【精品解析】高中数学人教版必修5 第一章 解三角形 1.2 应用举例 同步练习

高中数学人教版必修5 第一章 解三角形 1.2 应用举例 同步练习
一、选择题
1．某人向正东方向走 后，向右转 ，然后朝新方向走 ，结果他离出发点恰好 ，那么 的值为 （　　）
A． B． C． 或 D．
2．海上有 两个小岛相距 ，从 岛望 岛和 岛，成 的视角，从 岛望 岛和 岛，成 的视角，则 间的距离为 （　　）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝ ，则边BC的长为（　　）
A． B．2 C． D．7
4．如图，在塔底 的正西方 处测得塔顶的仰角为 ，在它的南偏东 的 处测得塔顶的仰角为 ，若 的距离是 ，则塔高为 （　　）
A． B． C． D．
5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为 （如图所示），则旗杆的高度为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，长为 的木棒 斜靠在石堤旁，木棒的一端 在离堤足 处 的地面上，另一端 在离堤足 处 的石堤上，石堤的倾斜角为 ，则坡度值 等于 （　　）
A． B． C． D．
7．如图所示， ， ， 三点在地面上的同一直线上， ，从 两点测得 点的仰角分别为 ， ，则 点离地面的高为 （　　）
A． B．
C． D．
8．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 的军事基地 和 ，测得红军的两支精锐部队分别在 处和 处，且 ， ， ， ，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是 （　　）
A． B． C． D．
9．如图，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离(此障碍物阻挡了A，B之间的视线)，给定下列四组数据，测量时应当用数据
A． B． C． D．
10．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A，B间的距离为
A．500米 B．600米 C．700米 D．800米
11．如图，某工程中要将一长为100 m、倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长
A．100 m B．100 m C．50( )m D．200 m
12．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 km，那么x的值为
A． B．2 C．3 D．2 或
13．三角形的两边长分别为3和5，其夹角 的余弦值是方程 的根，则该三角形的面积为
A．6 B． C．8 D．10
14．如图，巡航艇在海上以 的速度沿南偏东 的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A，其方向是南偏东 ，航行 到达C处，观测灯塔A的方向是北偏东 ，则巡航艇到达C处时，与灯塔A的距离是
A． B． C． D．
15．在 中，已知A=30°，a=8，b=8 ，则 的面积为
A． B．16 C． 或16 D． 或
16．一艘客船上午9:30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 海里，则灯塔S在B处的（　　）
A．北偏东75° B．北偏东75°或东偏南75°
C．东偏南75° D．以上方位都不对
二、填空题
17．三角形一边长为 ，它对的角为 ，另两边之比为 ，则此三角形面积为　 　 ．
18．在相距 千米的 ， 两点处测量目标点 ，若 ， ，则 ， 两点之间的距离为　 　千米．
19．某舰艇在 处测得遇险渔船在北偏东 方向上的 处，且到 的距离为 海里，此时得知，该渔船沿南偏东 方向，以每小时 海里的速度向一小岛靠近，舰艇的速度为 海里/小时，则舰艇到达渔船的最短时间是　 　小时．
20．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为 =30°，测得乙楼底部D的俯角 =60°，已知甲楼的高AB=24米，则乙楼的高 　 　米．
21．甲船在岛B的正南A处，AB=10 km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是　 　h．
22．如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变航行的方向继续前进，则此舰　 　触礁的危险．（填“有”或“没有”）
23．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 的方向上，行驶600 m后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 　 　 m．
三、解答题
24．如图，地面上有一旗杆 ，为了测量它的高度，在地面上选一条基线 ，测得 ，在 处测得点 的仰角为 ，在 处测得点 的仰角为 ，同时可测得 ，求旗杆的高度．
25．某人在塔 的正东 处沿着南偏西 的方向前进 米后到达 处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 ，求塔高．
26．某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
27．如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，
∠ACB=∠BDC=45°，DC = ，求：
（1）AB的长；
（2）四边形ABCD的面积．
28．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 方向的B处，且与岛屿A相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求 的值．
29．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 及 的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】根据已知条件得： ．
故答案为:A．
【分析】由条件用余弦定理得到关于x的方程求解.
2．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，在△ 中， ．
根据正弦定理得， ，∴ （nmile）.
故答案为:D．
【分析】作出三角形,由正弦定理求解.
3．【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】∵S△ABC＝ AB·ACsin A＝ ，∴AC＝2，
由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋4－2×2×2×cos 60°＝4，即BC＝ ．
故答案为B.
【分析】由面积公式的余弦定理求解.
4．【答案】B
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】设塔高 ，则 ， ．
在△ 中， ，根据余弦定理得， ，
解得 （负值舍去），故塔高为 ．
故答案为:B.
【分析】在具体问题中得到三角形,由余弦定理求解.
5．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，在△ 中， ， ，所以 ．
根据正弦定理得， ， ，
在Rt△ 中， ．
故答案为B.
【分析】结合题干的条件,找到三角形,由正弦定理求解.
6．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】由题意可得，在△ABC中，AB=4m，AC=2m，BC=3m，且 +∠ACB=π．
由余弦定理可得， ，即
，解得 ，所以 ，所以 ．
故答案为:C.
【分析】在实际上问题中,找到三角形,由余弦定理求解.
7．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】 在△ACD中，根据正弦定理得， ，所以 ．在△ABD中， ．
故答案为:A.
【分析】结合条件由正弦定理求解.
8．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以△ADC是等边三角形，所以 ．
在△BDC中，根据正弦定理得， ，所以 ．
在△ABC中，根据余弦定理得，
，
所以 ．
故答案为:A.
【分析】实际问题中,结合条件由正弦定理和余弦定理求解.
9．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】由余弦定理 知，需要测量数据 ．
故答案为:C．
【分析】由余弦定理即可求解.
10．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在 中，由余弦定理得AB2=5002+3002－2×500×300cos120°=490 000．所以AB=700（米）．
故答案为:．
【分析】由余弦定理即可求解.
11．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】设坡底需加长x m，由正弦定理得 ，解得x=100 m．
故答案为:A．
【分析】实际上问题中找到三角形,由正弦定理求解.
12．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，若设出发点为A，AB=x，则有AC2=AB2+BC2－2AB·BC·cos30°，即( )2=x2+32－2x·3cos30°，解得x=2 或 ．
故答案为:D．
【分析】设出AB=x,由余弦定理得到x的方程求解.
13．【答案】A
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由5x2－7x-6=0，可得x=2或x= ，则cos = ，所以sin = ，则该三角形的面积S= ×3×5× =6．
故答案为:A．
【分析】由方程的根得到角的余弦值,由面各公式求面积.
14．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在 中， ， ， ，则 ，由正弦定理，可得 ．
故答案为:D．
【分析】由方位角得到三角形的内角,结合正弦定理求解.
15．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在 中，由正弦定理 ，得
又b＞a，∴B=60°或120°．
当B=60°时，C=180°－30°－60°=90°，所以 = ×8×8 =32 ；
当B=120°时，C=180°－30°－120°=30°，所以 = absinC= ×8×8 × =16 ．
故答案为:D．
【分析】由正弦定理求出角的正弦值,分两种种情况求出角B,再由面积公式求面积.
16．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意画出示意图，如下图，
由题意可知AB=32× =16，BS=8 ，A=30°．
在 中，由正弦定理，得
所以S=45°或135°，B=105°或15°，
即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°．
故答案为:B．
【分析】由方位角得到三角形的内角,由正弦定理求解.
17．【答案】40
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设另两边长分别为 ，根据余弦定理， ，解得 （负值舍去），即另两边长分别为16，10，三角形面积为 ．
故答案为：.
【分析】根据三角形边长的比值，高出边长，由余弦定理求出各边长，再由面积公式求解.
18．【答案】
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】由题意知 ，由正弦定理得 ，
∴ （千米）．
故答案为：.
【分析】根据条件由余弦定理求解.
19．【答案】
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】设舰艇到达渔船的最短时间为t小时，相遇在B处．
由题意知，AC=10海里， ，BC=9t海里，AB=21t海里．
由余弦定理得， ，
整理得 ，解得 （负值舍去）．
故答案为：.
【分析】由题干中找出三角形，由余弦定理得到关于t的方程求出t的值，再求时间.
20．【答案】32
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】ED=AB=24米，在 中，∠CAD= =90°，AE⊥CD，DE=24米，则AD= 16 (米)， 则 (米)．
故答案为:32.
【分析】由点A处的仰角与俯角的和为直角,得三角形ACD为直角 三角形,在直角三形中得到CD的值.
21．【答案】
【知识点】函数最值的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意画出示意图，如图，假设t h后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，则∠DBC=120°，BC=6t，BD=10－4t．在 中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2－2BD·BCcos∠DBC=(10－4t)2+36t2－2(10－4t)6tcos120°=28t2－20t+100，所以当t= ，即航行时间为 h时，CD2最小，即甲、乙两船相距最近．
故答案为：.
【分析】由题干意，设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，由速度得到边长，由余弦定理将目标CD长表示为t的函数式，用二次函数的性质求最值.
22．【答案】没有
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】过点B作BD⊥AE交AE于D，
由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°，
在Rt 中，AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75°，
在Rt 中，CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°，
所以AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8，
所以 ，所以该军舰没有触礁的危险．
故答案为:没有.
【分析】通过解三角形,求出BD的长大于3.8,得到没有触礁的危险.
23．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】依题意， ， ，
在 中，由 ，可得 ，
因为 m，由正弦定理可得 ，即 m，
在 中，因为 ， ，所以 ，
所以 m．
故答案为：.
【分析】在实际问题中找到三角形，由正弦定理求出CD的长.
24．【答案】解：设 m，在直角三角形APO中， ，所以 m．在直角三角形POB中， ，所以 m．在三角形AOB中， ，AB=20m，利用余弦定理 ，得 ，解得h=20，所以旗杆的高度为20 m
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】将问题放到三角形AOP中,由余弦定理求出OP即高.
25．【答案】解：如图所示．
从 到 沿途测量塔的仰角，只有 到测试点的距离最小时，仰角才最大，即当 时， ．
在△BCD中， ， ， ，由正弦定理，得 ，
所以 ．
在Rt△BED中， ，
所以 ．
在Rt△ABE中， ，
所以 （米）
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】将塔高放在三角形ABE中,由正弦定理求解.
26．【答案】解：画出示意图如图，设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理的推论得，
，则 ，
，所以sin∠MAC=sin（120° C）=sin120°cosC–cos120°sinC= ．
在△MAC中，由正弦定理得
，从而有MB=MC BC=15．
所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】作出实际问题所涉及的三角形,由正余弦定理求解.
27．【答案】（1）解：因为∠BCD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°．
又∠BDC=45°，所以∠DAC=180°－（75°+ 45°+ 30°）=30°，
所以AD=DC = ．
在 中，∠CBD=180°－（75°+ 45°）=60°，
所以 ．
在 中，AB2=AD2+ BD2－2×AD×BD×cos75°= 5，所以AB=
（2）解： = ×AD×BD×sin75°= ．同理， = ．
所以四边形ABCD的面积
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)在三角形ABD中由余弦定理求解AB的长.
(2)将四边形分为两个三角形,分别求面积,得四边形的面积.
28．【答案】（1）解：依题意得， ， ， ， ．
在 中，由余弦定理，得 ，
所以BC=42，所以渔船甲的速度为 海里/小时
（2）解：在 中， ， ，BC=42， ，
由正弦定理，得 ，所以
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】(1)在三角形ABC中由余弦定理求出BC长,再求速度;
(2)在三角形ABC中,由正弦定理求角.
29．【答案】（1）解：由已知条件化简可得 ，即 ，
由余弦定理的推论，可得 ，
（2）解： ， 由正弦定理可得 ，
又 ，
在 中， ．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)将条件转化,由余弦定理求解角C;
(2)由正弦定理先求角B,由和角公式求角A的正弦,再用面积公式求三角形的面积.
1 / 1高中数学人教版必修5 第一章 解三角形 1.2 应用举例 同步练习
一、选择题
1．某人向正东方向走 后，向右转 ，然后朝新方向走 ，结果他离出发点恰好 ，那么 的值为 （　　）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】根据已知条件得： ．
故答案为:A．
【分析】由条件用余弦定理得到关于x的方程求解.
2．海上有 两个小岛相距 ，从 岛望 岛和 岛，成 的视角，从 岛望 岛和 岛，成 的视角，则 间的距离为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，在△ 中， ．
根据正弦定理得， ，∴ （nmile）.
故答案为:D．
【分析】作出三角形,由正弦定理求解.
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝ ，则边BC的长为（　　）
A． B．2 C． D．7
【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】∵S△ABC＝ AB·ACsin A＝ ，∴AC＝2，
由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋4－2×2×2×cos 60°＝4，即BC＝ ．
故答案为B.
【分析】由面积公式的余弦定理求解.
4．如图，在塔底 的正西方 处测得塔顶的仰角为 ，在它的南偏东 的 处测得塔顶的仰角为 ，若 的距离是 ，则塔高为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】设塔高 ，则 ， ．
在△ 中， ，根据余弦定理得， ，
解得 （负值舍去），故塔高为 ．
故答案为:B.
【分析】在具体问题中得到三角形,由余弦定理求解.
5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为 （如图所示），则旗杆的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，在△ 中， ， ，所以 ．
根据正弦定理得， ， ，
在Rt△ 中， ．
故答案为B.
【分析】结合题干的条件,找到三角形,由正弦定理求解.
6．如图所示，长为 的木棒 斜靠在石堤旁，木棒的一端 在离堤足 处 的地面上，另一端 在离堤足 处 的石堤上，石堤的倾斜角为 ，则坡度值 等于 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】由题意可得，在△ABC中，AB=4m，AC=2m，BC=3m，且 +∠ACB=π．
由余弦定理可得， ，即
，解得 ，所以 ，所以 ．
故答案为:C.
【分析】在实际上问题中,找到三角形,由余弦定理求解.
7．如图所示， ， ， 三点在地面上的同一直线上， ，从 两点测得 点的仰角分别为 ， ，则 点离地面的高为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】 在△ACD中，根据正弦定理得， ，所以 ．在△ABD中， ．
故答案为:A.
【分析】结合条件由正弦定理求解.
8．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 的军事基地 和 ，测得红军的两支精锐部队分别在 处和 处，且 ， ， ， ，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以△ADC是等边三角形，所以 ．
在△BDC中，根据正弦定理得， ，所以 ．
在△ABC中，根据余弦定理得，
，
所以 ．
故答案为:A.
【分析】实际问题中,结合条件由正弦定理和余弦定理求解.
9．如图，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离(此障碍物阻挡了A，B之间的视线)，给定下列四组数据，测量时应当用数据
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】由余弦定理 知，需要测量数据 ．
故答案为:C．
【分析】由余弦定理即可求解.
10．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A，B间的距离为
A．500米 B．600米 C．700米 D．800米
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在 中，由余弦定理得AB2=5002+3002－2×500×300cos120°=490 000．所以AB=700（米）．
故答案为:．
【分析】由余弦定理即可求解.
11．如图，某工程中要将一长为100 m、倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长
A．100 m B．100 m C．50( )m D．200 m
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】设坡底需加长x m，由正弦定理得 ，解得x=100 m．
故答案为:A．
【分析】实际上问题中找到三角形,由正弦定理求解.
12．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好为 km，那么x的值为
A． B．2 C．3 D．2 或
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图，若设出发点为A，AB=x，则有AC2=AB2+BC2－2AB·BC·cos30°，即( )2=x2+32－2x·3cos30°，解得x=2 或 ．
故答案为:D．
【分析】设出AB=x,由余弦定理得到x的方程求解.
13．三角形的两边长分别为3和5，其夹角 的余弦值是方程 的根，则该三角形的面积为
A．6 B． C．8 D．10
【答案】A
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由5x2－7x-6=0，可得x=2或x= ，则cos = ，所以sin = ，则该三角形的面积S= ×3×5× =6．
故答案为:A．
【分析】由方程的根得到角的余弦值,由面各公式求面积.
14．如图，巡航艇在海上以 的速度沿南偏东 的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B处观测灯塔A，其方向是南偏东 ，航行 到达C处，观测灯塔A的方向是北偏东 ，则巡航艇到达C处时，与灯塔A的距离是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在 中， ， ， ，则 ，由正弦定理，可得 ．
故答案为:D．
【分析】由方位角得到三角形的内角,结合正弦定理求解.
15．在 中，已知A=30°，a=8，b=8 ，则 的面积为
A． B．16 C． 或16 D． 或
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在 中，由正弦定理 ，得
又b＞a，∴B=60°或120°．
当B=60°时，C=180°－30°－60°=90°，所以 = ×8×8 =32 ；
当B=120°时，C=180°－30°－120°=30°，所以 = absinC= ×8×8 × =16 ．
故答案为:D．
【分析】由正弦定理求出角的正弦值,分两种种情况求出角B,再由面积公式求面积.
16．一艘客船上午9:30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 海里，则灯塔S在B处的（　　）
A．北偏东75° B．北偏东75°或东偏南75°
C．东偏南75° D．以上方位都不对
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意画出示意图，如下图，
由题意可知AB=32× =16，BS=8 ，A=30°．
在 中，由正弦定理，得
所以S=45°或135°，B=105°或15°，
即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°．
故答案为:B．
【分析】由方位角得到三角形的内角,由正弦定理求解.
二、填空题
17．三角形一边长为 ，它对的角为 ，另两边之比为 ，则此三角形面积为　 　 ．
【答案】40
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设另两边长分别为 ，根据余弦定理， ，解得 （负值舍去），即另两边长分别为16，10，三角形面积为 ．
故答案为：.
【分析】根据三角形边长的比值，高出边长，由余弦定理求出各边长，再由面积公式求解.
18．在相距 千米的 ， 两点处测量目标点 ，若 ， ，则 ， 两点之间的距离为　 　千米．
【答案】
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】由题意知 ，由正弦定理得 ，
∴ （千米）．
故答案为：.
【分析】根据条件由余弦定理求解.
19．某舰艇在 处测得遇险渔船在北偏东 方向上的 处，且到 的距离为 海里，此时得知，该渔船沿南偏东 方向，以每小时 海里的速度向一小岛靠近，舰艇的速度为 海里/小时，则舰艇到达渔船的最短时间是　 　小时．
【答案】
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】设舰艇到达渔船的最短时间为t小时，相遇在B处．
由题意知，AC=10海里， ，BC=9t海里，AB=21t海里．
由余弦定理得， ，
整理得 ，解得 （负值舍去）．
故答案为：.
【分析】由题干中找出三角形，由余弦定理得到关于t的方程求出t的值，再求时间.
20．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为 =30°，测得乙楼底部D的俯角 =60°，已知甲楼的高AB=24米，则乙楼的高 　 　米．
【答案】32
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】ED=AB=24米，在 中，∠CAD= =90°，AE⊥CD，DE=24米，则AD= 16 (米)， 则 (米)．
故答案为:32.
【分析】由点A处的仰角与俯角的和为直角,得三角形ACD为直角 三角形,在直角三形中得到CD的值.
21．甲船在岛B的正南A处，AB=10 km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是　 　h．
【答案】
【知识点】函数最值的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意画出示意图，如图，假设t h后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，则∠DBC=120°，BC=6t，BD=10－4t．在 中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2－2BD·BCcos∠DBC=(10－4t)2+36t2－2(10－4t)6tcos120°=28t2－20t+100，所以当t= ，即航行时间为 h时，CD2最小，即甲、乙两船相距最近．
故答案为：.
【分析】由题干意，设t小时后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，由速度得到边长，由余弦定理将目标CD长表示为t的函数式，用二次函数的性质求最值.
22．如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变航行的方向继续前进，则此舰　 　触礁的危险．（填“有”或“没有”）
【答案】没有
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】过点B作BD⊥AE交AE于D，
由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°，
在Rt 中，AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75°，
在Rt 中，CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°，
所以AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8，
所以 ，所以该军舰没有触礁的危险．
故答案为:没有.
【分析】通过解三角形,求出BD的长大于3.8,得到没有触礁的危险.
23．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 的方向上，行驶600 m后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 　 　 m．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【解答】依题意， ， ，
在 中，由 ，可得 ，
因为 m，由正弦定理可得 ，即 m，
在 中，因为 ， ，所以 ，
所以 m．
故答案为：.
【分析】在实际问题中找到三角形，由正弦定理求出CD的长.
三、解答题
24．如图，地面上有一旗杆 ，为了测量它的高度，在地面上选一条基线 ，测得 ，在 处测得点 的仰角为 ，在 处测得点 的仰角为 ，同时可测得 ，求旗杆的高度．
【答案】解：设 m，在直角三角形APO中， ，所以 m．在直角三角形POB中， ，所以 m．在三角形AOB中， ，AB=20m，利用余弦定理 ，得 ，解得h=20，所以旗杆的高度为20 m
【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】将问题放到三角形AOP中,由余弦定理求出OP即高.
25．某人在塔 的正东 处沿着南偏西 的方向前进 米后到达 处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 ，求塔高．
【答案】解：如图所示．
从 到 沿途测量塔的仰角，只有 到测试点的距离最小时，仰角才最大，即当 时， ．
在△BCD中， ， ， ，由正弦定理，得 ，
所以 ．
在Rt△BED中， ，
所以 ．
在Rt△ABE中， ，
所以 （米）
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】将塔高放在三角形ABE中,由正弦定理求解.
26．某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
【答案】解：画出示意图如图，设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理的推论得，
，则 ，
，所以sin∠MAC=sin（120° C）=sin120°cosC–cos120°sinC= ．
在△MAC中，由正弦定理得
，从而有MB=MC BC=15．
所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】作出实际问题所涉及的三角形,由正余弦定理求解.
27．如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，
∠ACB=∠BDC=45°，DC = ，求：
（1）AB的长；
（2）四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：因为∠BCD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°．
又∠BDC=45°，所以∠DAC=180°－（75°+ 45°+ 30°）=30°，
所以AD=DC = ．
在 中，∠CBD=180°－（75°+ 45°）=60°，
所以 ．
在 中，AB2=AD2+ BD2－2×AD×BD×cos75°= 5，所以AB=
（2）解： = ×AD×BD×sin75°= ．同理， = ．
所以四边形ABCD的面积
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)在三角形ABD中由余弦定理求解AB的长.
(2)将四边形分为两个三角形,分别求面积,得四边形的面积.
28．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 方向的B处，且与岛屿A相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：依题意得， ， ， ， ．
在 中，由余弦定理，得 ，
所以BC=42，所以渔船甲的速度为 海里/小时
（2）解：在 中， ， ，BC=42， ，
由正弦定理，得 ，所以
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】(1)在三角形ABC中由余弦定理求出BC长,再求速度;
(2)在三角形ABC中,由正弦定理求角.
29．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 及 的面积．
【答案】（1）解：由已知条件化简可得 ，即 ，
由余弦定理的推论，可得 ，
（2）解： ， 由正弦定理可得 ，
又 ，
在 中， ．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)将条件转化,由余弦定理求解角C;
(2)由正弦定理先求角B,由和角公式求角A的正弦,再用面积公式求三角形的面积.
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