分式的减法法则，再将分式的分子用平方差公式分解因式，然后计算分式的乘法，约分化为最简形式，再代值计算出结果即可。
14．已知x2+y2+8x+6y+25=0,求 - 的值.
【答案】解:∵x2+y2+8x+6y+25=0 ，
∴(x+4)2+(y+3)2=0.
∴x+4=0 ,y+3=0 ,
∴x=-4,y=-3.
- = - = - = .
当x=-4,y=-3时,原式=- .
【知识点】因式分解的应用；分式的化简求值；偶次幂的非负性
【解析】【分析】首先用分组分解法将x2+y2+8x+6y+25=0，变形为(x+4)2+(y+3)2=0.再根据偶次方的非负性知几个非负数的和为零，则这几个数都为零，从而找到x,y的值，再将分式的分子分母分别分解因式，然后约分，再按同分母分式的减法法则计算出结果，最后再代入x,y的值算出答案。
15．已知 - = ，求m2+n2的值.
【答案】解：因为 - = = ，
所以 解得
所以m2+n2=42+32=25
【知识点】代数式求值；分式的加减法；解二元一次方程
【解析】【分析】将等式的左边通分为同分母分式，然后按同分母分式的减法法则计算出结果，然后与等式的右边进行比较，分母相等，故分子也应该相等，根据整式相等，其对应的项也应该相等，从而得出，解方程组，得出m，n的值，再代入代数式计算出结果即可。
16．已知a,b为实数,且ab=1,设M= + ,N=,确定M,N的大小关系.
【答案】解法一:∵ab=1,∴M= = = =1,N= = = =1.∴M=N.解法二:∵ab=1,∴M= + = + = + .又∵N= + ,∴M=N.
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】解法一 ：首先将第一个等式的右边通分为同分母分式，然后按同分母分式的加法法则算出结果，再整体代入得出M的值；将第二个等式的右边通分为同分母分式，然后按同分母分式的加法法则算出结果，再整体代入得出N的值；再比较大小即可；
解法二 ：将ab=1替换第一个等式右边分母中的1，然后分母用提公因式方法分解因式，再分式的分子分母分别约分化为最简形式，d得出M的值，再与N的值比大小即可。
17．先化简,再求值:
÷ ,其中x满足x2+x-2=0.
【答案】解:原式= =x(x+1)=x2+x.
∵x2+x-2=0,∴x2+x=2.则原式=2
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将整式看成分母为1，然后通分为同分母分式，按同分母分式的减法法则计算出结果，然后再将分式除法转变为乘法，分子分母能分解因式的分解因式，然后约分化为最简形式，再整体代入计算出结果。
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