高一数学人教A版（2019）必修第二册学案：8.3.2 简单几何体的的表面积和体积（含解析）

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习目标
1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的计算公式。
2. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的体积的计算公式。
基础梳理
1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：
（r是底面半径，l是母线长），
（r是底面半径，l是母线长），
（r分别是上、下底面半径，l是母线长）。
2. 圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
（r是底面半径，h是高），
（r是底面半径，h是高）。
（r分别是上、下底面半径，h是高）。
3. 球的表面积和体积公式： ；
随堂训练
1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)
A．4π B．3π　　　C．2π　　　D．π
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)
A．π B．2π C．4π D．8π
3．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　)
A．5π B．6π C．20π D．10π
4．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　)
A．54 B．54π
C．58 D．58π
5．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．2πC2
6.长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是(　　)
A．12π　　　B． 18π　　　C．36π　　　D． 6π
7．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　)
A．2倍 B．4倍　　　　C．8倍　　　　D．16倍
8．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________．
9．已知一个圆台的正视图如图所示，若其侧面积为3π，则a的值为____．
10．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是________．
11.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
12．一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上，则正方体的表面积为________．
13.(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；
(2)已知球的体积为，求它的表面积．
14.若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
答案
随堂训练
1. 答案：C　[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.]
2. 答案：B　[设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，
由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π， 所以r＝1, 所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.]
3. 答案：D　[用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.]
4. 答案：A　[设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似得＝，∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.]
5. 答案：C　[由2πR＝C，得R＝，所以S球面＝4πR2＝.]
6. 答案：A　[由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2，从而球的半径为，球表面积为12π.]
7. 答案：C　[设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．]
8. 答案：　[设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.]
9. 答案：2　[圆台的两底面半径分别为1，2，高为a, 则母线长为， 则其侧面积等于π(1＋2)·＝3π，解得a2＝4，所以a＝2(舍去负值)．]
10. 答案：　[如图所示， 设圆锥的底面半径为r, 母线长为l.
由题意，得解得r＝.
所以圆锥的底面面积为πr2＝π×＝.]
11. 答案：3π　[由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.]
12. 答案：8　[设球的半径为R，正方体的棱长为a，
则πR3＝π，故R＝1，由a＝2R＝2，所以a＝，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×＝8.]
13. [解]　(1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝πR3＝π.
(2)由V＝πR3＝π，
所以R＝3，所以S＝4πR2＝36π.
14. [解]　设圆锥的底面半径为r，母线为l，
则2πr＝πl，得l＝6r.
又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝，
圆锥的高h＝·，
V＝πr2h＝π×××＝π.
2