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专题12：直线、射线、线段
一、单选题
1．若点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，线段AB＝18cm，则线段的BD长为（ ）
A．6cm B．15cm C．12cm或15cm D．12cm或6cm
【答案】C
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义画出图形即可得到结论．
【详解】解∶∵C是线段AB的中点， AB= 18cm，
∴AC=BC=AB=×18=9cm，
点D是线段AC的三等分点，
当点D离点A较近，即AD=AC时，如图1，
∵AD=AC，AC=9cm，
∴AD=3cm，
∴BD=AB-AD= 18-3=15cm；
②当点D离点C较近，即CD=AC时，如图2，
∵CD=AC，AC=9cm，
∴CD=3cm，
∵BC=9cm，
∴BD= BC+CD=9+3=12cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
2．下列四个语句中，正确的是（ ）
A．如果，那么点是的中点
B．两点间的距离就是两点间的线段
C．经过两点有且只有一条直线
D．比较线段的长短只能用度量法
【答案】C
【分析】根据线段的中点和线段的性质进行判断即可．
【详解】A、如果AP=BP，且AP+BP=AB，那么点P是AB的中点，故本选项不符合题意；
B、两点间的距离就是两点间的线段的长度，故本选项不符合题意；
C、经过两点有且只有一条直线，故本选项符合题意；
D、比较线段的长短可以用度量法，但不是只能用度量法，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是两点之间的距离，根据线段的性质和线段的中点的定义是解答此题的关键．
3．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条
【答案】C
【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果．
【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，
当A、B、C三点不在在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键．
4．我们知道过平面上两点可以画一条直线，过平面上3点最多可以画3条直线，过平面上4点最多可以画6条直线，过平面上5点最多可以画10条直线．如果平面上有6个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以画多少条直线？（ ）
A．15 B．21 C．30 D．35
【答案】A
【分析】根据图示的规律用代数式表示即可．
【详解】根据图形得：
第①组最多可以画3条直线；
第②组最多可以画6条直线；
第③组最多可以画10条直线．
如果平面上有n（n≥3）个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画1+2+3+…+n-1=条直线．
当n=6时，=15．
即：最多可以画15条直线．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并找到其中的规律．
5．已知线段AB＝5cm，在直线AB上画线段AC＝3cm，则线段BC的长为（ ）
A．8cm B．2cm或8cm C．2cm D．不能确定
【答案】B
【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑BC的长，注意不要漏解．
【详解】解： ①当点C在线段AB上时，
BC=AB-AC=2cm；
②当点C在线段BA的延长线上时，
BC=AB+AC=8cm．
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的和差关系，在解答此题时要注意点的位置的确定，利用图形结合更易直观地得到结论．
6．平面内有4条直线，这4条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据题意，画出图形，找到交点最多和最少的个数，求出（）即可．
【详解】解：4条直线相交，有三种情况（如下图），
①4条直线经过同一点，有1个交点；
②3条直线经过同一点，被第4条直线所截，有4个交点；
③4条直线不经过同一点，有6个交点．
故平面内两两相交的4条直线，最多有6个交点，最少有1个交点，即，，
则．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相交线交点个数的知识，一般地，n条直线相交，最多有个交点，最少有1个交点，此为解题关键．
7．在数轴上，点对应的数为，点对应的数为，且，满足．点为直线上点右边的一点，且，点为中点，则线段的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【分析】根据a、b满足|a+5|+（b﹣3）2＝0，即可得到a、b的值，从而可以得到点A，B所表示的数；设点P表示的数为m，先根据中点的定义表示点Q，根据数轴上两点的距离表示AP＝3PB，列方程可得结论．
【详解】解：∵|a+5|+（b﹣3）2＝0，
∴a+5＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣5，b＝3，
即点A，B所表示的数分别为﹣5，3；
设点P表示的数为m，
∵点P在直线AB上点B右边一点，
∴m＞3，
∵点Q为PB的中点，
∴BQ＝
∴点Q表示的数为：
∵AP＝3PB，
∴m－（﹣5）＝3（m﹣3），
∴m＝7，
∴AQ＝－（﹣5）＝+5＝10．
故选：C
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数轴上两点的距离表示线段的长．
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线
C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短
【答案】A
【分析】根据直线和射线的表示方法，和过一点可以做无数条直线，依次判断A、C、B，再利用射线与直线不能进行长短的比较判断D即可．
【详解】解：A、直线可以用两个大写字母来表示，且直线没有方向，所以AB和BA是表示同一条直线；故A正确．
B、过一点P可以作无数条直线；故B错误．
C、射线AB和射线BA，端点不同，方向相反，故射线AB和射线BA表示不同的射线；故C错误．
D、射线和直线不能进行长短的比较；故D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线，射线的表示方法以及射线和直线的性质，关键是要能够区分直线与射线的不同点．
9．如图，D、E顺次为线段上的两点，，C为AD的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】先利用中点的含义及线段的和差关系证明再逐一分析即可得到答案.
【详解】解： C为AD的中点，
，则
故A不符合题意；
，则
同理： 故B不符合题意；
，则
同理： 故C不符合题意；
，则
同理： 故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的和差关系即中点的含义证明”是解本题的关键
10．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（ ）
A．5.5cm B．2.5cm
C．4cm D．5.5cm或2.5cm
【答案】D
【分析】先根据线段中点的定义求出CE，CF，然后分点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF两种情况计算即可得解．
【详解】解：设AC、BC的中点分别为E、F，
∵AC＝8cm，BC＝3cm，
∴CE＝AC＝4cm，CF＝BC＝1.5cm，
如图所示，当点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，
＝4+1.5，
＝5.5cm，
如图所示，当点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF，
＝4﹣1.5，
＝2.5cm，
综上所述，AC和BC中点间的距离为2.5cm或5.5cm．
故答案为2.5cm或5.5cm
故选D．
【点睛】对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算
二、填空题
11．如图，线段 BD =AB=CD， 点 M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN = 20cm， 则 AC的长为___________ ．
【答案】48cm
【分析】根据等式的性质，可得AB与BD的关系，CD与BD的关系，根据线段中点的性质，可得AM与BM的关系，DN与NC的关系，根据线段的和差，可得BD的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：由BD =AB=CD得 AB=3BD，CD=4BD．
∵点M、N分别是线段AB、CD的中点，
∴AM=BM=BD，DN=CN=2BD．
由线段的和差，得BN=DN-BD=2BD-BD=BD， BC=CD-BD=4BD-BD=3BD，
∴MN=MB+BN=BD+BD=20．
解得BD=8cm．
∴AC=AB+BC=3BD+3BD=6BD=6×8=48，
故答案为：48cm．
【点睛】本题考查了中点的含义，线段的和差关系，掌握“线段的和差关系与中点的含义证明BN=BD， BC=3BD”是解本题的关键．
12．在射线上截取线段，，点M，N分别是，的中点，则点M和点N之间的距离为______．
【答案】或
【分析】可分两种情况：当点C在线段AB上时，当点C在AB延长线上时，根据两点间的距离和线段中点的定义可求解MN的长．
【详解】解：①点C在线段AB上时，如图所示：
∵点M，N分别是AB，BC的中点，
∴AM=BM=AB，
又∵AB=8cm，
∴BM=4cm，
又∵点N是BC的中点，
∴CN=BN=BC，
又∵BC=3cm，
∴BN=1.5cm，
又∵MN=BM-BN，
∴MN=4-1.5=2.5cm；
②点C在线段AB延长线上时，如图所示：
同理可求出BM=4cm，BN=1.5cm，
又∵MN=BM+BN，
∴MN=4+1.5=5.5cm；
综合所述：MN的长度为2.5cm或5.5cm，
故答案为：5.5cm或2.5cm．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，注意画出草图、分类讨论是解决本题的关键．
13．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点．
（1）点B表示的数为______；
（2）若线段，则线段OM的长为______．
【答案】 4或6##6或4
【分析】（1）由题意可求得AB=6，则可求得OB=1，根据题意可得结果；
（2）分点M位于点B左侧和右侧两种情况可求得结果；
【详解】解：（1）由题意得
AB=1.2OA=1.2×5=6，
∴OB=6-5=1，
∴点B表示的数为-1，
故答案为：-1；
（2）当点M位于点B左侧时，
点M表示的数为-1-5=-6，
当点M位于点B右侧时，
点M表示的数为-1+5=4，
∴OM=|-6|=6，或OM=|4|=4，
故答案为：4或6．
【点睛】此题考查了数形结合与分类讨论解决问题的能力，数轴上两点间的距离，解题的关键是能确定数轴上的点表示的数与对满足条件的点的不同情况的全面考虑．
14．如图，线段表示一条已经对折的绳子，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm．
（1）若点为的中点，则对折前的绳长为______cm；
（2）若，则对折前的绳长为______cm．
【答案】 60 50或75
【分析】（1）根据为中点，可知，根据线段和即可得到答案；
（2）分类讨论：①是最长的一段，根据，可得的长，再根据线段的和差，可得答案；②是最长的一段，根据，可得的长再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：（1）为中点，
，
,
故答案为：；
（2）①是最长的一段，，得
，
由线段的和差，得
，
原来绳长为，
②是最长的一段，由题意，
，
由线段的和差，得，
原来绳长为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了线段的和与差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
15．从北京到大庆中间有4个车站，共有_____种票价．（注：每两个城市之间的票价相同）
【答案】
【分析】分别列举出各车站出发能产生多少种票价，因为每两个城市之间的票价相同，故只要算单程票价即可．
【详解】解：如图，设北京与大庆之间有A，B，C，D四个车站，
从北京出发到大庆有5种不同票价，
从A站出发到大庆有4种票价，
从B站出发到大庆有3种票价，
从C站出发到大庆有2种票价，
从D站出发到大庆有1种票价，
∴共有种，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段数量问题，将实际问题转化为线段数量问题是解题的关键．
16．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有______填序号．
①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
【答案】②④
【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断．
【详解】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线；
②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短．
故答案为：②④．
【点睛】此题考查了线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键．
17．如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，且BC＝2AB＝3CD，若A、D两点表示的数分别为－5和6，那么B点所表示的数是______．
【答案】－2
【分析】先由A、D表示的数求出AD，再根据所给等式用BC表示出AB、CD，由AB+BC+CD=AD求出BC，进而求得AB，即可求得B点所表示的数．
【详解】解：∵A、D两点表示的数分别为－5和6，
∴AD=6－（－5）=11，
∵BC＝2AB＝3CD，
∴AB= BC，CD= BC，
∵AB+BC+CD=AD，
∴BC+BC+ BC=11，
解得：BC=6，
∴AB=BC=3，
∴B点所表示的数是－5+3=－2，
故答案为：－2．
【点睛】本题考查数轴、线段的和与差，熟练掌握数轴上两点之间的距离，会利用图形进行线段的和与差是解答的关键．
18．如图，点A，B，C在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，点C是AB的中点，原点O是BC的中点，现给出下列等式：
①；
②；
③；
④．其中正确的等式序号是____________．
【答案】①②④
【分析】先根据数轴的性质、线段中点的定义可得，再根据绝对值的性质逐个判断即可得．
【详解】解：由题意得：，
则，即等式①正确；
由得：，
，
，
，即等式②正确；
由得：，
则，即，等式③错误；
，
，
，即等式④正确；
综上，正确的等式序号是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了数轴、线段中点、绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴和绝对值运算是解题关键．
19．已知在数轴上有A、B、C三点，表示的数分别是-3，7，x，若，点M、N分别是AB、AC的中点，则线段MN的长度为______．
【答案】7或3##3或 7
【分析】根据两点间的距离可得x=1或-7，当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，得到点M表示的数为2，点N的坐标是-1；当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，则点M表示的数为2，点N的坐标是-5，然后分别计算MN的长．
【详解】解： AB=7-（-3）=10；
∵AC=4，
∴|x-（-3）|=4，
∴x-（-3）=4或（-3）-x=4，
∴x=1或-7；
当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，1时，如图1，
∵点M、N分别是AB、AC的中点，
∴AM=BM=AB=5，AN=CN=AC=2，
∴MN=AM-AN=5-2=3；
当点A、B、C所表示的数分别是-3，+7，-7时，如图2，
∵点M、N分别是AB、AC的中点，
∴AM=BM=AB=5，AN=CN=AC=2，
∴MN=AM+AN=5+2=7；
∴MN=7或3．
【点睛】本题考查了线段的中点，数轴上两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离．数形结合是解答本题的关键．
20．在数轴上，点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧，若|a﹣b|＝2022，且AO＝2BO，则a＋b的值为___．
【答案】-674
【分析】根据绝对值和数轴表示数的方法，可求出OA，OB的长，进而确定a、b的值，再代入计算即可．
【详解】∵|a﹣b|＝2022，即数轴上表示数a的点A，与表示数b的点B之间的距离为2022，
∴ AB＝2022，
∵且AO＝2BO，
∴OB＝674，OA＝1348，
∵点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧，
∴a＝﹣1348，b＝674，
∴a+b＝﹣1348+674＝﹣674，
故答案为：﹣674．
【点睛】本题考查数轴表示数，代数式求值以及绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法，绝对值的定义是解决问题的前提．
三、解答题
21．如图．已知三点A．B．C．
(1)画直线AB．
(2)画射线BC．
(3)画线段AC．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）根据直线的定义作图可得；
（2）根据射线的定义作图即可得；
（3）根据线段的定义作图可得；
（1）
如图所示：直线AB为所求；
（2）
如图所示：射线BC为所求；
（3）
如图所示：线段AC为所求；
【点睛】本题考查了作图——复杂作图、直线、射线、线段，解决本题的关键是准确画图．
22．如图，已知线段，，点M是AC的中点．
(1)求线段AM的长；
(2)在CB上取一点N，使得，求线段MN的长．
【答案】(1)4
(2)9
【分析】（1）根据线段的和差关系，可得，根据点M是AC的中点，可得；
（2）由，求得,根据点M是AC的中点，求得，根据即可求解．
（1）
解：线段，，
∴，
又∵点M是AC的中点．
∴，即线段AM的长度是4；
（2）
解：∵，，
∴，
又∵点M是AC的中点，，
∴，
∴，即MN的长度是9 ．
【点睛】本题考查了线段和差的计算，线段中点的定义，数形结合是解题的关键．
23．如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝2AB，延长线段BA至点D，使ADAB，点E是线段AC的中点．
(1)若AB＝12，求线段DE的长；
(2)若DE＝a，请直接写出线段AB的长（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)22
(2)
【分析】（1）先根据线段的比例得到和的长，再根据线段的和差得到和的长，进而可得答案；
（2）设，根据线段的比例与线段的和差用含的代数式表示出的长，再整理可得答案．
（1）
解：，，，
，，
，，
点是的中点，
，
；
（2）
设，
，，，
，，
，，
点是的中点，
，
，
，
解得．
．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题关键是熟练掌握中点的性质和线段和差的运算．
24．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，运动时间为t秒（t＞0），M为AP的中点．
(1)当点P在线段AB上运动时，当t为多少时，PB＝2AM？
(2)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点．
①说明线段MN的长度不变，并求出其值；
②在P点的运动过程中，是否存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出t的值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)6秒
(2)①见解析，12；②存在，t的值为36或18
【分析】（1）根据PB＝2AM建立关于t的方程，解方程即可；
（2）①当P在AB延长线上运动时，点P在B点右侧，根据线段中点的定义得出PM＝AP＝t，PN＝BP＝（2t 24）＝t 12．再根据MN＝PM PN即可求解；
②易知N不能是BM的中点，分M是NB的中点，B是MN的中点两种情况讨论求解．
（1）
∵M是线段AP的中点，
∴AM＝AP＝t，PB＝AB－AP＝242t，
∵PB＝2AM，
∴242t＝2t，
解得t＝6；
∴当t＝6秒时，PB＝2AM ；
（2）
①当P在AB延长线上运动时，点P在B点右侧，
∵M是线段AP的中点，
∴PM＝AP＝t，
∵N是线段BP的中点，
∴PN＝BP＝（2t24）＝t12，
∴MN＝PM－PN＝t（t12）＝12，
∵MN的长度是一个常数，
∴MN的长度不变，其值为12；
②由题意可知，N不可能是BM的中点．
如果M是NB的中点，那么BM＝MN＝BN，
∴t24 ＝12，
解得t＝36，符合题意；
如果B是MN的中点，那么BM＝BN＝MN，
∴24t＝×12，
解得t＝18，符合题意；
综上，在P点的运动过程中，存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点，此时t为36或18．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解．
25．如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t．
(1)当M，N两点相遇时，求线段的长；
(2)当t为何值时，线段的长为线段的；
(3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)EF的长为10
(2)当t＝6时，当EF的长为线段AB的
(3)存在，线段EF＝
【分析】（1）由E，F分别为AM和BN的中点得EM＝AM，FN＝BN，可证明当点M与点N相遇时，则EF＝AB，因为AB＝20，所以EF＝10；
（2）因为点N的速度比点M的速度快，所以点N先到达终点，求出t的取值范围是0≤t≤，再根据EF＝AB＝×20＝5列方程求出t的值并进行检验，得出问题的正确答案；
（3）由EF＝20 （t＋t）＝20 t可知，EF的长随t的增大而减小，可见当t取得最大值时，则EF取得最小值，将t＝代入EF＝20 t求出EF的值即可．
（1）
解：∵E，F分别为AM和BN的中点，
∴EM＝AM，FN＝BN，
当M、N两点相遇时，则AM＋BN＝AB＝20，EF＝EM＋EN，
∴EF＝EM＋FN＝（AM＋BN）＝×20＝10，
∴EF的长为10．
（2）
当点N到达点A时，则3t＝20，
解得t＝，
∴t的取值范围是0≤t≤，
∵AB＝20，
∴AB＝×20＝5，
∵AM＝2t，BN＝3t，
∴AE＝AM＝t，BF＝BN＝t，
∴EF＝20 （t＋t）或EF＝t＋t 20，
当EF的长为线段AB的，即EF＝5时，则20 （t＋t）＝5或t＋t 20＝5，
解得t＝6或t＝10（不符合题意，舍去），
∴当t＝6时，当EF的长为线段AB的．
（3）
存在，EF＝．
由（2）得，
∴EF随t的增大而减小，
∴当t＝时，EF的值最小，此时，，
∴当线段EF最短时，则线段EF＝．
【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、线段上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长是解题的关键．
26．如图，点在线段上，cm，cm．点以1cm/s的速度从点沿线段向点运动；同时点以2cm/s的速度从点出发，在线段上做往返运动（即沿运动），当点运动到点时，点、都停止运动．设点运动的时间为（s）．
(1)当时，求的长．
(2)当点为线段的中点时，求的值．
(3)若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)7 cm
(2)2或
(3)当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【分析】（1）当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，可得MN=7cm；
（2）由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t=2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t=2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得；
（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．
（1）
解：当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，
∴MC=AC-AM=6-1=5（cm），
∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）；
（2）
如图，由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，
∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，
∴0≤t≤6，
①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t， 解得：t=2；
②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN=（2t-4）cm，CN=4-（2t-4）=（8-2t）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=8-2t， 解得：t=2（舍去）；
③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t-8，
解得：； 综上所述，当t=2或时，点C为线段MN的中点．
（3）
如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=CN=t cm，
∴PM=MC+CP=6-t+t=6cm，此时，PM的长度保持不变；
②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN=（8-2t）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=CN=（8-2t）=（4-t） cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（4-t）=（10-2t）cm，此时，PM的长度变化；
③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=CN=（2t-8）=（t-4）cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（t-4）=2cm，此时，PM的长度保持不变；
综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键．
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专题12：直线、射线、线段
一、单选题
1．若点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，线段AB＝18cm，则线段的BD长为（ ）
A．6cm B．15cm C．12cm或15cm D．12cm或6cm
2．下列四个语句中，正确的是（ ）
A．如果，那么点是的中点
B．两点间的距离就是两点间的线段
C．经过两点有且只有一条直线
D．比较线段的长短只能用度量法
3．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（ ）
A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条
4．我们知道过平面上两点可以画一条直线，过平面上3点最多可以画3条直线，过平面上4点最多可以画6条直线，过平面上5点最多可以画10条直线．如果平面上有6个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以画多少条直线？（ ）
A．15 B．21 C．30 D．35
5．已知线段AB＝5cm，在直线AB上画线段AC＝3cm，则线段BC的长为（ ）
A．8cm B．2cm或8cm C．2cm D．不能确定
6．平面内有4条直线，这4条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．在数轴上，点对应的数为，点对应的数为，且，满足．点为直线上点右边的一点，且，点为中点，则线段的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．15
8．下列说法正确的是（ ）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线
C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短
9．如图，D、E顺次为线段上的两点，，C为AD的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（ ）
A．5.5cm B．2.5cm
C．4cm D．5.5cm或2.5cm
二、填空题
11．如图，线段 BD =AB=CD， 点 M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN = 20cm， 则 AC的长为___________ ．
12．在射线上截取线段，，点M，N分别是，的中点，则点M和点N之间的距离为______．
13．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点．
（1）点B表示的数为______；
（2）若线段，则线段OM的长为______．
14．如图，线段表示一条已经对折的绳子，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm．
（1）若点为的中点，则对折前的绳长为______cm；
（2）若，则对折前的绳长为______cm．
15．从北京到大庆中间有4个车站，共有_____种票价．（注：每两个城市之间的票价相同）
16．下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有______填序号．
①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②A从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
17．如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，且BC＝2AB＝3CD，若A、D两点表示的数分别为－5和6，那么B点所表示的数是______．
18．如图，点A，B，C在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，点C是AB的中点，原点O是BC的中点，现给出下列等式：
①；
②；
③；
④．其中正确的等式序号是____________．
19．已知在数轴上有A、B、C三点，表示的数分别是-3，7，x，若，点M、N分别是AB、AC的中点，则线段MN的长度为______．
20．在数轴上，点A（表示整数a）在原点O的左侧，点B（表示整数b）在原点O的右侧，若|a﹣b|＝2022，且AO＝2BO，则a＋b的值为___．
三、解答题
21．如图．已知三点A．B．C．
(1)画直线AB．
(2)画射线BC．
(3)画线段AC．
22．如图，已知线段，，点M是AC的中点．
(1)求线段AM的长；
(2)在CB上取一点N，使得，求线段MN的长．
23．如图，已知线段AB，延长线段AB至点C，使BC＝2AB，延长线段BA至点D，使ADAB，点E是线段AC的中点．
(1)若AB＝12，求线段DE的长；
(2)若DE＝a，请直接写出线段AB的长（用含a的代数式表示）．
24．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，运动时间为t秒（t＞0），M为AP的中点．
(1)当点P在线段AB上运动时，当t为多少时，PB＝2AM？
(2)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点．
①说明线段MN的长度不变，并求出其值；
②在P点的运动过程中，是否存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出t的值；若没有，请说明理由．
25．如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t．
(1)当M，N两点相遇时，求线段的长；
(2)当t为何值时，线段的长为线段的；
(3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由．
26．如图，点在线段上，cm，cm．点以1cm/s的速度从点沿线段向点运动；同时点以2cm/s的速度从点出发，在线段上做往返运动（即沿运动），当点运动到点时，点、都停止运动．设点运动的时间为（s）．
(1)当时，求的长．
(2)当点为线段的中点时，求的值．
(3)若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由．
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