初中数学北师大版九年级下册1.4解直角三角形练习题
一、选择题
1．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2017·薛城模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为（ ）海里．
A．40+40 B．80 C．40+20 D．80
3．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．3
4．（2017·景德镇模拟）如图，为一颗折叠的小桌支架完全展开后支撑在地面的示意图，此时∠ABC=90°，固定点A、C和活动点O处于同一直线上，且AO：OC=2：3，在支架的向内折叠收拢过程中（如箭头所示方向），△ABC边形为凸四边形AOCB，直至形成一条线段BO，则完全展开后∠BAC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=1.5，BC=2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC=100米，则A、B两点相距（ ）米．
A．100（cos35°+sin35°） B．100（cos35°﹣sin35°）
C． D．
8．已知在△ABC中，AB=14，BC=13，tanB= ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某厂房人字架屋顶的上弦AB=AC=10米，∠B=α，则该屋顶的跨度BC为（ ）
A．10sinα米 B．10cosα米 C．20sinα米 D．20cosα米
10．（2017·苏州模拟）如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C 地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30cm．从A地到D地的距离是（ ）
A．30 m B．20 m C．30 m D．15 m
11．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为（结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）（ ）
A．10海里 B．11海里 C．12海里 D．13海里
12．（2017九下·杭州期中）如图，为了对一颗倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度：在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，（参考数据： ≈1.414，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）．则这颗古杉树AB的长约为（ ）
A．7.27 B．16.70 C．17.70 D．18.18
13．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离是（ ）（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947】
A．22.5 B．41.7 C．43.1 D．55.6
14．如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA=50度，测得BC=45m，则桥长AB=（ ）m．
A． B．45 cos50° C． D．45 tan50°
15．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（ ）
A．500sin55°米 B．500cos35°米
C．500cos55°米 D．500tan55°米
二、填空题
16．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为 n mile．（结果取整数，参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若 ，则CE的长为 ．
19．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为 海里（结果保留根号）．
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，连接AD，则cos∠CDA= ．
21．如图所示，P为直线OA上一点，且到x轴距离为3，sin∠AOX= ，则P点的坐标为 ．
22．如图，已知sin∠AOB=0.1，OC=1.2厘米，则小矩形木条的厚度CD= 厘米．
23．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船，我渔政船的航行路程是 海里．
24．如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
25．如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，其支架AB，CD，EF，GH，BE，DG，FK的长度都为40cm（支架的宽度忽略不计），四边形BQCP、DMEQ、FNGM是互相全等的菱形，当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时，∠B=∠D=∠F=80°，这时A端到墙壁的距离约为 cm．
（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）
26．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=100m，则河宽AB为 m（结果保留根号）．
27．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工，为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂直线l，过点B作一直线（在山的旁边经过），与了相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，应在直线l上距离D点 的C处开挖（ 1.414，精确到1米）．
28．（2017·莒县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD= ，AB=5，那么CD的长是 ．
29．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 ．
30．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为 海里．
三、解答题
31．阅读理解题：下面利用45°角的正切，求tan22.5°的值，方法如下：
解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=45°，如图．
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则∠D= ∠ABC=22.5°．
设AC=a，则BC=a，AB=BD= a．
又∵CD=BD+CB=（1+ ）atan22.5°=tan∠D= ﹣1
请你仿照此法求tan15°的值．
32．如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′= ，cos22°37′= ，tan22°37′= ）
（1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
（2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC= （冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．请你说明理由！
如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：
方案①：在线段上AP任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
方案②：在线段上AP任取一点M；设AM=x；然后用含有x的代数式表示出所用时间t；
方案③：利用现有数据，根据cos∠BPC= 计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的时间．
33．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据： ≈1.732）
34．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
35．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）
36．如图，国家规定休渔期间，我国渔政船在A处发现南偏西50°方向距A处20海里的点B处有一艘可疑船只，可疑船只正沿北偏西25°方向航行，我国渔政船立即沿北偏西70°方向前去拦截，经过1.5小时刚好在C处拦截住可疑船只，求该可疑船只航行的平均速度．
（结果精确到个位，参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
37．如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米， ≈1.732）？
38．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．
39．如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平夹角∠ADE为39°，目高CD为1.5米，求建筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan 39°=0.81】
40．在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图1，在锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，请用a、c、∠B表示b2．
经过同学们的思考后，
甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以经过点A，作AD⊥BC于点D，如图2，大家认同；
乙同学说要想得到b2要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；
丙同学说那就要先求出AD= ，BD= ；（用含c，∠B的三角函数表示）
丁同学顺着他们的思路，求出b2=AD2+DC2= （其中sin2α+cos2α=1）；请利用丁同学的结论解决如下问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=5．
求AC的长（补全图形，直接写出结果即可）．
41．在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=10，求AC的长．
42．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ，AC=2 ，求AB的长．
43．五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果保留根号）
44．（2017九下·盐都开学考）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？
45．（2017·东莞模拟）某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， ≈1.7）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD=AC sinC=bsinC，
△ABC的面积等于 absinC．
故选：C．
【分析】如图过点A作b边上的高AD，则在直角三角形ACD中，AD=AC sinC=bsinC，所以△ABC的面积等于 absinC．
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意得：PA=40 海里，∠A=45°，∠B=30°，
∵在Rt△PAC中，AC=PC=PA cos45°=40 × =40（海里），
在Rt△PBC中，BC= = =40 （海里），
∴AB=C+BC=40+40 （海里）．
故答案为：A．
【分析】首先由题意可得：PA=40海里，∠A=45°，∠B=30°，然后分别在Rt△PAC中与Rt△PBC中，利用三角函数的知识分别求得AC与BC的长，继而求得答案．
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由勾股定理 可求出：BC=2 ，AC=2 ，DF= ，DE= ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴△FDE∽△CAB，
∴∠DFE=∠ACB，
∴tan∠DFE=tan∠ACB= ，
故选（B）
【分析】根据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度，然后证明△FDE∽△ABC，所以∠DFE=∠ACB，从而可知tan∠DFE=tan∠ACB= ，
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵AO：OC=2：3，
∴设AO=2x、OC=3x，AB=y、BC=z，
则 ，
解得： 或 （舍），
在Rt△ABC中，tan∠BAC= = = = ，
故选：B．
【分析】由AO：OC=2：3，设AO=2x、OC=3x、AB=y、BC=z，由AB2+BC2=AC2、BC+CO=AB+AO列出关于x、y、z的方程组，将x看做常数求出y=4x、z=3x，再由正切函数的定义求解可得．
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB=2CD=3，
在Rt△ABC中，cosB= = ，
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据余弦的定义计算即可．
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，
则AC=1，OA=OB=2，
∵在Rt△AOC中，OC= = = ，
∴BC=OB﹣OC=2﹣ ，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABO= = =2+ ，
故选：C．
【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC= = 、BC=OB﹣OC=2﹣ ，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO= 可得答案．
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于D，
∵B点在A点的正东方向上，
∴∠ACD=45°，∠DCB=32°，
在Rt△BCD中，BC=100，
∴DB=BCsin35°100 sin35°（米），
CD=BCcos35°=100 cos35°（米），
在Rt△ACD中，AD=CD，
∴AB=AD+DB=100（sin35°+cos35°）（米）．
故选A．
【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，要先求出CD的值然后再求AD，BD的值，进而得出AB的长．
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，∵tanB= = ，
∴设CD=12x，BD=5x，
∵BC=13，
∴由BC2=BD2+CD2可得132=（5x）2+（12x）2，
解得：x=﹣1（舍）或x=1，
则BD=5，CD=12，
∵AB=14，
∴AD=9，
∴AC= = =15，
∴sinA= = = ，
故答案为：B．
【分析】根据tanB的值建立直角三角形，由勾股定理求出AC的值，再由正弦的定义得到sinA的值的值.
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10米，
∴BC=2BD=2CD，
∵在Rt△ABD中，∠B=α，
∴BD=ABcosB=10cosα，
则BC=2BD=20cosα，
故选：D．
【分析】作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得BC=2BD=2CD，在Rt△ABD中BD=ABcosB=10cosα，继而可得答案．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，
由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，
∴DH= ×30=15 ，
∴AD= DH=15 m．
答：从A地到D地的距离是15 m．
故答案为：D．
【分析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从A地到D地的距离．
11．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：在Rt△APC中，PC=AP×cos∠APC=9，
在Rt△PCB中，PB= ≈11（海里），
故选：B．
【分析】根据正弦和余弦的定义计算即可．
12．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过B点作BD⊥AC于D．
∵∠ACB=45°，∠BAC=66.5°，
∴在Rt△ADB中，AD= ，
在Rt△CDB中，CD=BD，
∵AC=AD+CD=24m，
∴ +BD=24，
解得BD≈17m．
AB= ≈18.18m．
答：这棵古杉树AB的长度大约为18.18m．
故选D．
【分析】过B点作BD⊥AC于D．分别在Rt△ADB和Rt△CDB中，用BD表示出AD和CD，再根据AC=AD+CD=24m，列出方程求解即可．
13．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，
MN=30×2=60（海里），
∵∠MNC=90°，∠CNP=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°，
∵∠BMP=68°，
∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，
∴MN=PN=60（海里），
∵∠CNP=46°，
∴∠PNA=44°，
∴PA=PN sin∠PNA=60×0.6947≈41.7（海里）
故选：B．
【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．
14．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
∠ABC=90°，BC=45m，∠BCA=50°，
∴AB=BC tan50°=45 tan45°，
故选D．
【分析】根据锐角三角函数可以求得AB的长，本题得以解决．
15．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠ABD=145°，
∴∠EBD=35°，
∵∠D=55°，
∴∠E=90°，
在Rt△BED中，BD=500米，∠D=55°，
∴ED=500cos55°米，
故选C
【分析】由∠ABC度数求出∠EBD度数，进而确定出∠E=90°，在直角三角形BED中，利用锐角三角函数定义即可求出ED的长．
16．【答案】102
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
17．【答案】3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
方法二：连接AM、NL，
在△CAH中，AC=AH，
则AM⊥CH，
同理，在△MNH中，NM=NH，
则NL⊥MH，
∴∠AMO=∠NLO=90°，
∵∠AOM=∠NOL，
∴△AOM∽△NOL，
∴ ，
设图中每个小正方形的边长为a，
则AM=2 a，NL= a，
∴ =2，
∴ ，
∴ ，
∵NL=LM，
∴ ，
∴tan∠BOD=tan∠NOL= =3，
故答案为：3．
方法三：连接AE、EF，如右图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE= ，AF= ，EF= a，
∵ ，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴tan∠FAE= ，
即tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．
18．【答案】
【知识点】解直角三角形
19．【答案】（4 ﹣4）
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
20．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
21．【答案】（4，3）
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形
22．【答案】0.12
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
23．【答案】30
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
24．【答案】60
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，
∴BD= ，CD= ，
∴ + =100，
解得AD≈60．
故答案为：60．
【分析】根据已知和三角函数的定义，得到BC=BD+CD的值，求出AD的值.
25．【答案】102.72
【知识点】菱形的性质；解直角三角形的其他实际应用
26．【答案】50
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=CD=100m，
在Rt△ABD中，
AB=AD sin∠ADB=100× =50 （m）．
故答案是：50 ．
【分析】根据解直角三角形中正切的定义，得到AB=AD sin∠ADB的值.
27．【答案】566米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
28．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵tan∠ACD= ，
∴tan∠B= = ，
设AC=3x，BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴（3x）2+（4x）2=52，
解得：x=1，
∴AC=3，BC=4，
∵S△ABC= ，
∴CD= = ，
故答案为： ．
【分析】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD= ，得到tan∠B= = ，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．．
29．【答案】（2 ）km
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，
∵CD⊥AB，
∴∠EBD=45°，AD=DC，
∵AB=AD﹣BD，CE=CD﹣DE，
∴CE=AB=2km，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE=∠CBE=22.5°，
∴BE=EC=2km，
∴BD=ED= km，
∴CD=2+ （km）．
故答案为：（2+ ）km．
【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2km，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案．
30．【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
31．【答案】解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，
则∠D= ∠ABC=15°，
设AC=a，则由构造的三角形得：
AB=2a，BC= a，BD=2a，
则CD=2a+ a=（2+ ）a，
∴tan15°=tanC= = =2﹣ ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】同样按阅读构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC=a，再用a表示出CD，即可求出tan15°的值．
32．【答案】（1）解：∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴ ，AC=48km，
方案① 小时=52分钟，
② 小时=52分钟，
③ = 小时=47分钟，
∴方案③较好
（2）解：①点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，
用时 ，汽车开到P放冲锋舟下水，用时 ，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵ ，
∴ ，
∴汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间，
∴ ，
∵BM＞BH∴tM＞tp；
②当点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tp
方案② ，（当 时，tM最小，此时cos∠BPC= ），
方案③ 小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）分别求出三种方案所需时间，比较后找到最省时的方案即可；（2）分别有M点向BP作垂线，构造直角三角形利用锐角三角函数的定义求出距离后计算出时间即可．
33．【答案】解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G．
∴四边形BFDG矩形，
∴BG=FD
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
∴CF=BC sin30°=20× =10，
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，
∴BG=AB sin60°=30× =15 ．
∴CE=CF+FD+DE=10+15 +2
=12+15 ≈37.98≈38.0（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．
34．【答案】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，
∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴BD=AD=12海里，
∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，
∴CD= AD=6海里，
由勾股定理得：AC= =6 ≈10.392＞8，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
35．【答案】解：如图，
AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC=BC=x海里，
在Rt△APC中，∵tan∠APC= ，
∴AC=PC tan60°= x，
∴ x=20+x，
解得x=10 +10，
则PC=（10 +10）海里．
答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10 +10）海里．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，如图，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．解△PBC，得出PC=BC=x海里，解Rt△APC，得出AC=PC tan60°= x，根据AC不变列出方程 x=20+x，解方程即可．
36．【答案】解：如图，作BD⊥AC于点D，
∵∠CBA=25°+50°=75°，∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=60°，
∴∠ABD=30°，∠CBD=45°，
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠CAB=20×sin60°=20× =10 ，
在Rt△BCD中，BC=BD÷cos∠CBD=10 ÷cos45°=10 ÷ =10 ，
∴可疑船只航行的平均速度 ≈16（海里/小时）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作BD⊥AC于点D，由方向角得出∠ABD=30°、∠CBD=45°，在Rt△ABD中得BD=AB sin∠CAB=10 ，在Rt△BCD中求得BC=BD÷cos∠CBD=10 ，再除以时间即可得．
37．【答案】解：过点D作DH⊥AC于点H．
∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°，而∠DAC=30°，
∴∠BDA=∠DAC=30°，
∴AB=DB=200．
在直角△BHD中，sin60°= = = ，
∴DH=100 ≈100×1.732≈173．
答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】如图，过点D作DH⊥AC于点H．通过解直角△BHD得到sin60°= = = ，由此求得DH的长度．
38．【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠β=45°，∠ADC=90°，
∴AD=DC，
设AD=DC=xm，
则tan30°= = ，
解得：x=50（ +1），
答：河的宽度为50（ +1）m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°= = ，进而得出答案．
39．【答案】解：过D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE为矩形，
∴DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=39°，
∴tan∠ADE= =tan39°=0.81，
∴AE=DE tan39°=24×0.81=19.44（米），
∴AB=AE+EB=19.44+1.5=20.94≈20.9（米）．
答：建筑物的高度AB约为20.9米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过D作DE⊥AB于点E，继而可得出四边形BCDE为矩形，DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，根据∠ADE=39°，在Rt△ADE中利用三角函数求出AE的长度，继而可求得AB的长度．
40．【答案】c sinB；c cosB；a2+c2﹣2ac cosB
【知识点】解直角三角形
41．【答案】解：如图所示：
∵sin∠A= = ，AB=10，
∴BC=6，
由勾股定理得：AC= = =8．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】首先由正弦函数的定义可知： = ，从而可求得BC的长，然后由勾股定理可求得AC的长
42．【答案】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2 ，
∴CD= AC= ，AD= CD=3，
在Rt△BCD中，tanB= =，
∴ ，
∴BD=2，
∴AB=AD+BD=3+2=5．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD= ，AD=3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
43．【答案】解：过点P作PC⊥AB于C，
则∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°．
在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠APC=30°，AP=100，
∴AC= AP=50，PC= AC=50 ．
在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠BPC=45°，
∴BC=PC=50 ．
∴AB=AC+BC=（50+50 ）（米）．
答：景点A与B之间的距离为（50+50 ）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】由已知作PC⊥AB于C，可得△ABP中∠A=60°∠B=45°且PA=100m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长．
44．【答案】解：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，
∴CD= AC= ×4=2，
∴AD= = =2 ，
在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，
∴CD=DB=2，
∴AB=AD+DB=2 +2．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】首先过点C作CD⊥AB于D点，由在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，即可求得CD与AD的长，又由在Rt△CDB中，∠B=45°，即可求得BD的长，继而求得答案．
45．【答案】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．
Rt△ADC中，∠DAC=25°，
所以tan25°= =0.5，
所以AD= =2x．
Rt△BDC中，∠DBC=60°，
由tan 60°= = ，
解得：x≈3．
所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．
1 / 1初中数学北师大版九年级下册1.4解直角三角形练习题
一、选择题
1．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD=AC sinC=bsinC，
△ABC的面积等于 absinC．
故选：C．
【分析】如图过点A作b边上的高AD，则在直角三角形ACD中，AD=AC sinC=bsinC，所以△ABC的面积等于 absinC．
2．（2017·薛城模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为（ ）海里．
A．40+40 B．80 C．40+20 D．80
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意得：PA=40 海里，∠A=45°，∠B=30°，
∵在Rt△PAC中，AC=PC=PA cos45°=40 × =40（海里），
在Rt△PBC中，BC= = =40 （海里），
∴AB=C+BC=40+40 （海里）．
故答案为：A．
【分析】首先由题意可得：PA=40海里，∠A=45°，∠B=30°，然后分别在Rt△PAC中与Rt△PBC中，利用三角函数的知识分别求得AC与BC的长，继而求得答案．
3．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由勾股定理 可求出：BC=2 ，AC=2 ，DF= ，DE= ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴△FDE∽△CAB，
∴∠DFE=∠ACB，
∴tan∠DFE=tan∠ACB= ，
故选（B）
【分析】根据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度，然后证明△FDE∽△ABC，所以∠DFE=∠ACB，从而可知tan∠DFE=tan∠ACB= ，
4．（2017·景德镇模拟）如图，为一颗折叠的小桌支架完全展开后支撑在地面的示意图，此时∠ABC=90°，固定点A、C和活动点O处于同一直线上，且AO：OC=2：3，在支架的向内折叠收拢过程中（如箭头所示方向），△ABC边形为凸四边形AOCB，直至形成一条线段BO，则完全展开后∠BAC的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵AO：OC=2：3，
∴设AO=2x、OC=3x，AB=y、BC=z，
则 ，
解得： 或 （舍），
在Rt△ABC中，tan∠BAC= = = = ，
故选：B．
【分析】由AO：OC=2：3，设AO=2x、OC=3x、AB=y、BC=z，由AB2+BC2=AC2、BC+CO=AB+AO列出关于x、y、z的方程组，将x看做常数求出y=4x、z=3x，再由正切函数的定义求解可得．
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=1.5，BC=2，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB=2CD=3，
在Rt△ABC中，cosB= = ，
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据余弦的定义计算即可．
6．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，
则AC=1，OA=OB=2，
∵在Rt△AOC中，OC= = = ，
∴BC=OB﹣OC=2﹣ ，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABO= = =2+ ，
故选：C．
【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC= = 、BC=OB﹣OC=2﹣ ，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO= 可得答案．
7．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC=100米，则A、B两点相距（ ）米．
A．100（cos35°+sin35°） B．100（cos35°﹣sin35°）
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于D，
∵B点在A点的正东方向上，
∴∠ACD=45°，∠DCB=32°，
在Rt△BCD中，BC=100，
∴DB=BCsin35°100 sin35°（米），
CD=BCcos35°=100 cos35°（米），
在Rt△ACD中，AD=CD，
∴AB=AD+DB=100（sin35°+cos35°）（米）．
故选A．
【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，要先求出CD的值然后再求AD，BD的值，进而得出AB的长．
8．已知在△ABC中，AB=14，BC=13，tanB= ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，∵tanB= = ，
∴设CD=12x，BD=5x，
∵BC=13，
∴由BC2=BD2+CD2可得132=（5x）2+（12x）2，
解得：x=﹣1（舍）或x=1，
则BD=5，CD=12，
∵AB=14，
∴AD=9，
∴AC= = =15，
∴sinA= = = ，
故答案为：B．
【分析】根据tanB的值建立直角三角形，由勾股定理求出AC的值，再由正弦的定义得到sinA的值的值.
9．如图，某厂房人字架屋顶的上弦AB=AC=10米，∠B=α，则该屋顶的跨度BC为（ ）
A．10sinα米 B．10cosα米 C．20sinα米 D．20cosα米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10米，
∴BC=2BD=2CD，
∵在Rt△ABD中，∠B=α，
∴BD=ABcosB=10cosα，
则BC=2BD=20cosα，
故选：D．
【分析】作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得BC=2BD=2CD，在Rt△ABD中BD=ABcosB=10cosα，继而可得答案．
10．（2017·苏州模拟）如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C 地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30cm．从A地到D地的距离是（ ）
A．30 m B．20 m C．30 m D．15 m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，
由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，
∴DH= ×30=15 ，
∴AD= DH=15 m．
答：从A地到D地的距离是15 m．
故答案为：D．
【分析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从A地到D地的距离．
11．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为（结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）（ ）
A．10海里 B．11海里 C．12海里 D．13海里
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：在Rt△APC中，PC=AP×cos∠APC=9，
在Rt△PCB中，PB= ≈11（海里），
故选：B．
【分析】根据正弦和余弦的定义计算即可．
12．（2017九下·杭州期中）如图，为了对一颗倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度：在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，（参考数据： ≈1.414，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）．则这颗古杉树AB的长约为（ ）
A．7.27 B．16.70 C．17.70 D．18.18
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过B点作BD⊥AC于D．
∵∠ACB=45°，∠BAC=66.5°，
∴在Rt△ADB中，AD= ，
在Rt△CDB中，CD=BD，
∵AC=AD+CD=24m，
∴ +BD=24，
解得BD≈17m．
AB= ≈18.18m．
答：这棵古杉树AB的长度大约为18.18m．
故选D．
【分析】过B点作BD⊥AC于D．分别在Rt△ADB和Rt△CDB中，用BD表示出AD和CD，再根据AC=AD+CD=24m，列出方程求解即可．
13．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离是（ ）（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947】
A．22.5 B．41.7 C．43.1 D．55.6
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，
MN=30×2=60（海里），
∵∠MNC=90°，∠CNP=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°，
∵∠BMP=68°，
∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，
∴MN=PN=60（海里），
∵∠CNP=46°，
∴∠PNA=44°，
∴PA=PN sin∠PNA=60×0.6947≈41.7（海里）
故选：B．
【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可．
14．如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA=50度，测得BC=45m，则桥长AB=（ ）m．
A． B．45 cos50° C． D．45 tan50°
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
∠ABC=90°，BC=45m，∠BCA=50°，
∴AB=BC tan50°=45 tan45°，
故选D．
【分析】根据锐角三角函数可以求得AB的长，本题得以解决．
15．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（ ）
A．500sin55°米 B．500cos35°米
C．500cos55°米 D．500tan55°米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠ABD=145°，
∴∠EBD=35°，
∵∠D=55°，
∴∠E=90°，
在Rt△BED中，BD=500米，∠D=55°，
∴ED=500cos55°米，
故选C
【分析】由∠ABC度数求出∠EBD度数，进而确定出∠E=90°，在直角三角形BED中，利用锐角三角函数定义即可求出ED的长．
二、填空题
16．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为 n mile．（结果取整数，参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
【答案】102
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 ．
【答案】3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B= ，O′D′= ，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE= ，
∴O′E= = ，
∴tanBO′E= ，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
方法二：连接AM、NL，
在△CAH中，AC=AH，
则AM⊥CH，
同理，在△MNH中，NM=NH，
则NL⊥MH，
∴∠AMO=∠NLO=90°，
∵∠AOM=∠NOL，
∴△AOM∽△NOL，
∴ ，
设图中每个小正方形的边长为a，
则AM=2 a，NL= a，
∴ =2，
∴ ，
∴ ，
∵NL=LM，
∴ ，
∴tan∠BOD=tan∠NOL= =3，
故答案为：3．
方法三：连接AE、EF，如右图所示，
则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
设每个小正方形的边长为a，
则AE= ，AF= ，EF= a，
∵ ，
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴tan∠FAE= ，
即tan∠BOD=3，
故答案为：3．
【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得tan∠BOD的值，本题得以解决．
18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若 ，则CE的长为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
19．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为 海里（结果保留根号）．
【答案】（4 ﹣4）
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，连接AD，则cos∠CDA= ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
21．如图所示，P为直线OA上一点，且到x轴距离为3，sin∠AOX= ，则P点的坐标为 ．
【答案】（4，3）
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形
22．如图，已知sin∠AOB=0.1，OC=1.2厘米，则小矩形木条的厚度CD= 厘米．
【答案】0.12
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
23．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船，我渔政船的航行路程是 海里．
【答案】30
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
24．如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为 米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
【答案】60
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，
∴BD= ，CD= ，
∴ + =100，
解得AD≈60．
故答案为：60．
【分析】根据已知和三角函数的定义，得到BC=BD+CD的值，求出AD的值.
25．如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，其支架AB，CD，EF，GH，BE，DG，FK的长度都为40cm（支架的宽度忽略不计），四边形BQCP、DMEQ、FNGM是互相全等的菱形，当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时，∠B=∠D=∠F=80°，这时A端到墙壁的距离约为 cm．
（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）
【答案】102.72
【知识点】菱形的性质；解直角三角形的其他实际应用
26．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=100m，则河宽AB为 m（结果保留根号）．
【答案】50
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=CD=100m，
在Rt△ABD中，
AB=AD sin∠ADB=100× =50 （m）．
故答案是：50 ．
【分析】根据解直角三角形中正切的定义，得到AB=AD sin∠ADB的值.
27．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工，为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂直线l，过点B作一直线（在山的旁边经过），与了相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，应在直线l上距离D点 的C处开挖（ 1.414，精确到1米）．
【答案】566米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
28．（2017·莒县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD= ，AB=5，那么CD的长是 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵tan∠ACD= ，
∴tan∠B= = ，
设AC=3x，BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴（3x）2+（4x）2=52，
解得：x=1，
∴AC=3，BC=4，
∵S△ABC= ，
∴CD= = ，
故答案为： ．
【分析】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD= ，得到tan∠B= = ，设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．．
29．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为 ．
【答案】（2 ）km
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，
∵CD⊥AB，
∴∠EBD=45°，AD=DC，
∵AB=AD﹣BD，CE=CD﹣DE，
∴CE=AB=2km，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE=∠CBE=22.5°，
∴BE=EC=2km，
∴BD=ED= km，
∴CD=2+ （km）．
故答案为：（2+ ）km．
【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2km，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案．
30．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为 海里．
【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
三、解答题
31．阅读理解题：下面利用45°角的正切，求tan22.5°的值，方法如下：
解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=45°，如图．
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则∠D= ∠ABC=22.5°．
设AC=a，则BC=a，AB=BD= a．
又∵CD=BD+CB=（1+ ）atan22.5°=tan∠D= ﹣1
请你仿照此法求tan15°的值．
【答案】解：构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，
延长CB到D，使BD=AB，连接AD，
则∠D= ∠ABC=15°，
设AC=a，则由构造的三角形得：
AB=2a，BC= a，BD=2a，
则CD=2a+ a=（2+ ）a，
∴tan15°=tanC= = =2﹣ ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】同样按阅读构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC=a，再用a表示出CD，即可求出tan15°的值．
32．如图，海事救援指挥中心A接到海上SOS呼救：一艘渔船B在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救．经测量渔船B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）：
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′= ，cos22°37′= ，tan22°37′= ）
（1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
（2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC= （冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．请你说明理由！
如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：
方案①：在线段上AP任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
方案②：在线段上AP任取一点M；设AM=x；然后用含有x的代数式表示出所用时间t；
方案③：利用现有数据，根据cos∠BPC= 计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的时间．
【答案】（1）解：∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴ ，AC=48km，
方案① 小时=52分钟，
② 小时=52分钟，
③ = 小时=47分钟，
∴方案③较好
（2）解：①点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，
用时 ，汽车开到P放冲锋舟下水，用时 ，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵ ，
∴ ，
∴汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间，
∴ ，
∵BM＞BH∴tM＞tp；
②当点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tp
方案② ，（当 时，tM最小，此时cos∠BPC= ），
方案③ 小时．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）分别求出三种方案所需时间，比较后找到最省时的方案即可；（2）分别有M点向BP作垂线，构造直角三角形利用锐角三角函数的定义求出距离后计算出时间即可．
33．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据： ≈1.732）
【答案】解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G．
∴四边形BFDG矩形，
∴BG=FD
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
∴CF=BC sin30°=20× =10，
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，
∴BG=AB sin60°=30× =15 ．
∴CE=CF+FD+DE=10+15 +2
=12+15 ≈37.98≈38.0（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．
34．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
【答案】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，
∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴BD=AD=12海里，
∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，
∴CD= AD=6海里，
由勾股定理得：AC= =6 ≈10.392＞8，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
35．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）
【答案】解：如图，
AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC=BC=x海里，
在Rt△APC中，∵tan∠APC= ，
∴AC=PC tan60°= x，
∴ x=20+x，
解得x=10 +10，
则PC=（10 +10）海里．
答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10 +10）海里．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AB=20海里，如图，设BC=x海里，则AC=AB+BC=（20+x）海里．解△PBC，得出PC=BC=x海里，解Rt△APC，得出AC=PC tan60°= x，根据AC不变列出方程 x=20+x，解方程即可．
36．如图，国家规定休渔期间，我国渔政船在A处发现南偏西50°方向距A处20海里的点B处有一艘可疑船只，可疑船只正沿北偏西25°方向航行，我国渔政船立即沿北偏西70°方向前去拦截，经过1.5小时刚好在C处拦截住可疑船只，求该可疑船只航行的平均速度．
（结果精确到个位，参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
【答案】解：如图，作BD⊥AC于点D，
∵∠CBA=25°+50°=75°，∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=60°，
∴∠ABD=30°，∠CBD=45°，
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠CAB=20×sin60°=20× =10 ，
在Rt△BCD中，BC=BD÷cos∠CBD=10 ÷cos45°=10 ÷ =10 ，
∴可疑船只航行的平均速度 ≈16（海里/小时）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作BD⊥AC于点D，由方向角得出∠ABD=30°、∠CBD=45°，在Rt△ABD中得BD=AB sin∠CAB=10 ，在Rt△BCD中求得BC=BD÷cos∠CBD=10 ，再除以时间即可得．
37．如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米， ≈1.732）？
【答案】解：过点D作DH⊥AC于点H．
∵∠HBD=∠DAC+∠BDA=60°，而∠DAC=30°，
∴∠BDA=∠DAC=30°，
∴AB=DB=200．
在直角△BHD中，sin60°= = = ，
∴DH=100 ≈100×1.732≈173．
答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】如图，过点D作DH⊥AC于点H．通过解直角△BHD得到sin60°= = = ，由此求得DH的长度．
38．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．
【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠β=45°，∠ADC=90°，
∴AD=DC，
设AD=DC=xm，
则tan30°= = ，
解得：x=50（ +1），
答：河的宽度为50（ +1）m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°= = ，进而得出答案．
39．如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平夹角∠ADE为39°，目高CD为1.5米，求建筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan 39°=0.81】
【答案】解：过D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE为矩形，
∴DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=39°，
∴tan∠ADE= =tan39°=0.81，
∴AE=DE tan39°=24×0.81=19.44（米），
∴AB=AE+EB=19.44+1.5=20.94≈20.9（米）．
答：建筑物的高度AB约为20.9米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过D作DE⊥AB于点E，继而可得出四边形BCDE为矩形，DE=BC=24米，CD=BE=1.5米，根据∠ADE=39°，在Rt△ADE中利用三角函数求出AE的长度，继而可求得AB的长度．
40．在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图1，在锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，请用a、c、∠B表示b2．
经过同学们的思考后，
甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以经过点A，作AD⊥BC于点D，如图2，大家认同；
乙同学说要想得到b2要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；
丙同学说那就要先求出AD= ，BD= ；（用含c，∠B的三角函数表示）
丁同学顺着他们的思路，求出b2=AD2+DC2= （其中sin2α+cos2α=1）；请利用丁同学的结论解决如下问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=5．
求AC的长（补全图形，直接写出结果即可）．
【答案】c sinB；c cosB；a2+c2﹣2ac cosB
【知识点】解直角三角形
41．在△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=10，求AC的长．
【答案】解：如图所示：
∵sin∠A= = ，AB=10，
∴BC=6，
由勾股定理得：AC= = =8．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】首先由正弦函数的定义可知： = ，从而可求得BC的长，然后由勾股定理可求得AC的长
42．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ，AC=2 ，求AB的长．
【答案】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2 ，
∴CD= AC= ，AD= CD=3，
在Rt△BCD中，tanB= =，
∴ ，
∴BD=2，
∴AB=AD+BD=3+2=5．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD= ，AD=3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
43．五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向；然后沿北偏东60°方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的距离．（结果保留根号）
【答案】解：过点P作PC⊥AB于C，
则∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°．
在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠APC=30°，AP=100，
∴AC= AP=50，PC= AC=50 ．
在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠BPC=45°，
∴BC=PC=50 ．
∴AB=AC+BC=（50+50 ）（米）．
答：景点A与B之间的距离为（50+50 ）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】由已知作PC⊥AB于C，可得△ABP中∠A=60°∠B=45°且PA=100m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长．
44．（2017九下·盐都开学考）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，
∴CD= AC= ×4=2，
∴AD= = =2 ，
在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，
∴CD=DB=2，
∴AB=AD+DB=2 +2．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】首先过点C作CD⊥AB于D点，由在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，即可求得CD与AD的长，又由在Rt△CDB中，∠B=45°，即可求得BD的长，继而求得答案．
45．（2017·东莞模拟）某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， ≈1.7）
【答案】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．
Rt△ADC中，∠DAC=25°，
所以tan25°= =0.5，
所以AD= =2x．
Rt△BDC中，∠DBC=60°，
由tan 60°= = ，
解得：x≈3．
所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．
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