2017-2018学年人教新课标A版必修二1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征同步训练
一、单选题
1．下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ）
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】显然A符合题意；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B符合题意；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C不符合题意；D符合题意。
故答案为C。【分析】本题考查棱柱的定义，几棱柱则对应的上下底面即为几边形、几个侧面、几条侧棱、侧面均为为平行四边形，棱柱的面数=侧面数+上下底面。
2．下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是（ ）
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】
A.棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，正确故A不符合题意；
B.由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，正确故B不符合题意；
C.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，正确故C不符合题意；
D.如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，错误故D符合题意．
故答案为D.
【分析】本题结合棱锥、棱台的结构特征分析选项，注意脑海中一定要想得起棱锥、棱台的形状。结合形状分析选项。
3．下列三种叙述，正确的有（ ）
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】棱台的结构特征
【解析】【解答】根据棱台的结构特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A符合题意.
故答案为A。
【分析】考查棱台的结构特征：1.棱台是由平行于棱锥底面的平面截取棱锥剩下的截面与原棱锥底面部分的几何体（注意是平行于棱锥底面）2.举反例子来证明是不是。
4．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（ ）
A．20条 B．15条 C．12条 D．10条
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，
故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．
故选D
【分析】根据正n棱柱对角线的条数=(n大于3）。
5．有下列说法：
①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．
其中正确的说法的序号有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】棱台的结构特征
【解析】【解答】①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确，如图所示；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．故C.符合题意
故答案为C.
【分析】本题可以根据每个序号对应的说法，画图验证或者举反例来验证。
6．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是（ ）
A．南 B．北 C．西 D．下
【答案】B
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】由展开图还原到该正方体的直观图，如图所示，南面（外面）和北面（里面）先往左翻后向上翻，即可得到原题中的图形，故 所指的方向为北.
故答案为B。
【分析】根据正方体展开图像还原为直观图即可得到答案。
二、填空题
7．面数最少的棱柱为 棱柱，共有 个面围成．
【答案】三；5
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有5个面围成．
答案为1.三
2.5
【分析】本题注意对棱柱的理解，最少的棱柱为三棱柱由5个面围成。
8．已知三棱锥的底面是边长为a的等边三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为 ．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】底面积为 a2，
由题意知 .所以S＝ a2.
故答案为
【分析】本题抓住“过各侧棱中点的截面的面积”即根据截面为三角形，且与底面等边三角形相似即面积比=棱长比的平方。
9．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是 (只填几何体的名称)．
【答案】三棱锥
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】折起后是一个三棱锥(如图所示)．
故答案为三棱柱。
【分析】根据题意结合所给的平面图形即可得到答案，本题可以自己实际操作一下，用一种纸按要求操作。
10．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．
底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．
底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体．
侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体．
底面是矩形的直平行六面体叫作长方体．
棱长都相等的长方体叫作正方体．
请根据上述定义，回答下面的问题(填“一定”、“不一定”“一定不”)：
（1）直四棱柱 是长方体；
（2）正四棱柱 是正方体．
【答案】（1）不一定
（2）不一定
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．
故答案为：1.不一定；
2.不一定。
【分析】根据棱柱的结构特征及题目的要求分析，可采用举反例来验证。
三、解答题
11．如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？
【答案】解：依题意，长方体ABCD－A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．展开后，A，C1两点间的距离分别为： ＝ (cm)， ＝4 (cm)， ＝3 (cm)，三者比较得 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【分析】本题要抓住“最短路程”即想到几何体展开图像的对角线长，结合勾股定律得出答案。
12．如图所示是一个三棱台ABC-A1B1C1，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
【答案】解：如下图所示：
平面AB1C1和平面AB1C能把三棱台分成三部分，且每一部分都是一个三棱锥。
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【分析】本题要结合棱锥的结构特征以及棱台的特征，两者之间的联系。要抓住“每一部分都是一个三棱锥”进行。
13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且满足|A1N|＝3|NC1|.
（1）求MN的长；
（2）试判断△MNC的形状．
【答案】（1）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，
并设正方体边长为a，则B(a，a，0)，D1(0，0，a)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a，0)，M( a， a， a)，N( a， a，a)，
∴|MN|＝ ＝ a.
（2）解：∵ ＝(－ a， a， a)， ＝(－ a， a，－ a)， ＝(－ a， a，－a)，
∴ · ＝ a2＋ a2－ a2＝0，∴MN⊥MC，∴△MNC是直角三角形．
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【分析】本题根据题意可以选用坐标法来解题，根据向量的相关知识及空间线段长计算公式：及两向量数量积等于零得到两向量垂直，解出本题。
14．在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30°，在一条侧棱上有A，B两点，OA＝4，OB＝3，以A，B为端点同一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A，B之间的最短绳长．
【答案】解：作出三棱锥的平面展开图，如图，
B两点间的最短绳长就是线段AB的长度．OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，所以AB＝5，即此绳在A，B间最短的绳长为5.
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【分析】本题结合三棱锥的平面展开图及题目已知条件；1.抓住“过O的三条棱两两的交角都是30°”说明∠AOB＝90°；2.结合勾股定律得出答案。
1 / 12017-2018学年人教新课标A版必修二1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征同步训练
一、单选题
1．下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ）
A．三棱柱的底面为三角形
B．一个棱柱至少有五个面
C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
2．下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是（ ）
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
3．下列三种叙述，正确的有（ ）
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（ ）
A．20条 B．15条 C．12条 D．10条
5．有下列说法：
①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．
其中正确的说法的序号有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是（ ）
A．南 B．北 C．西 D．下
二、填空题
7．面数最少的棱柱为 棱柱，共有 个面围成．
8．已知三棱锥的底面是边长为a的等边三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为 ．
9．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是 (只填几何体的名称)．
10．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．
底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．
底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体．
侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体．
底面是矩形的直平行六面体叫作长方体．
棱长都相等的长方体叫作正方体．
请根据上述定义，回答下面的问题(填“一定”、“不一定”“一定不”)：
（1）直四棱柱 是长方体；
（2）正四棱柱 是正方体．
三、解答题
11．如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？
12．如图所示是一个三棱台ABC-A1B1C1，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且满足|A1N|＝3|NC1|.
（1）求MN的长；
（2）试判断△MNC的形状．
14．在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30°，在一条侧棱上有A，B两点，OA＝4，OB＝3，以A，B为端点同一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A，B之间的最短绳长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】显然A符合题意；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B符合题意；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C不符合题意；D符合题意。
故答案为C。【分析】本题考查棱柱的定义，几棱柱则对应的上下底面即为几边形、几个侧面、几条侧棱、侧面均为为平行四边形，棱柱的面数=侧面数+上下底面。
2．【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】
A.棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，正确故A不符合题意；
B.由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，正确故B不符合题意；
C.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，正确故C不符合题意；
D.如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，错误故D符合题意．
故答案为D.
【分析】本题结合棱锥、棱台的结构特征分析选项，注意脑海中一定要想得起棱锥、棱台的形状。结合形状分析选项。
3．【答案】A
【知识点】棱台的结构特征
【解析】【解答】根据棱台的结构特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A符合题意.
故答案为A。
【分析】考查棱台的结构特征：1.棱台是由平行于棱锥底面的平面截取棱锥剩下的截面与原棱锥底面部分的几何体（注意是平行于棱锥底面）2.举反例子来证明是不是。
4．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，
故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．
故选D
【分析】根据正n棱柱对角线的条数=(n大于3）。
5．【答案】C
【知识点】棱台的结构特征
【解析】【解答】①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确，如图所示；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．故C.符合题意
故答案为C.
【分析】本题可以根据每个序号对应的说法，画图验证或者举反例来验证。
6．【答案】B
【知识点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】由展开图还原到该正方体的直观图，如图所示，南面（外面）和北面（里面）先往左翻后向上翻，即可得到原题中的图形，故 所指的方向为北.
故答案为B。
【分析】根据正方体展开图像还原为直观图即可得到答案。
7．【答案】三；5
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】棱柱有相互平行的两个底面，其侧面至少有3个，故面数最少的棱柱为三棱柱，共有5个面围成．
答案为1.三
2.5
【分析】本题注意对棱柱的理解，最少的棱柱为三棱柱由5个面围成。
8．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】底面积为 a2，
由题意知 .所以S＝ a2.
故答案为
【分析】本题抓住“过各侧棱中点的截面的面积”即根据截面为三角形，且与底面等边三角形相似即面积比=棱长比的平方。
9．【答案】三棱锥
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】折起后是一个三棱锥(如图所示)．
故答案为三棱柱。
【分析】根据题意结合所给的平面图形即可得到答案，本题可以自己实际操作一下，用一种纸按要求操作。
10．【答案】（1）不一定
（2）不一定
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．
故答案为：1.不一定；
2.不一定。
【分析】根据棱柱的结构特征及题目的要求分析，可采用举反例来验证。
11．【答案】解：依题意，长方体ABCD－A1B1C1D1的表面可有如图所示的三种展开图．展开后，A，C1两点间的距离分别为： ＝ (cm)， ＝4 (cm)， ＝3 (cm)，三者比较得 cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【分析】本题要抓住“最短路程”即想到几何体展开图像的对角线长，结合勾股定律得出答案。
12．【答案】解：如下图所示：
平面AB1C1和平面AB1C能把三棱台分成三部分，且每一部分都是一个三棱锥。
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【分析】本题要结合棱锥的结构特征以及棱台的特征，两者之间的联系。要抓住“每一部分都是一个三棱锥”进行。
13．【答案】（1）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，
并设正方体边长为a，则B(a，a，0)，D1(0，0，a)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a，0)，M( a， a， a)，N( a， a，a)，
∴|MN|＝ ＝ a.
（2）解：∵ ＝(－ a， a， a)， ＝(－ a， a，－ a)， ＝(－ a， a，－a)，
∴ · ＝ a2＋ a2－ a2＝0，∴MN⊥MC，∴△MNC是直角三角形．
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【分析】本题根据题意可以选用坐标法来解题，根据向量的相关知识及空间线段长计算公式：及两向量数量积等于零得到两向量垂直，解出本题。
14．【答案】解：作出三棱锥的平面展开图，如图，
B两点间的最短绳长就是线段AB的长度．OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，所以AB＝5，即此绳在A，B间最短的绳长为5.
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【分析】本题结合三棱锥的平面展开图及题目已知条件；1.抓住“过O的三条棱两两的交角都是30°”说明∠AOB＝90°；2.结合勾股定律得出答案。
1 / 1
