高中数学人教版 选修2-3（理科） 第一章 计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）
A．5 种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】由分步计数原理得，可选方式有2×3＝6种．
故答案为：B．
【分析】从甲到丙地需要先从甲地去乙地，再从乙地去丙地，分析从甲地去乙地以及从乙地去丙地的选法数目，由分步计数原理计算可得答案．
2．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】首先将两个穿红衣服的人排列，2种结果，再把两个穿黄色衣服的人排列在上面两个人形成的三个空中，同时，两人中间必须有一个，避免两个穿红色衣服的人相邻，共有2×2+2×2=8种，
故答案为：C.
【分析】将两个穿红衣服的人排列，再把两个穿黄色衣服的人排列在上面两个人形成的两个空中，不能排在三个空的中间一个空中，避免两个穿红色衣服的人相邻，根据计数原理得到结果．
3．若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】4名同学报名参加3项体育比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3= 种不同的报名方法，
故答案为：B.
【分析】分析可得4人中，每人都有3种情况，由分步计数原理计算可得答案．
4．已知集合 ， ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】分两类：第一类：M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2=6个第一、二象限的点；第二类：M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4=8个第一、二象限的点.共有6+8=14个不同的点.
故答案为：C.
【分析】首先分类在每一类中又分步，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，分别可以得到在第一和第二象限中点的个数，根据分类加法原理得到结果．
5．由 十个数和一个虚数单位 ，可以组成虚数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】复数 为虚数，则 有 种可能， 有 种可能，共有 种可能.
故答案为：D.
【分析】设得到的虚数为a+bi，且b≠0，根据虚数的定义可得则a有10种情况，而b≠0，只有9种取法；进而由分步计数原理，计算可得答案．
6．一位同学希望在暑假期间给他的4位好友每人发一条短信问候，为省下时间学习，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中有3条适合的短信，则该同学共有不同的发短信的方法（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】给每一位好友都有3种选择，因此共有发短信的方法 种，
故答案为：D．
【分析】首先给第一位同学发短信，有三种不同的方法，再给第二问同学发短信有3种结果，以此类推给每一位好友都有3种选择，根据分步计数原理得到结果．
7．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（ ）
A．20条 B．15条 C．12条 D．10条
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，
故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．
故选D
【分析】根据正n棱柱对角线的条数=(n大于3）。
8．现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A、B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有（ ）
A．13种 B．15种 C．20种 D．30种
【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】①先给A、B两所希望小学分配电脑，若每个学校2台，由于电脑型号相同，故只有1种情况，其次将剩余的2台电脑分给其他3所小学，若一所小学2台，其他的没有，有3种情况；若2所小学各1台，另一所小学没有，有3种情况，共有6中情况；
②若A、B两所希望小学其中一所得3台，另一所2台，有2种情况，
再将剩余的1台电脑分给其他3所小学，有3种情况，共3×2=6种情况；
③若给A、B两所希望小学各分配3台电脑，有1种情况；
④若A、B两所希望小学其中一所得4台，另一所2台，有2种情况.
综上，共6+6+1+2=15种情况，
故答案为：B．
【分析】按A、B两个学校分得电脑的数目，分4种情况讨论，分别求出各种情况下的分配方法的数目，进而相加可得答案．
二、填空题
9．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 .
【答案】8
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】利用分类加法计数原理，可知完成一件事可以分为两类，第一种方法完成有3种，第二种方法完成有5种，一共有3+5=8种.
【分析】分别计算利用选择第1种方法来完成工作和选择第2种方法来完成工作的情况数目，由加法原理计算可得答案．
10．（2016高二下·三亚期末）如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有 种．
【答案】180
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法
∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案．
故答案为：180．
【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法，根据乘法原理可得结论
11．4张卡片的正、反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成 个不同的三位数．
【答案】168
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】要组成三位数，根据百位、十位、个位可知应分三步：
第一步：百位可放8－1＝7个数；第二步：十位可放6个数；
第三步：个位可放4个数．
故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．
【分析】考虑分三步骤，先取百位数，再取十位数，再取个位数，且百位数不能为0．求出每步的种数，相乘即可得到答案．
三、解答题
12．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，电阻断路的可能性共有多少种情况.
【答案】解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有 种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有 种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7=63种情况
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【分析】从上到下有3条支线，分别记为a、b、c，支线a、b中，至少有一个电阻断路的情况有3种，c中至少有一个电阻断路的情况有23-1=7种，再根据分步计数原理求得结果．
13．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱
【答案】解：第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】依次计算“从01至10的三个连号的个数”、“从11至20的两个连号的个数”“从21至30的单选号的个数”“从31至36的单选号的个数”，进而由分步计数原理，计算可得答案．
14．某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会.
（1）若选派1名教师参会，有多少种派法
（2）若三个学科各派1名教师参会，有多少种派法
（3）若选派2名不同学科的教师参会，有多少种派法
【答案】（1）解：分三类：第一类选语文老师，有12种不同选法；第二类选数学老师，有13种不同选法；第三类选英语老师，有15种不同选法，共有12+13+15=40种不同的选法.
（2）解：分三步：第一步选语文老师，有12种不同选法；第二步选数学老师，有13种不同选法；第三步选英语老师，有15种不同选法，共有12×13×15=2340种不同的选法
（3）解：分三类：第一类选一位语文老师和一位数学老师共有12×13种不同的选法；第二类选一位语文老师和一位英语老师共有12×15种不同的选法；第三类选一位英语老师和一位数学老师共有15×13种不同的选法，共有12×13+12×15+13×15=531种不同的选法
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）利用加法原理，可得结论；
（2）利用乘法原理，可得结论；
（3）分类讨论，利用加法、乘法原理，可得结论．
1 / 1高中数学人教版 选修2-3（理科） 第一章 计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题
1．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ）
A．5 种 B．6种 C．7种 D．8种
2．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
3．若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合 ， ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
5．由 十个数和一个虚数单位 ，可以组成虚数的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．一位同学希望在暑假期间给他的4位好友每人发一条短信问候，为省下时间学习，他准备从手机草稿箱中直接选取已有短信内容发出．已知他手机草稿箱中有3条适合的短信，则该同学共有不同的发短信的方法（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
7．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（ ）
A．20条 B．15条 C．12条 D．10条
8．现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A、B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有（ ）
A．13种 B．15种 C．20种 D．30种
二、填空题
9．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 .
10．（2016高二下·三亚期末）如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有 种．
11．4张卡片的正、反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成 个不同的三位数．
三、解答题
12．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，电阻断路的可能性共有多少种情况.
13．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱
14．某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会.
（1）若选派1名教师参会，有多少种派法
（2）若三个学科各派1名教师参会，有多少种派法
（3）若选派2名不同学科的教师参会，有多少种派法
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】由分步计数原理得，可选方式有2×3＝6种．
故答案为：B．
【分析】从甲到丙地需要先从甲地去乙地，再从乙地去丙地，分析从甲地去乙地以及从乙地去丙地的选法数目，由分步计数原理计算可得答案．
2．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】首先将两个穿红衣服的人排列，2种结果，再把两个穿黄色衣服的人排列在上面两个人形成的三个空中，同时，两人中间必须有一个，避免两个穿红色衣服的人相邻，共有2×2+2×2=8种，
故答案为：C.
【分析】将两个穿红衣服的人排列，再把两个穿黄色衣服的人排列在上面两个人形成的两个空中，不能排在三个空的中间一个空中，避免两个穿红色衣服的人相邻，根据计数原理得到结果．
3．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】4名同学报名参加3项体育比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3= 种不同的报名方法，
故答案为：B.
【分析】分析可得4人中，每人都有3种情况，由分步计数原理计算可得答案．
4．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】分两类：第一类：M中取横坐标，N中取纵坐标，共有3×2=6个第一、二象限的点；第二类：M中取纵坐标，N中取横坐标，共有2×4=8个第一、二象限的点.共有6+8=14个不同的点.
故答案为：C.
【分析】首先分类在每一类中又分步，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，分别可以得到在第一和第二象限中点的个数，根据分类加法原理得到结果．
5．【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】复数 为虚数，则 有 种可能， 有 种可能，共有 种可能.
故答案为：D.
【分析】设得到的虚数为a+bi，且b≠0，根据虚数的定义可得则a有10种情况，而b≠0，只有9种取法；进而由分步计数原理，计算可得答案．
6．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【解答】给每一位好友都有3种选择，因此共有发短信的方法 种，
故答案为：D．
【分析】首先给第一位同学发短信，有三种不同的方法，再给第二问同学发短信有3种结果，以此类推给每一位好友都有3种选择，根据分步计数原理得到结果．
7．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，
故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．
故选D
【分析】根据正n棱柱对角线的条数=(n大于3）。
8．【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】①先给A、B两所希望小学分配电脑，若每个学校2台，由于电脑型号相同，故只有1种情况，其次将剩余的2台电脑分给其他3所小学，若一所小学2台，其他的没有，有3种情况；若2所小学各1台，另一所小学没有，有3种情况，共有6中情况；
②若A、B两所希望小学其中一所得3台，另一所2台，有2种情况，
再将剩余的1台电脑分给其他3所小学，有3种情况，共3×2=6种情况；
③若给A、B两所希望小学各分配3台电脑，有1种情况；
④若A、B两所希望小学其中一所得4台，另一所2台，有2种情况.
综上，共6+6+1+2=15种情况，
故答案为：B．
【分析】按A、B两个学校分得电脑的数目，分4种情况讨论，分别求出各种情况下的分配方法的数目，进而相加可得答案．
9．【答案】8
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】利用分类加法计数原理，可知完成一件事可以分为两类，第一种方法完成有3种，第二种方法完成有5种，一共有3+5=8种.
【分析】分别计算利用选择第1种方法来完成工作和选择第2种方法来完成工作的情况数目，由加法原理计算可得答案．
10．【答案】180
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法
∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案．
故答案为：180．
【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法，根据乘法原理可得结论
11．【答案】168
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】要组成三位数，根据百位、十位、个位可知应分三步：
第一步：百位可放8－1＝7个数；第二步：十位可放6个数；
第三步：个位可放4个数．
故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．
【分析】考虑分三步骤，先取百位数，再取十位数，再取个位数，且百位数不能为0．求出每步的种数，相乘即可得到答案．
12．【答案】解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有 种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有 种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7=63种情况
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【分析】从上到下有3条支线，分别记为a、b、c，支线a、b中，至少有一个电阻断路的情况有3种，c中至少有一个电阻断路的情况有23-1=7种，再根据分步计数原理求得结果．
13．【答案】解：第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】依次计算“从01至10的三个连号的个数”、“从11至20的两个连号的个数”“从21至30的单选号的个数”“从31至36的单选号的个数”，进而由分步计数原理，计算可得答案．
14．【答案】（1）解：分三类：第一类选语文老师，有12种不同选法；第二类选数学老师，有13种不同选法；第三类选英语老师，有15种不同选法，共有12+13+15=40种不同的选法.
（2）解：分三步：第一步选语文老师，有12种不同选法；第二步选数学老师，有13种不同选法；第三步选英语老师，有15种不同选法，共有12×13×15=2340种不同的选法
（3）解：分三类：第一类选一位语文老师和一位数学老师共有12×13种不同的选法；第二类选一位语文老师和一位英语老师共有12×15种不同的选法；第三类选一位英语老师和一位数学老师共有15×13种不同的选法，共有12×13+12×15+13×15=531种不同的选法
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用
【解析】【分析】（1）利用加法原理，可得结论；
（2）利用乘法原理，可得结论；
（3）分类讨论，利用加法、乘法原理，可得结论．
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