2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．
下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有（ ） 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．
故答案为：D．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得 ① 正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得 四边形AEDF是矩形 ；根据角平分线可得∠EAD=∠FAD，根据两直线平行内错角相等可得∠EDA=∠FAD，根据等量代换可得∠EAD=∠EDA，根据等角对等边得到AE=DE，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEDF为菱形；根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，根据 ③ 的方法可得 ④ 正确.
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AO=BO B．AC=AD C．AB=BC D．OD=AC
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、AO=BO，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；
B、AC=AD，不能判断 ABCD是菱形，错误；
C、根据菱形的定义可得，当AB=BC时 ABCD是菱形，正确；
D、OD=AC，不能判断 ABCD是菱形，错误；
故答案为：C
【分析】菱形的判定方法是有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，根据菱形的判定方法可得C正确.
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE=DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ）
A．EB⊥EC B．AB⊥AC C．AB=AC D．BF∥CE
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵BD=DC，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
要使得四边形BECF是菱形，对角线必须垂直，
只有AB=AC时，∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴此时四边形BECF是菱形，
故答案为：C．
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形BECF是平行四边形，要使 四边形BECF是菱形 对角线必须垂直，根据点D是BC的中点，可得只有AB=AC时根据等腰三角形的三线合一可得对角线互相垂直.故选C。
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BC
C．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则
AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD中，S△ABC=S△ACD，即BC×AE=CD×AF，
∴BC=CD，即AB=BC．故B不符合题意；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A不符合题意；
AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C不符合题意；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故答案为：D．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，根据题意的两纸条的宽度相等和三角形的面积公式可得BC=CD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD为菱形，所以D错误.
5．（2017八下·蒙阴期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，
∴OA= = =8，
∴AE=2OA=16；
故选：C．
【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长
6．（初中数学北师大版八年级上册平行线的证明练习题 (4)）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= = =8，
∴AE=2OA=16．
故选：A．
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故答案为：B．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得四边形AFPE为平行四边形，根据平行四边形的对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形可得阴影部分的面积是菱形面积的一半，根据菱形的面积是对角线乘积的一半可得结论.
二、填空题
8．（2017八下·孝义期中）如图四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 使它成为菱形（只需添加一个）
【答案】OA=OC
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：OA=OC，
理由是：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
【分析】OA=OC，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在 ABCD中，AB=5，AC=6，当BD= 时，四边形ABCD是菱形．
【答案】8
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC、BD交于点O，
当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO= AC=3，且AB=5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理可求得BO=4，
∴BD=2BO=8，
故答案为：8．
【分析】如图，设AC、BD交于点O，根据菱形的对角线互相垂直得出AC⊥BD，根据平行四边形的对角线互相平分得出AO= AC=3，然后根据勾股定理算出OB，进而得出BD的长。
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC=AB，请对△ABC添加一个条件： ，使得四边形BCDE成为菱形．
【答案】AB=2BC
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加一个条件：AB=2BC，可使得四边形BCDE成为菱形．理由如下：
∵DC=AB，E为AB的中点，
∴CD=BE=AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB=2BC，
∴BE=BC，
∴四边形BCDE是菱形．
故答案为：AB=2BC．
【分析】先由已知条件得出CD=BE，证出四边形BCDE是平行四边形，再证出BE=BC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BCDE是菱形．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴ AB OC= ×2×OC=4，
解得OC=4cm．
故答案为：4．
【分析】根据作图可得AC=BC=OA，根据四条边相等的四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解.
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长 ．
【答案】16
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴OD=OA，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOA=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO=AO=AD=OC=4，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×4=16，
故答案为：16
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得0D=OA，由∠OAB=120°得∠DOA=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOD是等边三角形得出OD=4，一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形CODE是菱形，根据菱形的四条边相等即可求解.
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF= 度．
【答案】90
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】证明：
如图，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE．
∴ AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．
故答案为：90．
【分析】根据两组对边平行可得四边形AEDF为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分和平行线的性质可得：OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，根据角平分线的定义得∠1=∠2，根据等角对等边得AE=DE进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形AEDF为菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可求解.
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：根据题意得：AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等高，
即DH=AB，
∴S BEDF=BE AB=BF DH，
∴BE=BF，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF，
设BF=xcm，则DF=xcm，AF=AD﹣DF=7﹣x（cm），
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，
∴32+（7﹣x）2=x2，
解得：x= ，
∴BE= cm，
∴S菱形BEDF=BE AB= cm2．
故答案为： cm2．
【分析】根据两组对边平行可得四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的面积公式得平行四边形的一组邻边相等，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形BEDF是菱形，根据菱形的四条边相等和勾股定理列出方程求解.
15．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.2菱形的判定同步练习）如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是 ．（填序号）
①图中共有3个菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
【答案】①②④
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形BEPG是平行四边形，
∴PE=BG，PG=BE，
在△BEP和△PGB中，
∴△BEP≌△PGB（SSS），
∴②正确；
∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，
∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EBP=∠GBP，
∵PE∥BG，
∴∠EPB=∠GBP，
∴∠EBP=∠EPB，
∴BE=PE，
∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，
∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据菱形的判定判断①即可；根据菱形性质求出四边形BEPG是平行四边形，推出PE=BG，PG=BE，根据全等三角形的判定推出△BEP≌△PGB，即可判断②；根据三角形面积公式即可判断③；求出四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，推出AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，求出AH=PE=BG=BE=CF=PG，同理AE=HP=DF=PF=CG，即可判断④．
三、解答题
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．
求证：四边形BDCE是菱形．
【答案】证明：∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=BD，
∴平行四边形BDCE是菱形．
【知识点】菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】根据两组对边平行得
四边形BDCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出一组邻边相等进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解.
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
【答案】（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质和等边对等腰以及三角形的内角和可得
△ABD≌△ACE ；
（2）根据（1）中的结论和四边形的内角和可得 ∠BAE=∠BFE， 根据两组对角相等的四边形是平行四边形可得四边形ABFE是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解答.
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．
【答案】（1）证明：∵在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，
∴AO= AC=3，BO= BD=4，
∵AB=5，且32+42=52，
∴AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形
（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∵S△ABC= AC BO= BC AH，
∴ ×6×4= ×5×AH，
解得：AH= ．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分和勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
（2）根据菱形的四条边相等可得 BC=AB=5 ，根据 S△ABC= AC BO= BC AH 求出AH的值.
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，且AD=4，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求CE的长；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
【答案】（1）解：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB
∴AC∥DE，
又∵MN∥AB，
即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE=AD
∵AD=4
∴CE=4
（2）解：四边形BECD是菱形，理由：
∵D为AB中点，
∴AD=BD
又由（1）得CE=AD，
∴BD=CE，
又∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD
∴四边形BECD是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据同位角相等两直线平行得
AC∥DE ，根据两组对边平行得
四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可求解；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出
CD=BD ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解.
20．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
即MD=5．
菱形BMDN的面积=MD AB=5×4=20，
∵BD= =4 ，
∵菱形BMDN的面积= BD MN=20，
∴MN=2× =2 ．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分和平行线的性质得出
∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，OB=OD ，根据三角形全等的判定方法ASA判定
△DMO≌△BNO 得出
OM=ON ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得
四边形BMDN是平行四边形， 再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
（2）根据菱形的四条边相等和勾股定理列出方程求出MD的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和勾股定理求解.
21．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．
【答案】（1）解：四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形
（2）解：作DH⊥BC于H，
∵四边形EBGD为菱形ED=DG=2，
∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，
∴DH=1，GH= ，
∵∠C=45°，
∴DH=CH=1，
∴CG=GH+CH=1+ ．
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平行线上的点到线段两端点的距离相等和等边对等角得出三角形全等的条件，根据AAS判定
△EFD≌△GFB 证明出
ED=BG ，根据四条边相等得出
四边形EBGD是菱形 ；
（2）根据菱形的四条边相等和直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半得出 DH=1 ，再根据勾股定理得出 GH= 即可求解.
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．
下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有（ ） 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A．AO=BO B．AC=AD C．AB=BC D．OD=AC
3．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE=DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ）
A．EB⊥EC B．AB⊥AC C．AB=AC D．BF∥CE
4．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BC
C．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°
5．（2017八下·蒙阴期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
6．（初中数学北师大版八年级上册平行线的证明练习题 (4)）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
7．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题
8．（2017八下·孝义期中）如图四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 使它成为菱形（只需添加一个）
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在 ABCD中，AB=5，AC=6，当BD= 时，四边形ABCD是菱形．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC=AB，请对△ABC添加一个条件： ，使得四边形BCDE成为菱形．
11．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
12．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长 ．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF= 度．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（华师大版数学八年级下册第十九章第二节19.2.2菱形的判定同步练习）如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是 ．（填序号）
①图中共有3个菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
三、解答题
16．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．
求证：四边形BDCE是菱形．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，且AD=4，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求CE的长；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．
21．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.2.2 菱形的判定 同步练习 ）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．
故答案为：D．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得 ① 正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得 四边形AEDF是矩形 ；根据角平分线可得∠EAD=∠FAD，根据两直线平行内错角相等可得∠EDA=∠FAD，根据等量代换可得∠EAD=∠EDA，根据等角对等边得到AE=DE，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEDF为菱形；根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，根据 ③ 的方法可得 ④ 正确.
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、AO=BO，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；
B、AC=AD，不能判断 ABCD是菱形，错误；
C、根据菱形的定义可得，当AB=BC时 ABCD是菱形，正确；
D、OD=AC，不能判断 ABCD是菱形，错误；
故答案为：C
【分析】菱形的判定方法是有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，根据菱形的判定方法可得C正确.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵BD=DC，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
要使得四边形BECF是菱形，对角线必须垂直，
只有AB=AC时，∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴此时四边形BECF是菱形，
故答案为：C．
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形BECF是平行四边形，要使 四边形BECF是菱形 对角线必须垂直，根据点D是BC的中点，可得只有AB=AC时根据等腰三角形的三线合一可得对角线互相垂直.故选C。
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则
AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD中，S△ABC=S△ACD，即BC×AE=CD×AF，
∴BC=CD，即AB=BC．故B不符合题意；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A不符合题意；
AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C不符合题意；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故答案为：D．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，根据题意的两纸条的宽度相等和三角形的面积公式可得BC=CD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD为菱形，所以D错误.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，同理可得AB=AF，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，
∴OA= = =8，
∴AE=2OA=16；
故选：C．
【分析】先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF= BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长
6．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
同理：AF=BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= = =8，
∴AE=2OA=16．
故选：A．
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AP，EF交于O点，
∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，
∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故答案为：B．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得四边形AFPE为平行四边形，根据平行四边形的对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形可得阴影部分的面积是菱形面积的一半，根据菱形的面积是对角线乘积的一半可得结论.
8．【答案】OA=OC
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：OA=OC，
理由是：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
【分析】OA=OC，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
9．【答案】8
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC、BD交于点O，
当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO= AC=3，且AB=5，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理可求得BO=4，
∴BD=2BO=8，
故答案为：8．
【分析】如图，设AC、BD交于点O，根据菱形的对角线互相垂直得出AC⊥BD，根据平行四边形的对角线互相平分得出AO= AC=3，然后根据勾股定理算出OB，进而得出BD的长。
10．【答案】AB=2BC
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加一个条件：AB=2BC，可使得四边形BCDE成为菱形．理由如下：
∵DC=AB，E为AB的中点，
∴CD=BE=AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB=2BC，
∴BE=BC，
∴四边形BCDE是菱形．
故答案为：AB=2BC．
【分析】先由已知条件得出CD=BE，证出四边形BCDE是平行四边形，再证出BE=BC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BCDE是菱形．
11．【答案】4
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴ AB OC= ×2×OC=4，
解得OC=4cm．
故答案为：4．
【分析】根据作图可得AC=BC=OA，根据四条边相等的四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解.
12．【答案】16
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴OD=OA，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOA=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴DO=AO=AD=OC=4，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×4=16，
故答案为：16
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得0D=OA，由∠OAB=120°得∠DOA=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOD是等边三角形得出OD=4，一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形CODE是菱形，根据菱形的四条边相等即可求解.
13．【答案】90
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】证明：
如图，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE．
∴ AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．
故答案为：90．
【分析】根据两组对边平行可得四边形AEDF为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分和平行线的性质可得：OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，根据角平分线的定义得∠1=∠2，根据等角对等边得AE=DE进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形AEDF为菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：根据题意得：AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等高，
即DH=AB，
∴S BEDF=BE AB=BF DH，
∴BE=BF，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF，
设BF=xcm，则DF=xcm，AF=AD﹣DF=7﹣x（cm），
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，
∴32+（7﹣x）2=x2，
解得：x= ，
∴BE= cm，
∴S菱形BEDF=BE AB= cm2．
故答案为： cm2．
【分析】根据两组对边平行可得四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的面积公式得平行四边形的一组邻边相等，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形BEDF是菱形，根据菱形的四条边相等和勾股定理列出方程求解.
15．【答案】①②④
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形BEPG是平行四边形，
∴PE=BG，PG=BE，
在△BEP和△PGB中，
∴△BEP≌△PGB（SSS），
∴②正确；
∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，
∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EBP=∠GBP，
∵PE∥BG，
∴∠EPB=∠GBP，
∴∠EBP=∠EPB，
∴BE=PE，
∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，
∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据菱形的判定判断①即可；根据菱形性质求出四边形BEPG是平行四边形，推出PE=BG，PG=BE，根据全等三角形的判定推出△BEP≌△PGB，即可判断②；根据三角形面积公式即可判断③；求出四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，推出AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，求出AH=PE=BG=BE=CF=PG，同理AE=HP=DF=PF=CG，即可判断④．
16．【答案】证明：∵BE∥CD，CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形．
∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴CD=BD，
∴平行四边形BDCE是菱形．
【知识点】菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】根据两组对边平行得
四边形BDCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出一组邻边相等进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解.
17．【答案】（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质和等边对等腰以及三角形的内角和可得
△ABD≌△ACE ；
（2）根据（1）中的结论和四边形的内角和可得 ∠BAE=∠BFE， 根据两组对角相等的四边形是平行四边形可得四边形ABFE是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解答.
18．【答案】（1）证明：∵在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，
∴AO= AC=3，BO= BD=4，
∵AB=5，且32+42=52，
∴AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形
（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∵S△ABC= AC BO= BC AH，
∴ ×6×4= ×5×AH，
解得：AH= ．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分和勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
（2）根据菱形的四条边相等可得 BC=AB=5 ，根据 S△ABC= AC BO= BC AH 求出AH的值.
19．【答案】（1）解：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB
∴AC∥DE，
又∵MN∥AB，
即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE=AD
∵AD=4
∴CE=4
（2）解：四边形BECD是菱形，理由：
∵D为AB中点，
∴AD=BD
又由（1）得CE=AD，
∴BD=CE，
又∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD
∴四边形BECD是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据同位角相等两直线平行得
AC∥DE ，根据两组对边平行得
四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可求解；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出
CD=BD ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
即MD=5．
菱形BMDN的面积=MD AB=5×4=20，
∵BD= =4 ，
∵菱形BMDN的面积= BD MN=20，
∴MN=2× =2 ．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分和平行线的性质得出
∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，OB=OD ，根据三角形全等的判定方法ASA判定
△DMO≌△BNO 得出
OM=ON ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得
四边形BMDN是平行四边形， 再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
（2）根据菱形的四条边相等和勾股定理列出方程求出MD的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和勾股定理求解.
21．【答案】（1）解：四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形
（2）解：作DH⊥BC于H，
∵四边形EBGD为菱形ED=DG=2，
∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，
∴DH=1，GH= ，
∵∠C=45°，
∴DH=CH=1，
∴CG=GH+CH=1+ ．
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平行线上的点到线段两端点的距离相等和等边对等角得出三角形全等的条件，根据AAS判定
△EFD≌△GFB 证明出
ED=BG ，根据四条边相等得出
四边形EBGD是菱形 ；
（2）根据菱形的四条边相等和直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半得出 DH=1 ，再根据勾股定理得出 GH= 即可求解.
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