2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.1 等腰三角形 课时1
一、填空题
1．判定两个三角形全等的三个基本事实为 、 、 ;一条判定定理为 ;全等三角形的 、 相等.
2．（2017九下·建湖期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．
其中所有正确结论的序号是 ．
3．等腰三角形的两个 相等;简言之:“等边对等角”;这里要注意:“等边对等角”是在 三角形中.
4．如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是
二、选择题
5．（2017八上·宜昌期中）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
7．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
8．（2017·全椒模拟）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD=∠CAD B．AD⊥BC C．∠B=∠C D．∠BAC=∠B
10．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠EBC=∠ECB C．∠ABE=∠ACE D．AE=BE
12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD=∠CAD； ②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；
③BD=CD； ④若点P在直线AD上，则PB=PC.其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
三、解答题
13．如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC.求证:∠C=2∠D.
14．如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD
15．如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,作∠EAB=∠BAD,AE边交CB的延长线于点E,延长AD到点F,使AF=AE,连接CF.求证:BE=CF.
16．如图①,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
（1）求证:BE=CE.
（2）如图②,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,AF=BF,原题设其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.
17．如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE.
求证：BD=2CE.
答案解析部分
1．【答案】SAS；ASA；SSS；AAS；对应边；对应角
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解 ：根据三角形全等的判定方法及性质定理得出答案：1，SAS ,2 ,ASA ,3,SSS ,4 ,AAS ;5 ,对应边，6，对应角 。
故答案为 ：1，SAS ,2 ,ASA ,3,SSS ,4 ,AAS ;5 ,对应边，6，对应角 。
【分析】根据全等三角形的判定方法：①两边及夹角相等的两个三角形全等，②两角及夹边对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的性质 ;全等三角形对应角相等，对应边相等；就可以得出答案。
2．【答案】①②③
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，
∴AC⊥BD，故①正确；
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴∠COB=∠COD=90°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确
∴BC=DC，故②正确；
故答案为①②③．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论．
3．【答案】底角；同一
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解 ：1、底角 ；2 、同一。
故答案为 ：1、底角 ；2 、同一 。
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，及实用的范围，必须是在同一三角形中，就可以做答了。
4．【答案】20
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解 ：∵△ABC中,AB=AC,AD⊥BC ，
∴ BD=CD ,
∵ CD=4 ,
∴ BD=CD=4 ,
∴ BC=BD+CD=8 ，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出 BD=CD=4 , 从而根据三角形的周长计算出结果 。
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中， ，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中， ，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中， ，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故A不符合题意； B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故B不符合题意； C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故C符合题意； D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故D不符合题意．
故应选：C 。
【分析】根据三角形全等的判定方法和性质及等腰三角形的性质，三角形外角定理就可以一一作出判断。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED.
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，
∴∠B=25°.
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED= ×(180°-25°)=77.5°.
∴∠CDE=180°-∠CDA-∠BDE=180°-50°-77.5°=52.5° 。
故应选 ：D 。
【分析】根据等边对等角得出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质得出∠B+∠DCB=∠CDA=50°，从而得出∠B=25°，根据三角形的内角和得出∠B+∠EDB+∠DEB=180°，从而得出∠BDE=∠BED= ×(180°-25°)=77.5°，根据角的和差得出答案。
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN（SAS），
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∠MKN=44°，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形得性质得出∠A=∠B，再由全等三角形得判定SAS得△AMK≌△BKN，由全等三角形的性质得∠AMK=∠BKN，再由等量代换得∠A=∠MKN=44°，最后由三角形内角和定理得出∠P得度数.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C．
故A、B、C都不符合题意．
故应选：D 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一，及等边对等角得出∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C，即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点
∴AD⊥BC；∠DAC=∠BAD=35°，
∴ ∠ADC=90° ，
∴∠C=∠ADC -∠DAC=55° 。
故应选：C 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC；∠DAC=∠BAD=35°，根据垂直的定义得出∠ADC=90° ，再根据三角形的内角和得出∠C=90° -∠DAC=55° 。
11．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，故A不符合题意；
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，故B不符合题意；
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，即∠ABE=∠ACE，
故C不符合题意；
根据题目条件无法得到∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE不一定正确，故D符合题意．
故应选：D 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，从而得出AD是BC的中垂线，根据中垂线上的点到线段两端的距离相等，得出EB=EC，根据等边对等角得出∠EBC=∠ECB ，∠ABC=∠ACB ，根据等式的性质得出∠ABE=∠ACE ，从而得出本题答案。
12．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，故①③符合题意；
∵∠BAD=∠CAD，
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，故②符合题意；
∵AD是BC的中垂线，
∴若点P在直线AD上，则PB=PC，故④符合题意．
故应选：D
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD=∠CAD，BD=CD，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出：AD上任意一点到AB、AC的距离相等 ；根据中垂线上的点到线段两边的距离相等得出：若点P在直线AD上，则PB=PC；从而得出答案。
13．【答案】证明:∵AB=AC=AD,∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD.∵AD∥BC,∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠D.∴∠C=2∠D
【知识点】角的运算；平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角得出∠C=∠ABC,∠D=∠ABD，根据二直线平行内错角相等得出∠CBD=∠D，根据角的和差及等量代换得出∠C=2∠D 。
14．【答案】证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C.又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.又∵BE⊥AC于点E,∴∠BEC=∠ADB=90°.∴∠C+∠CBE=∠ABD+∠BAD=90°.∴∠CBE=∠BAD
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角得出∠ABD=∠C，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，根据垂直的定义得出∠BEC=∠ADB=90°，然后利用等角的余角相等得出∠CBE=∠BAD 。
15．【答案】证明:∵AB=AC,点D是BC的中点,∴∠BAD=∠CAD.∵∠EAB=∠BAD,∴∠EAB=∠CAD.又∵AE=AF,AB=AC,∴△ABE≌△ACF(SAS).∴BE=CF
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD=∠CAD，根据等量代换得出∠EAB=∠CAD，然后利用SAS判断出△ABE≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得出BE=CF 。
16．【答案】（1）证明：∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中,
∴△ABE≌△ACE(SAS).∴BE=CE 。
（2）证明：∵AB=AC, 点D是BC的中点,∴AD⊥BC.
∴∠EAF+∠C=90°.
∵BF⊥AC,∴∠CBF+∠C=90°.∴∠EAF=∠CBF.
在△AEF和△BCF中,
∴△AEF≌△BCF(ASA) 。
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得出 ：∠BAE=∠CAE，然后利用SAS判断出△ABE≌△ACE，根据全等三角形对应边相等得出BE=CE ；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，根据直角三角形两锐角互余得出∠EAF+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，根据同角的余角相等得出∠EAF=∠CBF，然后根据ASA判断出△AEF≌△BCF 。
17．【答案】证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图所示.∵CE⊥BE，∴∠BEC=∠BEF=90°.又∵∠1=∠2，∴∠F=∠BCE，∴BC=BF，∴CE=FE= CF，即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°，∠F+∠ACF=90°，∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE 。
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】延长CE交BA的延长线于点F，如图所示.根据垂直的定义得出∠BEC=∠BEF=90° ，根据三角形的内角和得出∠F=∠BCE，根据等角对等边得出BC=BF，从而根据等腰三角形的三线合一得出CE=FE=CF， 即CF=2CE ，根据同角的余角相等得出∠2=∠ACF，然后利用ASA判断出BD=CF，根据等量代换得出BD=2CE 。
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.1 等腰三角形 课时1
一、填空题
1．判定两个三角形全等的三个基本事实为 、 、 ;一条判定定理为 ;全等三角形的 、 相等.
【答案】SAS；ASA；SSS；AAS；对应边；对应角
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解 ：根据三角形全等的判定方法及性质定理得出答案：1，SAS ,2 ,ASA ,3,SSS ,4 ,AAS ;5 ,对应边，6，对应角 。
故答案为 ：1，SAS ,2 ,ASA ,3,SSS ,4 ,AAS ;5 ,对应边，6，对应角 。
【分析】根据全等三角形的判定方法：①两边及夹角相等的两个三角形全等，②两角及夹边对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的性质 ;全等三角形对应角相等，对应边相等；就可以得出答案。
2．（2017九下·建湖期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：
①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，
∴AC⊥BD，故①正确；
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴∠COB=∠COD=90°，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确
∴BC=DC，故②正确；
故答案为①②③．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论．
3．等腰三角形的两个 相等;简言之:“等边对等角”;这里要注意:“等边对等角”是在 三角形中.
【答案】底角；同一
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解 ：1、底角 ；2 、同一。
故答案为 ：1、底角 ；2 、同一 。
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，及实用的范围，必须是在同一三角形中，就可以做答了。
4．如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是
【答案】20
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解 ：∵△ABC中,AB=AC,AD⊥BC ，
∴ BD=CD ,
∵ CD=4 ,
∴ BD=CD=4 ,
∴ BC=BD+CD=8 ，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出 BD=CD=4 , 从而根据三角形的周长计算出结果 。
二、选择题
5．（2017八上·宜昌期中）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中， ，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中， ，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中， ，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故A不符合题意； B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故B不符合题意； C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故C符合题意； D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故D不符合题意．
故应选：C 。
【分析】根据三角形全等的判定方法和性质及等腰三角形的性质，三角形外角定理就可以一一作出判断。
7．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED.
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，
∴∠B=25°.
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED= ×(180°-25°)=77.5°.
∴∠CDE=180°-∠CDA-∠BDE=180°-50°-77.5°=52.5° 。
故应选 ：D 。
【分析】根据等边对等角得出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质得出∠B+∠DCB=∠CDA=50°，从而得出∠B=25°，根据三角形的内角和得出∠B+∠EDB+∠DEB=180°，从而得出∠BDE=∠BED= ×(180°-25°)=77.5°，根据角的和差得出答案。
8．（2017·全椒模拟）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN（SAS），
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∠MKN=44°，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形得性质得出∠A=∠B，再由全等三角形得判定SAS得△AMK≌△BKN，由全等三角形的性质得∠AMK=∠BKN，再由等量代换得∠A=∠MKN=44°，最后由三角形内角和定理得出∠P得度数.
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠BAD=∠CAD B．AD⊥BC C．∠B=∠C D．∠BAC=∠B
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C．
故A、B、C都不符合题意．
故应选：D 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一，及等边对等角得出∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C，即可得出答案。
10．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点
∴AD⊥BC；∠DAC=∠BAD=35°，
∴ ∠ADC=90° ，
∴∠C=∠ADC -∠DAC=55° 。
故应选：C 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC；∠DAC=∠BAD=35°，根据垂直的定义得出∠ADC=90° ，再根据三角形的内角和得出∠C=90° -∠DAC=55° 。
11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．∠EBC=∠ECB C．∠ABE=∠ACE D．AE=BE
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，故A不符合题意；
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，故B不符合题意；
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，即∠ABE=∠ACE，
故C不符合题意；
根据题目条件无法得到∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE不一定正确，故D符合题意．
故应选：D 。
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，从而得出AD是BC的中垂线，根据中垂线上的点到线段两端的距离相等，得出EB=EC，根据等边对等角得出∠EBC=∠ECB ，∠ABC=∠ACB ，根据等式的性质得出∠ABE=∠ACE ，从而得出本题答案。
12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD=∠CAD； ②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；
③BD=CD； ④若点P在直线AD上，则PB=PC.其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，故①③符合题意；
∵∠BAD=∠CAD，
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，故②符合题意；
∵AD是BC的中垂线，
∴若点P在直线AD上，则PB=PC，故④符合题意．
故应选：D
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD=∠CAD，BD=CD，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出：AD上任意一点到AB、AC的距离相等 ；根据中垂线上的点到线段两边的距离相等得出：若点P在直线AD上，则PB=PC；从而得出答案。
三、解答题
13．如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC.求证:∠C=2∠D.
【答案】证明:∵AB=AC=AD,∴∠C=∠ABC,∠D=∠ABD.∵AD∥BC,∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠D.∴∠C=2∠D
【知识点】角的运算；平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角得出∠C=∠ABC,∠D=∠ABD，根据二直线平行内错角相等得出∠CBD=∠D，根据角的和差及等量代换得出∠C=2∠D 。
14．如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD
【答案】证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C.又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.又∵BE⊥AC于点E,∴∠BEC=∠ADB=90°.∴∠C+∠CBE=∠ABD+∠BAD=90°.∴∠CBE=∠BAD
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角得出∠ABD=∠C，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，根据垂直的定义得出∠BEC=∠ADB=90°，然后利用等角的余角相等得出∠CBE=∠BAD 。
15．如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,作∠EAB=∠BAD,AE边交CB的延长线于点E,延长AD到点F,使AF=AE,连接CF.求证:BE=CF.
【答案】证明:∵AB=AC,点D是BC的中点,∴∠BAD=∠CAD.∵∠EAB=∠BAD,∴∠EAB=∠CAD.又∵AE=AF,AB=AC,∴△ABE≌△ACF(SAS).∴BE=CF
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD=∠CAD，根据等量代换得出∠EAB=∠CAD，然后利用SAS判断出△ABE≌△ACF，根据全等三角形对应边相等得出BE=CF 。
16．如图①,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
（1）求证:BE=CE.
（2）如图②,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,AF=BF,原题设其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.
【答案】（1）证明：∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中,
∴△ABE≌△ACE(SAS).∴BE=CE 。
（2）证明：∵AB=AC, 点D是BC的中点,∴AD⊥BC.
∴∠EAF+∠C=90°.
∵BF⊥AC,∴∠CBF+∠C=90°.∴∠EAF=∠CBF.
在△AEF和△BCF中,
∴△AEF≌△BCF(ASA) 。
【知识点】余角、补角及其性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得出 ：∠BAE=∠CAE，然后利用SAS判断出△ABE≌△ACE，根据全等三角形对应边相等得出BE=CE ；
（2）根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，根据直角三角形两锐角互余得出∠EAF+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，根据同角的余角相等得出∠EAF=∠CBF，然后根据ASA判断出△AEF≌△BCF 。
17．如图，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE.
求证：BD=2CE.
【答案】证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图所示.∵CE⊥BE，∴∠BEC=∠BEF=90°.又∵∠1=∠2，∴∠F=∠BCE，∴BC=BF，∴CE=FE= CF，即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°，∠F+∠ACF=90°，∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE 。
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】延长CE交BA的延长线于点F，如图所示.根据垂直的定义得出∠BEC=∠BEF=90° ，根据三角形的内角和得出∠F=∠BCE，根据等角对等边得出BC=BF，从而根据等腰三角形的三线合一得出CE=FE=CF， 即CF=2CE ，根据同角的余角相等得出∠2=∠ACF，然后利用ASA判断出BD=CF，根据等量代换得出BD=2CE 。
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