高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
一、选择题
1．函数 （ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数 D．是非奇非偶函数
2．当 时，函数 有（ ）
A．最大值为 ，最小值为 B．最大值为 ，最小值为
C．最大值为 ，最小值为 D．最大值为 ，最小值为
3．函数 的一个单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列四个函数中，既是 上的减函数，又是以 为周期的偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数 ，则 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
6．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、单选题
8．（2016高一下·昆明期中）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A．y=sin(2x+) B．y=cos(2x+)
C．y=sin(x+) D．y=cos(x+)
三、填空题
9．已知函数 是奇函数，则 时， 的值为 ．
10．函数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是 ．
11．若 是R上的偶函数，当 时， ，则 的解析式是 ．
四、解答题
12．判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） .
13．比较下列各组数的大小．
（1） ；
（2） .
14．求下列函数的值域．y = 1 2 cos 2 x + 2 sin x
（1） ；
（2） .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】奇函数；诱导公式
【解析】【解答】∵ ，∴ ,∴ 是奇函数． 故答案为：A
【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
2．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】∵ ，∴ .∴ ，函数 有最小值 ，最大值 .
故答案为：D
【分析】根据题意结合角x的取值范围求出x+的取值范围，再结合正弦函数的单调性即可求出最值。
3．【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由 图象易得函数单调递增区间为 ，当 时，得 为 的一个单调递增区间．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得出函数的图象由数形结合法即可得出其增区间，对k赋值即可求出增区间。
4．【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】根据三角函数的图象和性质知， 是周期为 的奇函数，且在 上是增函数； 是周期为 的偶函数，且在 上是增函数； 是周期为 的偶函数，且在 上是减函数； 在 上是减函数，且是以 为周期的偶函数，只有 满足所有的性质， 故答案为：D.
【分析】根据正弦函数的图象逐一判断即可得出结论。
5．【答案】B
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】∵∴ ，
， 最小正周期为 ；又 ，∴ 是最小正周期为 的偶函数． 故答案为：B
【分析】首先由诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据余弦函数的图象和性质即可得出周期和奇偶性。
6．【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
当 时， 当 时， .所以值域为 . 故答案为：C
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式转化为关于sinx的一元二次函数，因为sinx故而转化为一元二次函数在指定区间上的最值情况，利用二次函数的单调性即可求出最小值和最大值。
7．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；诱导公式
【解析】【解答】∵ ， ，
由正弦函数的单调性得 ，即 . 故答案为：A
【分析】利用诱导公式把角转化到同一个增减区间上再结合正弦函数的单调性得出结果即可。
8．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】C、D中函数周期为2π，所以错误
当
函数y=sin(2x+)为减函数
而函数y=cos(2x+)为增函数，
故选A．
【分析】先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．
9．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由已知得 ，∴ ，又∵ ，∴ ．
【分析】根据题意利用正弦函数的奇偶性即可得出 + φ = k π，对k 赋值即可求出 φ的值。
10．【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】因为 在 上是增函数，在 上是减函数，所以只有 时满足条件，故 ．
【分析】结合余弦函数的增减性以及余弦函数的奇偶性即可得出结果。
11．【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当 时， ， ，∴ 时， .
【分析】根据偶函数的定义利用区间的对称性即求出函数的解析式。
12．【答案】（1）解：函数的定义域为 ， ，
所以此函数是偶函数
（2）解：由 且 ，得 ，从而 ， ，
此时 ，故该函数既是奇函数又是偶函数
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据题意结合偶函数的定义即可得证函数为偶函数。(2)首先求出函数的定义域，化简原函数为常函数故其奇偶性为及时奇函数又是偶函数。
13．【答案】（1）解：
∵余弦函数 在 上是减函数，∴ ，即
（2）解：
∵正弦函数 在 上是增函数，
∴ ，即
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质；诱导公式
【解析】【分析】(1)首先利用诱导公式整理化简两个三角函数值，并把它们转化到同一个增减区间上，再利用余弦函数的增减性得出结果。(2)根据题意利用诱导公式整理化简三角函数值，并把它们转化到同一个增减区间上再根据正弦函数的增减性得出结果。
14．【答案】（1）解：
当 时， ；当 时， .∴函数 的值域为
（2）解： ，
∵ ，∴ ，∴
，即 .∴函数 的值域为
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系式整理原函数为关于sinx的一元二次函数，因为sinx利用二次函数在指定区间上的最值情况分别求出最小值和最大值即可。(2) 整理化简原代数式结合sinx，由不等式的性质即可得出y的取值范围。
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一、选择题
1．函数 （ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数 D．是非奇非偶函数
【答案】A
【知识点】奇函数；诱导公式
【解析】【解答】∵ ，∴ ,∴ 是奇函数． 故答案为：A
【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
2．当 时，函数 有（ ）
A．最大值为 ，最小值为 B．最大值为 ，最小值为
C．最大值为 ，最小值为 D．最大值为 ，最小值为
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】∵ ，∴ .∴ ，函数 有最小值 ，最大值 .
故答案为：D
【分析】根据题意结合角x的取值范围求出x+的取值范围，再结合正弦函数的单调性即可求出最值。
3．函数 的一个单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由 图象易得函数单调递增区间为 ，当 时，得 为 的一个单调递增区间．
故答案为：C.
【分析】根据题意可得出函数的图象由数形结合法即可得出其增区间，对k赋值即可求出增区间。
4．下列四个函数中，既是 上的减函数，又是以 为周期的偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】根据三角函数的图象和性质知， 是周期为 的奇函数，且在 上是增函数； 是周期为 的偶函数，且在 上是增函数； 是周期为 的偶函数，且在 上是减函数； 在 上是减函数，且是以 为周期的偶函数，只有 满足所有的性质， 故答案为：D.
【分析】根据正弦函数的图象逐一判断即可得出结论。
5．设函数 ，则 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】B
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】∵∴ ，
， 最小正周期为 ；又 ，∴ 是最小正周期为 的偶函数． 故答案为：B
【分析】首先由诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据余弦函数的图象和性质即可得出周期和奇偶性。
6．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，
当 时， 当 时， .所以值域为 . 故答案为：C
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式转化为关于sinx的一元二次函数，因为sinx故而转化为一元二次函数在指定区间上的最值情况，利用二次函数的单调性即可求出最小值和最大值。
7．下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；诱导公式
【解析】【解答】∵ ， ，
由正弦函数的单调性得 ，即 . 故答案为：A
【分析】利用诱导公式把角转化到同一个增减区间上再结合正弦函数的单调性得出结果即可。
二、单选题
8．（2016高一下·昆明期中）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A．y=sin(2x+) B．y=cos(2x+)
C．y=sin(x+) D．y=cos(x+)
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【解答】C、D中函数周期为2π，所以错误
当
函数y=sin(2x+)为减函数
而函数y=cos(2x+)为增函数，
故选A．
【分析】先根据周期排除C，D，再由x的范围求出2x+的范围，再由正余弦函数的单调性可判断A和B，从而得到答案．
三、填空题
9．已知函数 是奇函数，则 时， 的值为 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】由已知得 ，∴ ，又∵ ，∴ ．
【分析】根据题意利用正弦函数的奇偶性即可得出 + φ = k π，对k 赋值即可求出 φ的值。
10．函数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】余弦函数的性质
【解析】【解答】因为 在 上是增函数，在 上是减函数，所以只有 时满足条件，故 ．
【分析】结合余弦函数的增减性以及余弦函数的奇偶性即可得出结果。
11．若 是R上的偶函数，当 时， ，则 的解析式是 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】当 时， ， ，∴ 时， .
【分析】根据偶函数的定义利用区间的对称性即求出函数的解析式。
四、解答题
12．判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：函数的定义域为 ， ，
所以此函数是偶函数
（2）解：由 且 ，得 ，从而 ， ，
此时 ，故该函数既是奇函数又是偶函数
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质
【解析】【分析】(1)根据题意结合偶函数的定义即可得证函数为偶函数。(2)首先求出函数的定义域，化简原函数为常函数故其奇偶性为及时奇函数又是偶函数。
13．比较下列各组数的大小．
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
∵余弦函数 在 上是减函数，∴ ，即
（2）解：
∵正弦函数 在 上是增函数，
∴ ，即
【知识点】正弦函数的性质；余弦函数的性质；诱导公式
【解析】【分析】(1)首先利用诱导公式整理化简两个三角函数值，并把它们转化到同一个增减区间上，再利用余弦函数的增减性得出结果。(2)根据题意利用诱导公式整理化简三角函数值，并把它们转化到同一个增减区间上再根据正弦函数的增减性得出结果。
14．求下列函数的值域．y = 1 2 cos 2 x + 2 sin x
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
当 时， ；当 时， .∴函数 的值域为
（2）解： ，
∵ ，∴ ，∴
，即 .∴函数 的值域为
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系式整理原函数为关于sinx的一元二次函数，因为sinx利用二次函数在指定区间上的最值情况分别求出最小值和最大值即可。(2) 整理化简原代数式结合sinx，由不等式的性质即可得出y的取值范围。
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