第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
学习目标
1. 掌握基本事实4的内容及应用；
2. 理解空间等角定理的内容及应用.
基础梳理
1. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线___________.
2. 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________.
随堂训练
1. 空间任意两个角，，且与的两边对应平行，，则为（ ）
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
2. 若AB//A'B'，AC//A'C'，有下列结论：
①∠BAC=∠B'A'C'；
②∠ABC+∠A'B'C'=180°；
③∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°.
则一定成立的是____________（填序号）.
3. 如图所示，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点．求证：EE′∥FF′.
4. 如图所示，OA、OB、OC为不共面的三条射线，点A1、B1、C1分别是OA、OB、OC上的点，且＝＝成立.求证：△A1B1C1∽△ABC.
5. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点.求证：∠NMP=∠BA1D.
答案
基础梳理
1. 平行.
2. 相等或互补.
随堂训练
1. 答案：D
解析：与相等或互补，为60°或120°，故选D.
2. 答案：③
解析：∵AB//A'B'，AC//A'C'，
∴∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°.
3. 答案：证明：∵E、E′分别是AB、A′B′的中点，
∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
∴四边形EBB′E′是平行四边形．
∴EE′∥BB′.
同理可证FF′∥BB′.
∴EE′∥FF′.
4. 答案：证明：在△OAB中，
∵＝，∴A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
∴∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
∴△A1B1C1∽△ABC.
5. 答案：证明：如图，连接CB1，CD1，
∵CDA1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C.
∵M，N分别是CC1，B1C1的中点，
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.
∵BCA1D1，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1.
∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，
∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP=∠BA1D.
2第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
学习目标
理解直线与平面平行的判定定理；
理解直线与平面平行的性质定理；
能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
基础梳理
直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面__________.
符号表示：且.
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与__________平行.
随堂训练
在三棱台ABC-A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.在平面内 D.不确定
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线与平面ACE平行的是( )
A.BA1 B.BD1
C.BC1 D.BB1
若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
（1）与直线CD平行的平面是__________；
（2）与直线CC'平行的平面是__________；
（3）与直线CB平行的平面是__________.
5. 如图①，已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图②，则BF与平面ADE的位置关系是___________.
6. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
7. 如图所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.求证：AC＝BD.
8. 如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．
答案
基础梳理
平行；.
交线
随堂训练
答案：B
解析：∵AB∥A1B1，AB 平面A1B1C1，A1B1 平面A1B1C1，
∴AB∥平面A1B1C1.故选B.
答案：B
解析：如图，连接BD1，BD，设AC∩BD=O，则O是BD的中点，连接OE.
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
∴OE∥BD1.
又OE 平面ACE，BD1 平面ACE，
∴BD1∥平面ACE.故选B.
答案：C
解析：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.
∵EF 平面BCD，GH 平面BCD.
∴EF∥平面BCD.
∵EF 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，
∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.
同理可得AB∥平面EFGH.故选C.
4. 答案：（1）平面A'B'C'D'，平面A'ABB'；（2）平面A'ABB'，平面A'ADD'；（3）平面A'ADD'，平面A'B'C'D'.
5. 答案：平行
解析：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB=FD.
又EB∥FD，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥ED.
∵DE 平面ADE，而BF 平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
答案：
解析：∵在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF 平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF＝AC＝.
答案：证明：如图所示，连接CD，
∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，
又AB∥α，AB β，α∩β＝CD，
∴AB∥CD.
∴四边形ABDC是平行四边形．
∴AC＝BD.
答案：如图，连接BD交AC于O1，连接OM，
∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，
∴OM∥PC，
∴＝，
在菱形ABCD中，∵E，F分别是边BC，CD的中点，
∴＝.
又AO1＝CO1，∴＝＝，
故PM∶MA＝1∶3.
2第八章 立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.3平面与平面平行
学习目标
理解平面与平面平行的判定定理；
理解平面与平面平行的性质定理；
能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
基础梳理
平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面___________.
符号表示：
平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线___________.
随堂训练
已知平面平面β，过平面内的一条直线a的平面与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是( )
A.平面内有一条直线与平面平行
B.平面内有两条直线与平面平行
C.平面内有一条直线与平面内的一条直线平行
D.平面与平面不相交
下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )
过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是____________.
5. 如图，四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
6. 如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．
7. 如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点.求证：
（1）A1B∥平面AC1D；
（2）平面A1BD1∥平面AC1D.
答案
基础梳理
平行；.
平行.
随堂训练
答案：A
解析：由面面平行的性质定理可知选项A正确.故选A.
答案：D
解析：选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面内的这两条直线必须相交才能得到平面与平面平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.故选D.
答案：B
解析：在B中，
如图，连接MN，PN，
∵A，B，C为正方体所在棱的中点，
∴AB∥MN，AC∥PN，
∵MN∥DE，PN∥EF，
∴AB∥DE，AC∥EF，
∵AB∩AC=A，DE∩EF=E，AB，AC 平面ABC，DE，EF 平面DEF，
∴平面ABC∥平面DEF.故选B.
答案：平行
解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1，
平面ABCD∩平面A1C1B=l，
∴l∥A1C1.
答案：平行四边形
解析：∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，
∴AB∥A1B1，
同理可证CD∥C1D1.
又A1B1∥C1D1，
∴AB∥CD.
同理可证AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
6. 答案：证明：∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，
∴N为AC的中点．
7. 答案：证明：（1）由题意，ABCA1B1C1是三棱柱，连接A1C，与AC1交于O，连接DO，可得A1B∥DO，
∵DO 平面AC1D，A1B 平面AC1D，
∴A1B∥平面AC1D.
（2）由（1）可知A1B∥DO，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，
∴D1B∥C1D，
∵DO，C1D 平面AC1D，DO∩C1D=D，
D1B，A1B 平面A1BD1，D1B∩A1B=B，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
2
