2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：4.1.3 认识三角形
一、选择题
1．关于三角形的角平分线和中线，下列说法正确的是（ ）
A．都是直线 B．都是射线
C．都是线段 D．可以是射线也可以是线段
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的角平分线和中线都是线段．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段是三角形的角平分线．三角形的中线是：连接一顶点和其对边中点的线段．因而三角形的角平分线、中线都是线段即可得到结论．
2．如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC=6，DE=2，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=6，
∴BE=EC=6，
∵DE=2，
∴BD=BE-DE=6-2=4．
故答安为：D．
【分析】根据三角形中线的定义可得BE=EC=6，再根据BD=BE-DE即可求解．
3．三角形的三条中线的交点的位置为（ ）
A．一定在三角形内
B．一定在三角形外
C．可能在三角形内，也可能在三角形外
D．可能在三角形的一条边上
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的三条中线的交点一定在三角形内．
故选A．
【分析】根据三角形的中线的定义解答．
4．BD是△ABC的中线，若AB=5cm，BC=3cm，则△ABD与△BCD的周长之差是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∵△ABD周长=AB+AD+BD，△BCD周长=BC+CD+BD，
∴△ABD周长﹣△BCD周长=（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD）=AB﹣BC=5﹣3=2（cm），
即△ABD和△BCD的周长之差是2cm，
故选B．
【分析】利用中线的定义可知AD=CD，可知△ABD和△BCD的周长之差即为AB和BC的差，可求得答案．
二、填空题
5．画三角形内角的平分线交对边于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的 ．
【答案】角平分线
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：画三角形内角的平分线交对边于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的 角平分线．
故答案是：角平分线．
【分析】三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为 cm．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD的周长差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵AB=7cm，AC=5cm，
∴△ABD和△ACD的周长差=7﹣5=2cm．
故答案为：2．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD和△ACD的周长差=AB﹣AC，再代入数据计算即可得解．
7．如图
①AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ = ∠ ，
②AE是△ABC的中线，则 = = ，
③AF是△ABC的高线，则∠ =∠ =90°．
【答案】BAD；DAC；BAC；BE；EC；BC；AFB；AFC
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC= ∠BAC，②AE是△ABC的中线，则BE=EC= BC，③AF是△ABC的高线，则∠AFB=∠AFC=90°，
故答案为：BAD；DAC；BAC；BE；EC；BC；AFB；AFC
【分析】根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空．
8．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若DE=3cm，则EC= cm．
【答案】9
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，
∴BD=BC，DE=BE=BD=×BC=BC=3cm，
∴BE=3cm，BC=12cm，
∴EC=BC-BE=12-3=9cm．
故答案为：9．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=BC，DE=BE=BD，然后代入数据求出BE，再根据EC=BC-BE计算即可得解．
9．在△ABC中，AC=5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA= ．
【答案】8cm或2cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC中线，
∴BD=CD．
AD把△ABC周长分为的两部分分别是：AB+BD，AC+CD，
|（AB+BD）-（AC+CD）|=|AB-AC|=3，
如果AB＞AC，那么AB-5=3，AB=8cm；
如果AB＜AC，那么5-AB=3，AB=2cm．
故答案为：8cm或2cm．
【分析】先根据三角形中线的定义可得BD=CD，再求出AD把△ABC周长分为的两部分的差等于|AB-AC|，然后分AB＞AC，AB＜AC两种情况分别列式计算即可得解．
10．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC=9cm，BC边上中线AD=6cm，△ABD周长为19cm，AB= ．
【答案】8cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】设AB=xcm，BD=ycm，
∵AD是BC边的中线，
∴BC=2BD=2ycm。
由题意得 ，
解得 ，
所以AB=8cm。
故答案为：8cm。
【分析】设AB=xcm，BD=ycm，由三角形中线的定义得到BC=2BD=2ycm，再根据△ABC的周长为27cm，△ABD周长为19cm列出关于x、y方程组，解方程组即可．
三、解答题
11．△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC的长．
【答案】解：①边AB长为6，AC的长为4；②边AB长为 ，AC的长为
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】首先设AB=3x，AC=2x，则BC=2x+1，根据△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7可得①AB+AD=周长×；②AB+AD=周长×，分两种情况进行计算即可．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
【答案】（1）解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1/2∠BAC=40°
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，然后根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC=40°；
由于AD⊥BC，则∠ADE=90°，根据三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B=20°，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算；
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一、选择题
1．关于三角形的角平分线和中线，下列说法正确的是（ ）
A．都是直线 B．都是射线
C．都是线段 D．可以是射线也可以是线段
2．如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC=6，DE=2，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．三角形的三条中线的交点的位置为（ ）
A．一定在三角形内
B．一定在三角形外
C．可能在三角形内，也可能在三角形外
D．可能在三角形的一条边上
4．BD是△ABC的中线，若AB=5cm，BC=3cm，则△ABD与△BCD的周长之差是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．5cm
二、填空题
5．画三角形内角的平分线交对边于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的 ．
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为 cm．
7．如图
①AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ = ∠ ，
②AE是△ABC的中线，则 = = ，
③AF是△ABC的高线，则∠ =∠ =90°．
8．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若DE=3cm，则EC= cm．
9．在△ABC中，AC=5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA= ．
10．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC=9cm，BC边上中线AD=6cm，△ABD周长为19cm，AB= ．
三、解答题
11．△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC的长．
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的角平分线和中线都是线段．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段是三角形的角平分线．三角形的中线是：连接一顶点和其对边中点的线段．因而三角形的角平分线、中线都是线段即可得到结论．
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=6，
∴BE=EC=6，
∵DE=2，
∴BD=BE-DE=6-2=4．
故答安为：D．
【分析】根据三角形中线的定义可得BE=EC=6，再根据BD=BE-DE即可求解．
3．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的三条中线的交点一定在三角形内．
故选A．
【分析】根据三角形的中线的定义解答．
4．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∵△ABD周长=AB+AD+BD，△BCD周长=BC+CD+BD，
∴△ABD周长﹣△BCD周长=（AB+AD+BD）﹣（BC+CD+BD）=AB﹣BC=5﹣3=2（cm），
即△ABD和△BCD的周长之差是2cm，
故选B．
【分析】利用中线的定义可知AD=CD，可知△ABD和△BCD的周长之差即为AB和BC的差，可求得答案．
5．【答案】角平分线
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：画三角形内角的平分线交对边于一点，顶点与交点之间的线段叫做三角形的 角平分线．
故答案是：角平分线．
【分析】三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
6．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD的周长差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，
∵AB=7cm，AC=5cm，
∴△ABD和△ACD的周长差=7﹣5=2cm．
故答案为：2．
【分析】根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后求出△ABD和△ACD的周长差=AB﹣AC，再代入数据计算即可得解．
7．【答案】BAD；DAC；BAC；BE；EC；BC；AFB；AFC
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC= ∠BAC，②AE是△ABC的中线，则BE=EC= BC，③AF是△ABC的高线，则∠AFB=∠AFC=90°，
故答案为：BAD；DAC；BAC；BE；EC；BC；AFB；AFC
【分析】根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空．
8．【答案】9
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，
∴BD=BC，DE=BE=BD=×BC=BC=3cm，
∴BE=3cm，BC=12cm，
∴EC=BC-BE=12-3=9cm．
故答案为：9．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD=BC，DE=BE=BD，然后代入数据求出BE，再根据EC=BC-BE计算即可得解．
9．【答案】8cm或2cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC中线，
∴BD=CD．
AD把△ABC周长分为的两部分分别是：AB+BD，AC+CD，
|（AB+BD）-（AC+CD）|=|AB-AC|=3，
如果AB＞AC，那么AB-5=3，AB=8cm；
如果AB＜AC，那么5-AB=3，AB=2cm．
故答案为：8cm或2cm．
【分析】先根据三角形中线的定义可得BD=CD，再求出AD把△ABC周长分为的两部分的差等于|AB-AC|，然后分AB＞AC，AB＜AC两种情况分别列式计算即可得解．
10．【答案】8cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】设AB=xcm，BD=ycm，
∵AD是BC边的中线，
∴BC=2BD=2ycm。
由题意得 ，
解得 ，
所以AB=8cm。
故答案为：8cm。
【分析】设AB=xcm，BD=ycm，由三角形中线的定义得到BC=2BD=2ycm，再根据△ABC的周长为27cm，△ABD周长为19cm列出关于x、y方程组，解方程组即可．
11．【答案】解：①边AB长为6，AC的长为4；②边AB长为 ，AC的长为
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】首先设AB=3x，AC=2x，则BC=2x+1，根据△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7可得①AB+AD=周长×；②AB+AD=周长×，分两种情况进行计算即可．
12．【答案】（1）解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1/2∠BAC=40°
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，然后根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC=40°；
由于AD⊥BC，则∠ADE=90°，根据三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B=20°，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算；
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