高中数学人教版必修4 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换
一、选择题
1． 等于（ ）
A．-sin α B．-cos α C．sin α D．cos α
2．已知向量 =（ ， ）， =（1， ），且 ⊥ ，则sin 2θ+cos2θ的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3．已知cos θ=－ ，θ∈（－π，0），则sin +cos =（ ）
A． B． C． D．
4．化简 等于（ ）
A．1 B．－1 C．cos α D．－sin α
5．已知函数f（x）=2sin2x+2 sin xcos x－1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
6．已知sin α= ，α∈（π， ），则tan 等于（ ）
A．－2 B． C． 或2 D．－2或
7．sin54°sin18°=（ ）
A． B． C． D．
8．若2sinx=1+cosx，则的值等于（ ）
A． B．或不存在 C．2 D．2或
二、填空题
9．已知tan（ +α）= ，则 的值为 ．
10．已知cos α+cos β= ，则cos cos 的值为 ．
11．已知sin α+sin β= ，cos α+cos β= ，则 = .
三、解答题
12．已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
13．已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
14．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）设 ，且 ，求 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】原式= = =cos α． 故答案为：D.
【分析】利用正弦函数、余弦函数的二倍角公式整理化简代数式即可。
2．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由题意可得 · =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos2θ= = =1， 故答案为：A．
【分析】首先由向量的数量积坐标公式求出代数式，再结合正弦函数、余弦函数的二倍角公式由拼凑的思想整理化简得到关于tanx的代数式代入数值求出结果即可。
3．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】∵cos θ=－ ，θ∈（－π，0），∴cos2 －sin2 =（cos +sin ）（cos －sin ）＜0， ∈（ ，0），
∴sin +cos ＜0，cos －sin ＞0，∵（sin +cos ）2=1+sin θ=1－ = ，∴sin +cos = ． 故答案为：D．
【分析】由余弦函数的二倍角公式整理化简即可求出sin +cos ＜0再由同角三角函数的基本关系式两边平方即可得到结果。
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】原式= = = = 1． 故答案为：A.
【分析】利用余弦函数和正弦函数的二倍角公式整理化简原来的代数式即可。
5．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】f（x）=2sin2x+2 sin xcos x－1= =2（ ）=2 ．∵f（x）的图象关于点（φ，0）对称，∴2sin（2φ－ ）=0，则2φ－ =kπ，φ= ．取k=0时，φ= ．∴φ的值可以是 ． 故答案为：D
【分析】利用余弦函数的二倍角公式整理原式子，再结合凑角公式将函数整理为正弦型函数，利用正弦型函数图象对称的特点即可求出φ的代数式对k赋值即可。
6．【答案】A
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵sin α= ，α∈（π， ），∴cos α= ，∴tan α= .∵α∈（π， ），∴ ∈（ ， ），∴tan ＜0. tan α= = ，即2tan2 +3tan －2=0，解得tan =－2，或tan = （舍去）， 故答案为：A．
【分析】根据同角三角函数的基本关系式求出tanx的值，再由正切函数的二倍角公式得到关于tan的代数式解出其值即可。
7．【答案】C
【知识点】积化和差公式
【解析】【解答】sin54°sin18°=
=
故选C．
【分析】根据sin54°sin18°=，再利用二倍角公式、诱导公式求得结果。
8．【答案】B
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵2sinx=1+cosx，
∴2×2sincos=1+（2cos2﹣1），
即4sincos=2cos2，可得cos（2sin﹣cos）=0
因此，cos=0或2sin=cos
∵所以或不存在，故选B。
【分析】将x看成的二倍，利用倍角公式将已知等式的两边展开，化简整理得cos=0或2sin=cos，再结合同角三角函数的基本关系，即可算出的值．本题属于中档题。
9．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】∵tan（ +α）= = ，∴tan α= ，
∴ = =tan α+1= ．
【分析】首先利用两角和差的正切公式展开求出tanx的值，再由二倍角的正弦公式、余弦公式结合同角三角函数的基本关系式拼凑出tanx的代数式代入数值求出结果即可。
10．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】∵cos α+cos β= ，∴cos cos = [cos（ － ）+cos（ + ）]= （cos α+ cos β）= × = ．
【分析】由角的拼凑思想拼凑出 α、 β，再结合两角和差的余弦公式代入数值求出结果即可。
11．【答案】
【知识点】和差化积公式
【解析】【解答】由sin α+sin β= ，可得2sin cos = ，①
由cos α+cos β= ，可得2cos cos = ，②
由 可得 = ．
所以 = = = ．
【分析】由积化和差公式整理化简已知的代数式得到两个关于sin和cos的代数式，两式相除即可得出结果。
12．【答案】（1）解：由 得 ，故
（2）解：原式
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)由已知的代数式即可求出tan的值，再利用二倍角的正切公式求出结果。(2) 利用二倍角公式的余弦公式以及两角和差的余弦公式整理化简原有的代数式，再由整理思想拼凑出tanx的代数式代入数值求出结果即可。
13．【答案】（1）解：
，所以f（x）的最小正周期
（2）解：易知 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数.
故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1) 由两角和差的正弦公式整理化简原有的代数式，再利用公式整理化简即可得出f(x) 的解析式，由周期公式代入数值求出结果即可。(2)结合正弦函数的单调性即可得出结果。
14．【答案】（1）解：
，
∴ 的最小正周期为
（2）解： ，由 可知， ，
则 ，∴
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】(1)首先由两角和差的正弦公式整理化简代数式化为正弦型，根据周期公式代入数值求出结果即可。(2)首先由同角三角函数的基本关系式求出 cos α的值，进而求出tan α的值代入到两角和的正切公式求出结果即可。
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一、选择题
1． 等于（ ）
A．-sin α B．-cos α C．sin α D．cos α
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】原式= = =cos α． 故答案为：D.
【分析】利用正弦函数、余弦函数的二倍角公式整理化简代数式即可。
2．已知向量 =（ ， ）， =（1， ），且 ⊥ ，则sin 2θ+cos2θ的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由题意可得 · =sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．∴sin 2θ+cos2θ= = =1， 故答案为：A．
【分析】首先由向量的数量积坐标公式求出代数式，再结合正弦函数、余弦函数的二倍角公式由拼凑的思想整理化简得到关于tanx的代数式代入数值求出结果即可。
3．已知cos θ=－ ，θ∈（－π，0），则sin +cos =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】∵cos θ=－ ，θ∈（－π，0），∴cos2 －sin2 =（cos +sin ）（cos －sin ）＜0， ∈（ ，0），
∴sin +cos ＜0，cos －sin ＞0，∵（sin +cos ）2=1+sin θ=1－ = ，∴sin +cos = ． 故答案为：D．
【分析】由余弦函数的二倍角公式整理化简即可求出sin +cos ＜0再由同角三角函数的基本关系式两边平方即可得到结果。
4．化简 等于（ ）
A．1 B．－1 C．cos α D．－sin α
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】原式= = = = 1． 故答案为：A.
【分析】利用余弦函数和正弦函数的二倍角公式整理化简原来的代数式即可。
5．已知函数f（x）=2sin2x+2 sin xcos x－1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】f（x）=2sin2x+2 sin xcos x－1= =2（ ）=2 ．∵f（x）的图象关于点（φ，0）对称，∴2sin（2φ－ ）=0，则2φ－ =kπ，φ= ．取k=0时，φ= ．∴φ的值可以是 ． 故答案为：D
【分析】利用余弦函数的二倍角公式整理原式子，再结合凑角公式将函数整理为正弦型函数，利用正弦型函数图象对称的特点即可求出φ的代数式对k赋值即可。
6．已知sin α= ，α∈（π， ），则tan 等于（ ）
A．－2 B． C． 或2 D．－2或
【答案】A
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】∵sin α= ，α∈（π， ），∴cos α= ，∴tan α= .∵α∈（π， ），∴ ∈（ ， ），∴tan ＜0. tan α= = ，即2tan2 +3tan －2=0，解得tan =－2，或tan = （舍去）， 故答案为：A．
【分析】根据同角三角函数的基本关系式求出tanx的值，再由正切函数的二倍角公式得到关于tan的代数式解出其值即可。
7．sin54°sin18°=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】积化和差公式
【解析】【解答】sin54°sin18°=
=
故选C．
【分析】根据sin54°sin18°=，再利用二倍角公式、诱导公式求得结果。
8．若2sinx=1+cosx，则的值等于（ ）
A． B．或不存在 C．2 D．2或
【答案】B
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵2sinx=1+cosx，
∴2×2sincos=1+（2cos2﹣1），
即4sincos=2cos2，可得cos（2sin﹣cos）=0
因此，cos=0或2sin=cos
∵所以或不存在，故选B。
【分析】将x看成的二倍，利用倍角公式将已知等式的两边展开，化简整理得cos=0或2sin=cos，再结合同角三角函数的基本关系，即可算出的值．本题属于中档题。
二、填空题
9．已知tan（ +α）= ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】∵tan（ +α）= = ，∴tan α= ，
∴ = =tan α+1= ．
【分析】首先利用两角和差的正切公式展开求出tanx的值，再由二倍角的正弦公式、余弦公式结合同角三角函数的基本关系式拼凑出tanx的代数式代入数值求出结果即可。
10．已知cos α+cos β= ，则cos cos 的值为 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】∵cos α+cos β= ，∴cos cos = [cos（ － ）+cos（ + ）]= （cos α+ cos β）= × = ．
【分析】由角的拼凑思想拼凑出 α、 β，再结合两角和差的余弦公式代入数值求出结果即可。
11．已知sin α+sin β= ，cos α+cos β= ，则 = .
【答案】
【知识点】和差化积公式
【解析】【解答】由sin α+sin β= ，可得2sin cos = ，①
由cos α+cos β= ，可得2cos cos = ，②
由 可得 = ．
所以 = = = ．
【分析】由积化和差公式整理化简已知的代数式得到两个关于sin和cos的代数式，两式相除即可得出结果。
三、解答题
12．已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：由 得 ，故
（2）解：原式
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1)由已知的代数式即可求出tan的值，再利用二倍角的正切公式求出结果。(2) 利用二倍角公式的余弦公式以及两角和差的余弦公式整理化简原有的代数式，再由整理思想拼凑出tanx的代数式代入数值求出结果即可。
13．已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：
，所以f（x）的最小正周期
（2）解：易知 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数.
故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【分析】(1) 由两角和差的正弦公式整理化简原有的代数式，再利用公式整理化简即可得出f(x) 的解析式，由周期公式代入数值求出结果即可。(2)结合正弦函数的单调性即可得出结果。
14．已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）设 ，且 ，求 ．
【答案】（1）解：
，
∴ 的最小正周期为
（2）解： ，由 可知， ，
则 ，∴
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】(1)首先由两角和差的正弦公式整理化简代数式化为正弦型，根据周期公式代入数值求出结果即可。(2)首先由同角三角函数的基本关系式求出 cos α的值，进而求出tan α的值代入到两角和的正切公式求出结果即可。
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