初中数学北师大版七年级下册5.3简单的轴对称图形练习题
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，若AC=6，BC=10，则△ACD的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=6，BC=10，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+10=16．
故选A．
【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．
2．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠A B．BD=BC
C．△ABD是等腰三角形 D．点D为线段AC的中点
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠C=2∠A，故（A）正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴∠BDC=36°+36°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，故（B）正确；
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形，故（C）正确；
∵BD＜CD，
∴AD＞CD，
∴D不是AC的中点，故（D）错误．
故选：D
【分析】根据∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，可得△ABD与△BCD都是等腰三角形，据此判断各选项是否正确即可．
3．（2017八上·丛台期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图
过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD= AB DE= ×10 DE=15，
解得DE=3．
故选A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
4．（2017八上·宜城期末）下列关于等边三角形的描述错误的是（ ）
A．三边相等的三角形是等边三角形
B．三个角相等的三角形是等边三角形
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两个角是60°的三角形是等边三角形
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确；
B、三个角相等的三角形是等边三角形，此选项正确；
C、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项错误；
D、有两个角是60°的三角形是等边三角形，此选项正确；
故选：C．
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定进行分析，从而得到答案．
5．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB=8，
∴AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD=∠CFE=90°，
∴AE= AD=2，
∴CF=8﹣2=6，
∴CF= CE=3，
∴BF=5，
故选C．
【分析】根据等边三角形的性质得到AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，根据直角三角形的性质得到AE= AD=2，于是得到结论．
6．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（ ）
A．22 B．17 C．13 D．17或22
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是9，但是4+4＜9，
故不能构成三角形，舍去．
②若4是底，则腰是9，9．
4+9＞9，符合条件，成立．
故周长为：4+9+9=22．
故选A．
【分析】根据题意，要分情况讨论：①4是腰；②4是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
7．等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则该三角形的周长为（ ）
A．6 B．6或9或8.5
C．9或8.5 D．与x的取值有关
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，6﹣2x
∵三角形为等腰三角形
∴4x﹣3=6﹣2x，
∴x=1.5，
∴4x﹣3=3，6﹣2x=3，
∴3x﹣2=2.5
∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5
②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，6﹣2x
∵三角形为等腰三角形
∴3x﹣2=6﹣2x，
∴x=1.6，
∴3x﹣2=2.8，6﹣2x=2.8，
∴4x﹣3=3.4
∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9
③当6﹣2x是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3
∵三角形为等腰三角形
∴3x﹣2=4x﹣3，
∴x=1，
∴3x﹣2=1，4x﹣3=1，
∵1=1
∴6﹣2x=4
∵1+1＜4
∴不能构成三角形
故答案为：8.5或9．选C.
【分析】题中已知三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分情况进行分析，从而求解．
8．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×（AB+BC+AC）×3
= ×20×3=30，
故选C．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
9．△ABC中，AB=AC≠BC，在△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP、△ACP、△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的P点，
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；
③作BC的垂直平分线，以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的P点；
④在△ABC的左边作一个△APB，使△APB≌△ABC，这点也是符合要求的P点；
⑤同理在△ABC的右边作一个△APC，使△APC≌△ACB，这点也是符合要求的P点．
所以共有6个符合条件的点P．
故选C．
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）解答即可．
10．如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，满足条件的点C的个数有5个，
故选C．
【分析】根据等腰三角形的判定可得答案．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6cm，DE=2cm，
∴DM=4cm，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2cm，
∴BN=4cm，
∴BC=2BN=8cm．
故选C．
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
12．（2017八下·盐都开学考）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，
∴△BPR≌△CPS，
∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选D．
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出②正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到③正确，④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确．
13．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是9个．
故选D．
【分析】点C在线段AB的垂直平分线上或在以A、B为圆心AB为半径的圆上，用此方法即可判定．
14．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理得到AB是线段CD的垂直平分线，得到答案．
15．已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B=∠C，
又∵∠A=60°，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选A．
【分析】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由∠A=60°，∠B=∠C，利用三角形的内角和定理得到∠B=∠C=60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断②正确；由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠BAC=60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断③正确．
二、填空题
16．等腰三角形的一个角为30°，则它的另外两内角分别为 ．
【答案】75°、75°或30°、120°
【知识点】等腰三角形的性质
17．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
【答案】a
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AON=60°，
∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
18．如图，已知△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为 ．
【答案】8cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∵边BC长为8cm，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8cm．
故答案为：8cm．
【分析】由△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=CE，继而可得△ADE的周长为BC的长．
19．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=5，BE平分∠ABD，AE∥BD交BE于E．则△ABE的周长是 ．
【答案】15
【知识点】等边三角形的判定与性质
20．（2017八上·德惠期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，DE∥AC交AB于E，若AB=5，则DE的长是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE=ED，
又∵AD⊥BD，即∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∴BE=DE，
在Rt△ADB中，
DE= AB= ．
故答案为： ．
【分析】首先根据角平分线的性质与平行线的性质得出∠1=∠3，再利用等腰三角形的性质得出DE= AB，进而得出答案．
21．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=28°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
【答案】69°
【知识点】线段垂直平分线的性质
22．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，则：①PD=DQ；②∠Q=30°；③DE= AC；④AE= CQ．其中正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都写在横线上）．
【答案】①③④
【知识点】等边三角形的性质
23．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有 个．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定
24．如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB=4，AC=3，则△ADF周长为 ．
【答案】7
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
25．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为 ．
【答案】10
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
过点D作DE⊥AB与E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
又∵AB：AC=3：2，
∴AB= AC，
∵△ABD的面积为15
∴S△ABD= AB×DE= × AC×DF=15，
∴ AC×DF=10
∴S△ACD= AC×DF=10
故答案为：10．
【分析】先利用角平分线的性质判断出DE=DF，再用△ABD的面积求出 AC×DF=10，即可得出结论．
26．有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．
【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定
27．如图，已知直线L1∥L2，将等边三角形如图放置，若∠ɑ=40°，则∠β等于 ．
【答案】20°
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
28．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于 ．
【答案】8
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=4，
∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
∴PC=2PE=8，
故答案为：8．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质求出PE，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可．
29．（2016八上·大悟期中）若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是 cm．
【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若10cm为腰长，则第三边的长是10cm；
若5cm为腰长，
∵5+5=10，
∴不能组成三角形，舍去；
综上：若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是10cm．
故答案为：10．
【分析】分别从10cm为腰长或5cm为腰长，去分析求解即可求得答案，注意三角形三边关系的应用．
30．如图，P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，若∠AOB=60°，PD=2cm，则△COP是 三角形，OP= cm．
【答案】等腰；4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定
三、解答题
31．已知：如图，在△BAC中，AB=AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△DAE是等腰三角形．
【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴△DAE是等腰三角形
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，由DE∥BC可得出∠ADE=∠B、∠AED=∠C，进而可得出∠ADE=∠AED，由此即可证出△DAE是等腰三角形．
32．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，求∠C的度数？
【答案】解：∵∠BAD=20°，AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB=80°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
又∵AD=DC，
∴∠C= ∠ADB=40°，
∴∠C=40°．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解．
33．如图1，已知，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC与E，F
（1）图中有几个等腰三角形？试说明理由，并请指出EF与BE，CF间有怎样的关系？
（2）若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F（如图2），请直接写出EF与BE，CF间的关系，不用证明．
【答案】（1）解：有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；
理由如下：OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴EO=EB，
∴△OBE是等腰三角形，
同理FO=FC，△OCF是等腰三角形；
∴EF=OE+OF=BE+CF
（2）解：结论：EF=BE﹣CF．
理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，
故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO﹣FO=BE﹣FC
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；（2）结论：EF=BE﹣CF．只要证明EB=EO，CF=OF即可解决问题；
34．仔细阅读完成下面的推理说明
如图，CD是△ABC的角平分线，ED=EC，∠ADE=40°，求∠ABC．
解：∵CD是△ABC的角平分线（ ）
∴∠ECD=∠ （ ）
又∵DE=DC（ ）
∴△CDE是等腰三角形（ ）
∴∠ECD=∠ =∠ （ ）
∴DE∥BC（ ）
∴∠ABC=∠ADE=40°（ ）
【答案】已知；BCD；角平分线的定义；已知；等腰三角形的定义；EDC；BCD；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】等腰三角形的判定
35．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求三角形各边的长．
【答案】解：设AB=AC=2x，BC=y，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD= AC=x，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴① ，解得， ，
∴AB=AC=2x=16，BC=22，能构成三角形，
② ，解得， ，
∴AB=AC=2x=20，BC=14，能构成三角形，
即：三角形的各边是16，16，22或20，20，14
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】设AB=AC=2x，BC=y，进而得出AD=CD= AC=x，再分两种情况，建立方程组求解，最后判定能否构成三角形．
36．（2017八上·丰都期末）如图，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上的一点，求证：BD=CD．
【答案】证明：∵PB⊥BA，PC⊥CA，
在Rt△PAB，Rt△PAC中，
∵PB=PC，PA=PA，
∴Rt△PAB≌Rt△PAC，
∴∠APB=∠APC，
又D是PA上一点，PD=PD，PB=PC，
∴△PBD≌△PCD，
∴BD=CD．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先利用HL判定Rt△PAB≌Rt△PAC，得出∠APB=∠APC，再利用SAS判定△PBD≌△PCD，从而得出BD=CD．
37．如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．
（1）若∠ACP=24°，求∠ABP的度数；
（2）若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写出m，n满足的关系式： ．
【答案】（1）解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP，
∵∠A=60°，∠ACP=24°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣24°，
∴3∠ABP=120°﹣24°，
∴∠ABP=32°
（2）m+3n=120
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： （2）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，
∵∠A=60°，∠ACP=m°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣m°，
∴3∠ABP=120°﹣m°，
∴3n°+m°=120°，
故答案为：m+3n=120．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（2）运用（1）中的方法，即可得出m，n满足的关系式．
38．在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E．
（1）若∠ABE=38°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为36cm，一边为13cm，求△BCE的周长．
【答案】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= =71°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=71°﹣38°=33°
（2）解：当BC=13cm时，AB=AC=11.5cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=13cm+11.5cm=24.5cm；
当AB=AC=13cm时，则BC=10cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10cm+13cm=23cm；
即△BCE的周长为24.5cm或23cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案；（2）求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，求出△BCE的周长=AC+BC，代入求出即可．
39．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
【答案】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，
∴ ×6×DE+ ×8×DF=28，
∴DE=DF=4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
40．在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，动点P从点C出发，沿着CB运动，速度为每秒2个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：
（1）求BC上的高；
（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？
【答案】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB2+AC2=100 BC2=100
∴AB2+AC2=BC2
∴∠BAC=90° 即△ABC为直角三角形，
∴
∴AD=4.8
（2）解：当AC=PC时，
∵AC=6，
∴AC=PC=6，
∴t=3秒；
当AP=AC时，过点A作AD⊥BC于点D，
PD=DC
CD= =3.6，
∴PC=7.2，
∴t=3.6秒；
当AP=PC时，
∠PAC=∠C
∵∠BAC=90°
∴∠BAP+∠PAC=90°
∠B+∠C=90°
∴∠BAP=∠B
∴PB=PA
∴PB=PC=5
∴t=2.5
综上所述，t=3秒或3.6秒或2.5秒
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据三角形的面积公式解答即可；（2）根据等腰三角形的性质分三种情况进行解答即可．
1 / 1初中数学北师大版七年级下册5.3简单的轴对称图形练习题
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，若AC=6，BC=10，则△ACD的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
2．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠A B．BD=BC
C．△ABD是等腰三角形 D．点D为线段AC的中点
3．（2017八上·丛台期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2017八上·宜城期末）下列关于等边三角形的描述错误的是（ ）
A．三边相等的三角形是等边三角形
B．三个角相等的三角形是等边三角形
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两个角是60°的三角形是等边三角形
5．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB=8，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（ ）
A．22 B．17 C．13 D．17或22
7．等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，6﹣2x，则该三角形的周长为（ ）
A．6 B．6或9或8.5
C．9或8.5 D．与x的取值有关
8．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
9．△ABC中，AB=AC≠BC，在△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP、△ACP、△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．4个 C．6个 D．8个
10．如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
12．（2017八下·盐都开学考）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
14．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
15．已知：在△ABC中，∠A=60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
16．等腰三角形的一个角为30°，则它的另外两内角分别为 ．
17．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
18．如图，已知△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为 ．
19．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=5，BE平分∠ABD，AE∥BD交BE于E．则△ABE的周长是 ．
20．（2017八上·德惠期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，DE∥AC交AB于E，若AB=5，则DE的长是 ．
21．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=28°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
22．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，则：①PD=DQ；②∠Q=30°；③DE= AC；④AE= CQ．其中正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都写在横线上）．
23．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有 个．
24．如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB=4，AC=3，则△ADF周长为 ．
25．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为 ．
26．有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．
27．如图，已知直线L1∥L2，将等边三角形如图放置，若∠ɑ=40°，则∠β等于 ．
28．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于 ．
29．（2016八上·大悟期中）若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是 cm．
30．如图，P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，若∠AOB=60°，PD=2cm，则△COP是 三角形，OP= cm．
三、解答题
31．已知：如图，在△BAC中，AB=AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△DAE是等腰三角形．
32．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，求∠C的度数？
33．如图1，已知，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC与E，F
（1）图中有几个等腰三角形？试说明理由，并请指出EF与BE，CF间有怎样的关系？
（2）若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F（如图2），请直接写出EF与BE，CF间的关系，不用证明．
34．仔细阅读完成下面的推理说明
如图，CD是△ABC的角平分线，ED=EC，∠ADE=40°，求∠ABC．
解：∵CD是△ABC的角平分线（ ）
∴∠ECD=∠ （ ）
又∵DE=DC（ ）
∴△CDE是等腰三角形（ ）
∴∠ECD=∠ =∠ （ ）
∴DE∥BC（ ）
∴∠ABC=∠ADE=40°（ ）
35．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求三角形各边的长．
36．（2017八上·丰都期末）如图，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上的一点，求证：BD=CD．
37．如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．
（1）若∠ACP=24°，求∠ABP的度数；
（2）若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写出m，n满足的关系式： ．
38．在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E．
（1）若∠ABE=38°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为36cm，一边为13cm，求△BCE的周长．
39．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
40．在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，动点P从点C出发，沿着CB运动，速度为每秒2个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：
（1）求BC上的高；
（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=6，BC=10，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+10=16．
故选A．
【分析】由AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，继而可得△ACD的周长为：AC+BC，则可求得答案．
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠C=2∠A，故（A）正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴∠BDC=36°+36°=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，故（B）正确；
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形，故（C）正确；
∵BD＜CD，
∴AD＞CD，
∴D不是AC的中点，故（D）错误．
故选：D
【分析】根据∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，可得△ABD与△BCD都是等腰三角形，据此判断各选项是否正确即可．
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图
过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD= AB DE= ×10 DE=15，
解得DE=3．
故选A．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、等边三角形中，各边都相等，此选项正确；
B、三个角相等的三角形是等边三角形，此选项正确；
C、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项错误；
D、有两个角是60°的三角形是等边三角形，此选项正确；
故选：C．
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定进行分析，从而得到答案．
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB=8，
∴AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD=∠CFE=90°，
∴AE= AD=2，
∴CF=8﹣2=6，
∴CF= CE=3，
∴BF=5，
故选C．
【分析】根据等边三角形的性质得到AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，根据直角三角形的性质得到AE= AD=2，于是得到结论．
6．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若4是腰，则另一腰也是4，底是9，但是4+4＜9，
故不能构成三角形，舍去．
②若4是底，则腰是9，9．
4+9＞9，符合条件，成立．
故周长为：4+9+9=22．
故选A．
【分析】根据题意，要分情况讨论：①4是腰；②4是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，6﹣2x
∵三角形为等腰三角形
∴4x﹣3=6﹣2x，
∴x=1.5，
∴4x﹣3=3，6﹣2x=3，
∴3x﹣2=2.5
∴等腰三角形的周长=3+3+2.5=8.5
②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，6﹣2x
∵三角形为等腰三角形
∴3x﹣2=6﹣2x，
∴x=1.6，
∴3x﹣2=2.8，6﹣2x=2.8，
∴4x﹣3=3.4
∴等腰三角形的周长=2.8+2.8+3.4=9
③当6﹣2x是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3
∵三角形为等腰三角形
∴3x﹣2=4x﹣3，
∴x=1，
∴3x﹣2=1，4x﹣3=1，
∵1=1
∴6﹣2x=4
∵1+1＜4
∴不能构成三角形
故答案为：8.5或9．选C.
【分析】题中已知三边的长，而没有指明哪个是腰，哪个是底边，故应该分情况进行分析，从而求解．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC= ×AB×OE+ ×BC×OD+ ×AC×OF= ×（AB+BC+AC）×3
= ×20×3=30，
故选C．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，这点就是符合要求的P点，
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；
③作BC的垂直平分线，以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，这两点为符合要求的P点；
④在△ABC的左边作一个△APB，使△APB≌△ABC，这点也是符合要求的P点；
⑤同理在△ABC的右边作一个△APC，使△APC≌△ACB，这点也是符合要求的P点．
所以共有6个符合条件的点P．
故选C．
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）解答即可．
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，满足条件的点C的个数有5个，
故选C．
【分析】根据等腰三角形的判定可得答案．
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6cm，DE=2cm，
∴DM=4cm，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2cm，
∴BN=4cm，
∴BC=2BN=8cm．
故选C．
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．
12．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，
∴△BPR≌△CPS，
∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选D．
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出②正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到③正确，④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确．
13．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是9个．
故选D．
【分析】点C在线段AB的垂直平分线上或在以A、B为圆心AB为半径的圆上，用此方法即可判定．
14．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理得到AB是线段CD的垂直平分线，得到答案．
15．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B=∠C，
又∵∠A=60°，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选A．
【分析】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由∠A=60°，∠B=∠C，利用三角形的内角和定理得到∠B=∠C=60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断②正确；由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠BAC=60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断③正确．
16．【答案】75°、75°或30°、120°
【知识点】等腰三角形的性质
17．【答案】a
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AON=60°，
∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
18．【答案】8cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∵边BC长为8cm，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8cm．
故答案为：8cm．
【分析】由△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，AE=CE，继而可得△ADE的周长为BC的长．
19．【答案】15
【知识点】等边三角形的判定与性质
20．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE=ED，
又∵AD⊥BD，即∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∴BE=DE，
在Rt△ADB中，
DE= AB= ．
故答案为： ．
【分析】首先根据角平分线的性质与平行线的性质得出∠1=∠3，再利用等腰三角形的性质得出DE= AB，进而得出答案．
21．【答案】69°
【知识点】线段垂直平分线的性质
22．【答案】①③④
【知识点】等边三角形的性质
23．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定
24．【答案】7
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
25．【答案】10
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
过点D作DE⊥AB与E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
又∵AB：AC=3：2，
∴AB= AC，
∵△ABD的面积为15
∴S△ABD= AB×DE= × AC×DF=15，
∴ AC×DF=10
∴S△ACD= AC×DF=10
故答案为：10．
【分析】先利用角平分线的性质判断出DE=DF，再用△ABD的面积求出 AC×DF=10，即可得出结论．
26．【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定
27．【答案】20°
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
28．【答案】8
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD=4，
∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
∴PC=2PE=8，
故答案为：8．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质求出PE，根据直角三角形的性质和平行线的性质解答即可．
29．【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若10cm为腰长，则第三边的长是10cm；
若5cm为腰长，
∵5+5=10，
∴不能组成三角形，舍去；
综上：若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是10cm．
故答案为：10．
【分析】分别从10cm为腰长或5cm为腰长，去分析求解即可求得答案，注意三角形三边关系的应用．
30．【答案】等腰；4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定
31．【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴△DAE是等腰三角形
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，由DE∥BC可得出∠ADE=∠B、∠AED=∠C，进而可得出∠ADE=∠AED，由此即可证出△DAE是等腰三角形．
32．【答案】解：∵∠BAD=20°，AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB=80°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
又∵AD=DC，
∴∠C= ∠ADB=40°，
∴∠C=40°．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB=AD=DC可得∠DAC=∠C，易求解．
33．【答案】（1）解：有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；
理由如下：OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴EO=EB，
∴△OBE是等腰三角形，
同理FO=FC，△OCF是等腰三角形；
∴EF=OE+OF=BE+CF
（2）解：结论：EF=BE﹣CF．
理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，
故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO﹣FO=BE﹣FC
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；（2）结论：EF=BE﹣CF．只要证明EB=EO，CF=OF即可解决问题；
34．【答案】已知；BCD；角平分线的定义；已知；等腰三角形的定义；EDC；BCD；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【知识点】等腰三角形的判定
35．【答案】解：设AB=AC=2x，BC=y，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD= AC=x，
∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，
∴① ，解得， ，
∴AB=AC=2x=16，BC=22，能构成三角形，
② ，解得， ，
∴AB=AC=2x=20，BC=14，能构成三角形，
即：三角形的各边是16，16，22或20，20，14
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】设AB=AC=2x，BC=y，进而得出AD=CD= AC=x，再分两种情况，建立方程组求解，最后判定能否构成三角形．
36．【答案】证明：∵PB⊥BA，PC⊥CA，
在Rt△PAB，Rt△PAC中，
∵PB=PC，PA=PA，
∴Rt△PAB≌Rt△PAC，
∴∠APB=∠APC，
又D是PA上一点，PD=PD，PB=PC，
∴△PBD≌△PCD，
∴BD=CD．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先利用HL判定Rt△PAB≌Rt△PAC，得出∠APB=∠APC，再利用SAS判定△PBD≌△PCD，从而得出BD=CD．
37．【答案】（1）解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP，
∵∠A=60°，∠ACP=24°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣24°，
∴3∠ABP=120°﹣24°，
∴∠ABP=32°
（2）m+3n=120
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： （2）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，
∵∠A=60°，∠ACP=m°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣m°，
∴3∠ABP=120°﹣m°，
∴3n°+m°=120°，
故答案为：m+3n=120．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（2）运用（1）中的方法，即可得出m，n满足的关系式．
38．【答案】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= =71°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=71°﹣38°=33°
（2）解：当BC=13cm时，AB=AC=11.5cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=13cm+11.5cm=24.5cm；
当AB=AC=13cm时，则BC=10cm，
∵AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=10cm+13cm=23cm；
即△BCE的周长为24.5cm或23cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案；（2）求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，求出△BCE的周长=AC+BC，代入求出即可．
39．【答案】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，
∴ ×6×DE+ ×8×DF=28，
∴DE=DF=4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
40．【答案】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB2+AC2=100 BC2=100
∴AB2+AC2=BC2
∴∠BAC=90° 即△ABC为直角三角形，
∴
∴AD=4.8
（2）解：当AC=PC时，
∵AC=6，
∴AC=PC=6，
∴t=3秒；
当AP=AC时，过点A作AD⊥BC于点D，
PD=DC
CD= =3.6，
∴PC=7.2，
∴t=3.6秒；
当AP=PC时，
∠PAC=∠C
∵∠BAC=90°
∴∠BAP+∠PAC=90°
∠B+∠C=90°
∴∠BAP=∠B
∴PB=PA
∴PB=PC=5
∴t=2.5
综上所述，t=3秒或3.6秒或2.5秒
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据三角形的面积公式解答即可；（2）根据等腰三角形的性质分三种情况进行解答即可．
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