高一数学人教版A（2019）必修第二册学案：8.6.1直线与直线垂直（含解析）

8.6.1 直线与直线垂直
学习目标
掌握异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角。
掌握直线与直线垂直的定义。
基础梳理
空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线。
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，我们把直线与所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。直线a与直线b垂直，记作。
当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0。所以空间两条直线所成角α的取值范围是0随堂训练
1、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能
2、如果点M是两条异面直线外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面( )
A. 只有一个 B. 恰有两个
C. 没有或只有一个 D. 有无数个
3、如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、已知两异面直线所成的角为,过空间一点作直线，使得与的夹角均为,那么这样的直线有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
5、将图1中的等腰直角三角形沿斜边上的中线折起得到空间四面体（如图2），则在空间四面体中，与的位置关系是（ ）
A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直
6、在正方体中,E为棱的中点，则( )
A. B. C. D.
7、在三棱锥中,已知,,点分别为棱的中点,则下列结论正确的是( )
A.直线直线 B.直线直线
C.直线直线 D.直线直线
8、如图,正方体中, 、分别为棱、的中点,有以下四个结论:
①直线与是相交直线;
②直线与是异面直线;
③直线与是平行直线;
④直线与是异面直线.
其中正确的结论为__________.
9、如图,在正方体中, 分别为的中点,则异面直线与所成的角等于__________.
10、设为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在的直线与都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线与成角时, 与成角;
②当直线与成角时, 与成角;
③直线与所成角的最小值为;
④直线与所成角的最大值为.
其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号)
11、如图，在正三棱锥中，．若的中点为的中点为求与的夹角
答案
随堂训练
1答案及解析：
答案：D
解析：在空间,垂直于同一条直线的两条直线可能平行,相交,异面.
2答案及解析：
答案：C
解析：当过点M与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时,此时找不到一个过M的平面与两条异面直线都平行；当过点M与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线不平行时,利用线面平行的判断定理,可得1个平面与a,b都平行．故选C．
3答案及解析：
答案：C
解析：在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有:，,，共3条.
4答案及解析：
答案：C
解析：过P作与平行的直线
如图,
直线过点P且,这样的直线有两条
又,直线为的平分线，则
综上，满足条件的直线的条数为3
5答案及解析：
答案:C
解析: 对于原图：∵是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，∴.在四面体ABCD中，∵，，，∴平面BCD.∴.又AD与BC是异面直线.综上可知：在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是异面垂直.所以C选项是正确的.
6答案及解析：
答案：C
解析：∵在平面上的投影为,而不与垂直,∴错误;
∵在平面上的投影为,∴,故正确;
∵在平面上的投影为,而不与垂直,故A错误.故选C.
7答案及解析：
答案：D
解析：如图，
，，
，得，取PB中点G，连接AG，CG，则，，
又，，则，
D、E分别为棱BC、PC的中点，，则。
8答案及解析：
答案：②④
解析：直线与是异面直线,直线与是异面直线.
9答案及解析：
答案：60°
解析：连接,由题意得,.∴异面直线与所成的角为与所成的角,即或其补角,又,∴,所以与所成的角等于.
10答案及解析：
答案：②③
解析：如图, 是以为轴, 为底面半径的圆锥的母线, 垂直圆锥底面,在底面内过点作,交点面圆于点,连接,则,所以.连接,令,在等腰△中, ,当直线与成角时, ,故,又在中, ,所以,连接,由圆的对称性可知,所以△为等边三角形,所以,即与成角,②正确,①错误.由图可知③正确;很明显,可以满足直线平面,则直线与所成角的最大值为,④错误.故正确的是②③.
11.答案及解析：
答案：（1）分别为的中点，，
则为与所成角，
在中，由，，
可得，
与的夹角为；
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