高一数学人教版A（2019）必修第二册学案：8.6.3平面与平面垂直（含解析）

8.6.3 平面与平面垂直
学习目标
理解二面角、二面角的平面角的概念。
理解两个平面垂直的定义。
理解平面与平面垂直的判定定理。
能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题。
理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明
能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
基础梳理
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-。
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。二面角的平面角的取值范围是。
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 平面和垂直，记作。
判定两个平面互相垂直的定理：
定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直。
平面与平面垂直的性质定理：定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
随堂训练
1、如图所示，四边形中，，，.将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列结论正确的是（ ）
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
2、已知四棱锥的底面是正方形,侧棱长均相等, 是线段上的点(不含端点),设与所成的角为,与平面所成的角为,二面角的平面角为,则( )
A. B. C. D.
3、在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为（　 　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4、如图所示,在四边形中, ,将沿折起至位置,使平面平面,构成三棱锥,则在三棱锥中,下列结论正确的是( )
A.平面平面
B.平面平面
C.平面平面
D.平面平面
5、如图,已知正四面体 (所有棱长均相等的三棱锥), 分别为,,上的点, , ,分别记二面角,,的平面角为,,,则( )
A. B. C. D.
6、如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，M是上的一个动点，若要使得平面 平面,则应补充的一个条件可以是（ ）
A. B. C. D.M是棱的中点
7、下列命题中错误的是( )
A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面
B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C.如果平面平面,平面平面,,那么平面
D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面
8、四面体中，，底面为等腰直角三角形，为中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面　 　．（只填序号，只填一组即可）
①平面；②平面；③平面；④平面；⑤平面。
9、将正方形沿对角线折成直二面角，则与所成的角等于__________
10、将正方形沿对角线折成直二面角，
①与平面所成角的大小为；②是等边三角形；
③与所成的角为；④；⑤二面角为
则上面结论正确的为________
11、如图,在四棱锥中, ,且.
(1)证明:平面平面;
(2)若,,且四棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.
12、如图，在四棱锥中，平面，， ，，，，为侧棱上一点.
（1）若，求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
答案
随堂训练
1答案及解析：
答案：D
解析：∵在四边形ABCD中，，，，，∴.
又平面平面，
且平面平面，
故平面，则.
又，， 平面，平面，故平面.
又平面，∴平面平面.
2答案及解析：
答案：D
解析：设为正方形的中心, 为中点,过作的平行线,交于,过作垂直于连接则垂直于底面垂直于 因此从而
因为,
所以
即,选D.
3答案及解析：
答案：A
4答案及解析：
答案：D
解析：过点作垂直于点,因为平面平面,所以平面,即.易知,又,所以平面,所以.又,所以平面,从而平面平面.
5答案及解析：
答案：B
解析：设为三角形中心,则到距离最小, 到距离最大, 到距离居中,而高相等,因此所以选B
6答案及解析：
答案：B
解析：因为四边形是棱形，，
又平面，，
又平面平面，
要使平面平面，只需或，故选B.
7答案及解析：
答案：D
解析：
如果平面平面,那么只有内垂直于交线的直线才垂直于,故D项错.
8答案及解析：
答案：②⑤（①⑤或①②）
9答案及解析：
答案：
10答案及解析：
答案：②③④
11答案及解析：
答案：(1) ,
∴,,
∵,∴,
∵,,,
平面,平面,
∴平面,
又∵平面,
∴平面平面.
(2)由(1)得平面,
∴,∴四边形为矩形,
设,
∵,∴有,
作于.,
∵,,∴平面,
∴为四棱柱的高,∴,
∴,∴,
,
,
,,,
∴为等边三角形,∴,
∴四棱锥的侧面积为.
12答案及解析：
答案：（1）设， 连结.
由已知，，,得
.
由,得.
在 中，由，得.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面 ，
所以.
由已知得，， ，
所以.
所以.
又，所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（3）在平面内作于点，
由，，，
得平面.
因为平面，所以.
又，所以平面.
由，，，
得.
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