2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.4.1 圆周角和圆心角的关系
一、选择题
1．（2017九上·宁波期中）如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
A．30° B．29° C．28° D．20°
2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
3．如图，在⊙O中， = ，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
4．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
5．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．28° B．54° C．18° D．36°
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．4
8．如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）
A．26° B．30° C．32° D．64°
9．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， = = ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED= ∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2016·广安）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则S阴影=（ ）
A．2π B． π C． π D． π
二、填空题
11．如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．
12．如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC= 度．
13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， = ．若∠CAB=40°，则∠CAD= ．
14．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．
15．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
16．如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
三、解答题
17．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．
18．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，∠ABO=30°，OB=2．
（1）求弦AB的长；
（2）若∠D=20°，求∠BOD的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BFC=20°，∴∠BAC=2∠BFC=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°．又EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故答案为：A．
【分析】根据圆心角与圆周角的关系，求出∠BAC=2∠BFC的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求出∠ABC=∠ACB的度数，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AD=BD，求出∠DBC的度数.
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，
∴∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= =90°﹣α．
答案为：D．
【分析】根据圆周角定理，需连接半径，构造出圆心角∠BOC=2∠A=2α，再利用等腰三角形的性质及内角和定理，求出∠OBC=∠OCB=90°﹣α.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，点D在⊙O上，∠CDB=25°，
∴∠AOB=2∠CDB=50°．
答案为：B．
【分析】可利用“等弧所对的圆周角相等”得 ∠AOB=2∠CDB=50°.
4．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC= AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE= = =6，
∴△BCE的面积= BC BE= ×4×6=12．
答案为：A．
【分析】由直径的性质可得ABC=90度，在Rt△AOC中，可利用勾股定理列方程，求出r，进而利用面积公式求出面积.
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
答案为：D．
【分析】由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，可得出∠ACB=∠AOB=36°.
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
答案为：D．
【分析】由圆周角定理及其推论得∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，进而∠ACD+∠BAD=90°.
7．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE= OC=1，
∴CD=2CE=2，
答案为：A．
【分析】利用垂径定理，得出CE=DE,再利用圆周角定理，∠COE=30° ，进而算出CE=1,CD=2CE=2.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB= ∠AOB，
而∠AOB=64°，
∴∠ACB= ×64°=32°．
即∠ACB的度数是32°．
故答案为：C．
【分析】利用圆周角定理可得出∠ACB= ∠AOB.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ = =，点E是点D关于AB的对称点，
∴ = ，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= =60°，∴①正确；
∠CED= ∠COD= =30°= ，∴②正确；
∵ 的度数是60°，
∴ 的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；
做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，
连接CD，
∵ = = = ，并且弧的度数都是60°，
∴∠D= =60°，∠CFD= =30°，
∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
答案为：C．
【分析】利用圆心角的性质可得∠BOE∠DOB=∠BOE=∠COD= × 180 =60°；∠CED= ∠COD= ∠ D O B；利用对称法，可求出CM+DM的最小值是10.
10．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2 ，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE cot60°=2 × =2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC= ﹣ OE×DE+ BE CE= ﹣2 +2 = ．
故选B．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．
11．【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=120°，点C在⊙O上，
∴∠ACB= ∠AOB=60°．
故答案为：60°
【分析】利用“同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半"可求出.
12．【答案】80
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为：80．
【分析】可利用“同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半”，求出答案.
13．【答案】25°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BC，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°，
∵ = ，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=25°，
∴∠CAD=∠CBD=25°．
故答案为：25°．
【分析】利用直径的性质，需连接BC,BD,再利用等弧所对的圆周角相等，可求出∠CAD=∠CBD=25°.
14．【答案】58
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
答案为58．
【分析】要运用圆周角定理，需构造出弧所对的圆心角，因此需连接半径OB，再利用等腰三角形的内角和，求出∠AOB，进而求出∠C=58°．
15．【答案】35
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴ = ，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC= AOC=35°，
故答案为35．
【分析】可连OA，构造出圆心角，利用圆周角定理可转化∠ADC= ∠ AOC，再根据垂径定理可得∠AOC=∠COB，求出答案.
16．【答案】90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°．
故答案为：90°．
【分析】利用圆周角定理，可得∠DOE=2∠A=90°
17．【答案】解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=30°，∴∠BOA=60°．又∵OA=OB，∴△AOB是正三角形．∴OB=AB=4，∴BD=8．∴⊙O的直径为8
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】作出直径，构造出直角三角形，利用圆周角定理可转化∠BOA=2∠C，证出△AOB是正三角形，得到答案.
18．【答案】（1）解：过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB cos30°=2× = ，
∴AB=2BE=2
（2）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）可作弦心距，构造直角三角形，先求出一半，再求出整条弦长；（2）连接半径，转化∠OAB=∠B，∠OAD=∠D，进而∠BOD=2∠BAD=100°.
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.4.1 圆周角和圆心角的关系
一、选择题
1．（2017九上·宁波期中）如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（ ）
A．30° B．29° C．28° D．20°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠BFC=20°，∴∠BAC=2∠BFC=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°．又EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故答案为：A．
【分析】根据圆心角与圆周角的关系，求出∠BAC=2∠BFC的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求出∠ABC=∠ACB的度数，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AD=BD，求出∠DBC的度数.
2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，
∴∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= =90°﹣α．
答案为：D．
【分析】根据圆周角定理，需连接半径，构造出圆心角∠BOC=2∠A=2α，再利用等腰三角形的性质及内角和定理，求出∠OBC=∠OCB=90°﹣α.
3．如图，在⊙O中， = ，点D在⊙O上，∠CDB=25°，则∠AOB=（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，点D在⊙O上，∠CDB=25°，
∴∠AOB=2∠CDB=50°．
答案为：B．
【分析】可利用“等弧所对的圆周角相等”得 ∠AOB=2∠CDB=50°.
4．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC= AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE= = =6，
∴△BCE的面积= BC BE= ×4×6=12．
答案为：A．
【分析】由直径的性质可得ABC=90度，在Rt△AOC中，可利用勾股定理列方程，求出r，进而利用面积公式求出面积.
5．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．28° B．54° C．18° D．36°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
答案为：D．
【分析】由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，可得出∠ACB=∠AOB=36°.
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
答案为：D．
【分析】由圆周角定理及其推论得∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，进而∠ACD+∠BAD=90°.
7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．4
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE= OC=1，
∴CD=2CE=2，
答案为：A．
【分析】利用垂径定理，得出CE=DE,再利用圆周角定理，∠COE=30° ，进而算出CE=1,CD=2CE=2.
8．如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ ）
A．26° B．30° C．32° D．64°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB= ∠AOB，
而∠AOB=64°，
∴∠ACB= ×64°=32°．
即∠ACB的度数是32°．
故答案为：C．
【分析】利用圆周角定理可得出∠ACB= ∠AOB.
9．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， = = ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED= ∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ = =，点E是点D关于AB的对称点，
∴ = ，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= =60°，∴①正确；
∠CED= ∠COD= =30°= ，∴②正确；
∵ 的度数是60°，
∴ 的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；
做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，
连接CD，
∵ = = = ，并且弧的度数都是60°，
∴∠D= =60°，∠CFD= =30°，
∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
答案为：C．
【分析】利用圆心角的性质可得∠BOE∠DOB=∠BOE=∠COD= × 180 =60°；∠CED= ∠COD= ∠ D O B；利用对称法，可求出CM+DM的最小值是10.
10．（2016·广安）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则S阴影=（ ）
A．2π B． π C． π D． π
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2 ，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE cot60°=2 × =2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC= ﹣ OE×DE+ BE CE= ﹣2 +2 = ．
故选B．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．
二、填空题
11．如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．
【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=120°，点C在⊙O上，
∴∠ACB= ∠AOB=60°．
故答案为：60°
【分析】利用“同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半"可求出.
12．如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC= 度．
【答案】80
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为：80．
【分析】可利用“同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半”，求出答案.
13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， = ．若∠CAB=40°，则∠CAD= ．
【答案】25°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BC，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°，
∵ = ，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=25°，
∴∠CAD=∠CBD=25°．
故答案为：25°．
【分析】利用直径的性质，需连接BC,BD,再利用等弧所对的圆周角相等，可求出∠CAD=∠CBD=25°.
14．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．
【答案】58
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
答案为58．
【分析】要运用圆周角定理，需构造出弧所对的圆心角，因此需连接半径OB，再利用等腰三角形的内角和，求出∠AOB，进而求出∠C=58°．
15．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
【答案】35
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴ = ，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC= AOC=35°，
故答案为35．
【分析】可连OA，构造出圆心角，利用圆周角定理可转化∠ADC= ∠ AOC，再根据垂径定理可得∠AOC=∠COB，求出答案.
16．如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
【答案】90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°．
故答案为：90°．
【分析】利用圆周角定理，可得∠DOE=2∠A=90°
三、解答题
17．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．
【答案】解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，∵∠BAC=120°，AB=AC=4，∴∠C=30°，∴∠BOA=60°．又∵OA=OB，∴△AOB是正三角形．∴OB=AB=4，∴BD=8．∴⊙O的直径为8
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】作出直径，构造出直角三角形，利用圆周角定理可转化∠BOA=2∠C，证出△AOB是正三角形，得到答案.
18．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，∠ABO=30°，OB=2．
（1）求弦AB的长；
（2）若∠D=20°，求∠BOD的度数．
【答案】（1）解：过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB cos30°=2× = ，
∴AB=2BE=2
（2）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）可作弦心距，构造直角三角形，先求出一半，再求出整条弦长；（2）连接半径，转化∠OAB=∠B，∠OAD=∠D，进而∠BOD=2∠BAD=100°.
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