高中数学人教新课标A版必修2 第一章 空间几何体 1.2.3空间几何体的直观图
一、单选题
1．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是（ ）
A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形
B．平行四边形的直观图仍是平行四边形
C．两条相交直线的直观图可能是平行直线
D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直
4．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．8cm B．6cm C．2(1＋ )cm D．2(1＋ )cm
5．图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A． B． C． D．
6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A． B．1＋ C．1＋ D．2＋
7．如图， 是 的斜二测直观图，斜边 ，则 的面积是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（ ）
A．2 倍 B．2倍 C． 倍 D． 倍
二、填空题
9．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为 .
10．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为 ．
11．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图， 则这块菜地的面积为 ．
三、解答题
12．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.
13．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
14．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．
故答案为：A
【分析】根据斜二测画法与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍即可得出结果。
2．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】选项C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为 ，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原来的 .
故答案为C.
【分析】根据斜二测画法与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍即可得出结果。
3．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】A、斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，A不符合题意；
B、平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，B符合题意；
C、斜二测画法保持相交性不变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，C符合题意；
D、两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据斜二测画法规则对各选项判断.
4．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】根据直观图的画法可知，在原几何图形中，四边形OABC为平行四边形，且有OB⊥OA，OB＝2 cm，OA＝1 cm，所以AB＝3 cm，从而原图形的周长为8 cm.
故答案为：A.
【分析】根据直观图的画法可知，在原几何图形中，四边形OABC为平行四边形，由数据求其周长.
5．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段的长度在新坐标系中变为原来的 ，并注意到∠x′O′y′＝45° ∠xOy＝90°，且是直角梯形，结合摆放位置知选C．
故答案为：C.
【分析】由斜二测画法规则，还原出原图形.
6．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测画法规则可知，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋ ，AD＝1，所以SABCD＝2＋ ．
故答案为：D.
【分析】由斜二测画法规则，还原出原图形，再求其面积.
7．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】
, 的面积为 .
故答案为:D.
【分析】由斜二测画法规则,还原出原图形,再求面积.
8．【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】假设在原图形中三角形的一边平等于 x 轴，这边上的高为 h ，面积为 S ，直观图中三角形面积为 S' ，由斜二侧画法的原理可知，在直观图中三角形的高与底边的夹角为 45° ，故直观图中三角形面积为 ，所以 .
故答案为:A．
【分析】由斜二测画法规则,得到原图形与直观图面积的关系.
9．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直观图如图，则C′D′＝1.所以梯形的高C′E′＝ .
故答案为：.
【分析】由由斜二测画法规则，作出原图形的直观图，求出高.
10．【答案】24
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，所以根据画直观图的基本原理知原图形是底边长为6的平行四边形，其高是 ，因此面积是 .
故答案为24 .
【分析】由斜二测画法规则,还原出原图形是底边长为6的平行四边形.
11．【答案】3
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】在直角梯形中，由 ，可得 ，因此该梯形的面积为 ，原图与对应直观图的面积之比为 ，因此这块菜地的面积为3 .
故答案为：.
【分析】由斜二测画法规则，得到原图形与直观的面积的关系，求解.
12．【答案】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝ OD，梯形的高D′E′＝ ，于是梯形A′B′C′D′的面积为 ×(1＋2)× ＝ .
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】由斜二测画法规则，得到原图形与直观的面积的关系，求解.
13．【答案】解：①作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
②以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
③擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【分析】由三视图还原出几何体是一个长方体与四棱锥的组合体.由斜二测画法规则,画出几何体的直观图.
14．【答案】解：画法如下
①画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画圆柱的两底面.在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
③画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
④成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【分析】几何体是一个圆柱与一个圆锥体的组合体.由斜二测画法规则,画出几何体的直观图.
1 / 1高中数学人教新课标A版必修2 第一章 空间几何体 1.2.3空间几何体的直观图
一、单选题
1．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．
故答案为：A
【分析】根据斜二测画法与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍即可得出结果。
2．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】选项C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为 ，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原来的 .
故答案为C.
【分析】根据斜二测画法与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍即可得出结果。
3．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是（ ）
A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形
B．平行四边形的直观图仍是平行四边形
C．两条相交直线的直观图可能是平行直线
D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】A、斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，A不符合题意；
B、平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，B符合题意；
C、斜二测画法保持相交性不变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，C符合题意；
D、两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据斜二测画法规则对各选项判断.
4．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．8cm B．6cm C．2(1＋ )cm D．2(1＋ )cm
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】根据直观图的画法可知，在原几何图形中，四边形OABC为平行四边形，且有OB⊥OA，OB＝2 cm，OA＝1 cm，所以AB＝3 cm，从而原图形的周长为8 cm.
故答案为：A.
【分析】根据直观图的画法可知，在原几何图形中，四边形OABC为平行四边形，由数据求其周长.
5．图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段的长度在新坐标系中变为原来的 ，并注意到∠x′O′y′＝45° ∠xOy＝90°，且是直角梯形，结合摆放位置知选C．
故答案为：C.
【分析】由斜二测画法规则，还原出原图形.
6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A． B．1＋ C．1＋ D．2＋
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测画法规则可知，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋ ，AD＝1，所以SABCD＝2＋ ．
故答案为：D.
【分析】由斜二测画法规则，还原出原图形，再求其面积.
7．如图， 是 的斜二测直观图，斜边 ，则 的面积是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】
, 的面积为 .
故答案为:D.
【分析】由斜二测画法规则,还原出原图形,再求面积.
8．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（ ）
A．2 倍 B．2倍 C． 倍 D． 倍
【答案】A
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】假设在原图形中三角形的一边平等于 x 轴，这边上的高为 h ，面积为 S ，直观图中三角形面积为 S' ，由斜二侧画法的原理可知，在直观图中三角形的高与底边的夹角为 45° ，故直观图中三角形面积为 ，所以 .
故答案为:A．
【分析】由斜二测画法规则,得到原图形与直观图面积的关系.
二、填空题
9．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为 .
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直观图如图，则C′D′＝1.所以梯形的高C′E′＝ .
故答案为：.
【分析】由由斜二测画法规则，作出原图形的直观图，求出高.
10．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为 ．
【答案】24
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，所以根据画直观图的基本原理知原图形是底边长为6的平行四边形，其高是 ，因此面积是 .
故答案为24 .
【分析】由斜二测画法规则,还原出原图形是底边长为6的平行四边形.
11．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图， 则这块菜地的面积为 ．
【答案】3
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】在直角梯形中，由 ，可得 ，因此该梯形的面积为 ，原图与对应直观图的面积之比为 ，因此这块菜地的面积为3 .
故答案为：.
【分析】由斜二测画法规则，得到原图形与直观的面积的关系，求解.
三、解答题
12．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.
【答案】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝ OD，梯形的高D′E′＝ ，于是梯形A′B′C′D′的面积为 ×(1＋2)× ＝ .
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】由斜二测画法规则，得到原图形与直观的面积的关系，求解.
13．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
【答案】解：①作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
②以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
③擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【分析】由三视图还原出几何体是一个长方体与四棱锥的组合体.由斜二测画法规则,画出几何体的直观图.
14．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
【答案】解：画法如下
①画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画圆柱的两底面.在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
③画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
④成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【分析】几何体是一个圆柱与一个圆锥体的组合体.由斜二测画法规则,画出几何体的直观图.
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